\documentclass{article} \usepackage{amsmath} \usepackage[italian]{babel} \usepackage[applemac]{inputenc} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsthm} \usepackage{amscd} \usepackage{amssymb} \theoremstyle{definition} \newtheorem{definizione}{Definizione} \newtheorem{teorema}{Teorema} \newtheorem{proposizione}{Proposizione} \newtheorem{lemma}{Lemma} \newtheorem{osservazione}{Osservazione} \newtheorem{corollario}{Corollario} \newtheorem{conclusioni}{Conclusioni} %\theoremstyle{plain} \theoremstyle{remark} \newtheorem{esempio}{Esempio} \newtheorem{esercizio}{Esercizio} \title{Lezione 10} \author{Maria Stella Gelli} \begin{document} \maketitle \emph{Operatori autoaggiunti}\\ \begin{definizione} Dato $(V,<\cdot, \cdot >)$ spazio vettoriale dotato di prodotto scalare, sia $T:W \subset V \to V$ operatore autoaggiunto dal sottospazio $W$ in $V$ $= \forall u,v \in W$ \end{definizione} \begin{esempio} $Tu=u''$ definito da $C^{2} \cap X \to X$ lineare autoaggiunto. Inoltre gli autovalori (e le autofunzioni) sono dati da: $$u''= \lambda u \quad u \in C^{2} \cap X$$ e una base di autovettori $\{e^{inx}\}_{n \in \mathbb{Z}}.$\\ Analogamente $\tilde{T}: \tilde{C}^{2} \cap Y $ dove Y l'insieme $Y=\{f:[0,\pi] \to \mathbb{R} | f \, continua \, f(0)=f(\pi)=0\}$ e $\tilde{C}^{2}$ sono le funzioni regolari solo in $(0,\pi)$ che definito allo stesso modo $\tilde{T} u = u''$ autoaggiunto.\\ Infatti : \begin{equation*} <\tilde{u},v> = \int_{0}^{\pi} u''(x)v(x)dx = \end{equation*} Dove la seconda uguaglianza ottentuta integrando due volte per parti.\\ Calcoliamo adesso gli autovalori di $\tilde{T}:$\\ $\tilde{T}u =\lambda u \quad \Leftrightarrow \quad u'' = \lambda u \text{ con } u \in \tilde{C}^{2}\cap Y.$ \begin{itemize} \item $\lambda > 0 \quad \Rightarrow \quad \alpha e^{\sqrt{\lambda}x}+ \beta e^{- \sqrt{\lambda}x} \quad \text{soluzione}$\\ \item $\lambda=0 \quad \Rightarrow \quad \alpha x + \beta \quad \text{soluzione}$\\ \item $\lambda < 0 \quad \Rightarrow \quad \alpha e^{-i\sqrt{-\lambda x }}+ \beta e^{\sqrt{- \lambda x}} \quad \text{soluzione}$ \end{itemize} e dobbiamo imporre nei vari casi che tale soluzione stia in $C^{2} \cap Y,$ quindi: \begin{itemize} \item $\lambda > 0 \quad u(x)=\alpha e^{\sqrt{\lambda}x}+ \beta e^{- \sqrt{\lambda}x} \in C^{2} \cap Y \quad \Rightarrow u=0 \text{ quindi non autovalore}$\\ \item $\lambda=0 \quad u(x)= \alpha x + \beta \in C^{2} \cap Y$\\ quindi $ \begin{cases} u(0)=0 \Rightarrow \beta= 0 \\ u(\pi)=0 \Rightarrow \alpha=0 \end{cases} \Rightarrow \lambda=0 \text{ non un autovalore} $ \item $\lambda<0 \quad u(x)=\alpha e^{\sqrt{-\lambda x }}+ \beta e^{-i\sqrt{- \lambda x}} \in C^{2} \cap Y$ allora \\ $ \begin{cases} u(0)=0 \Rightarrow \alpha +\beta =0\\ u(\pi)=0 \Rightarrow \sin(\sqrt{-\lambda} \pi)=0 \Rightarrow \sqrt{-\lambda} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \lambda=-m^{2} \end{cases} $ con $m \in \mathbb{N}.$ Quindi otteniamo: $$\lambda \text{ autovalore} \Leftrightarrow \lambda =-m^{2} \quad m \in \mathbb{N}$$ con autovettore relativo a $\lambda=-m^{2}$ dato da $u(x)=\sin(nx).$ \end{itemize} \end{esempio} \begin{osservazione} Non tutti gli operatori lineari sono autoaggiunti, ad esempio $\tilde{X}=C^{0}([-\pi,\pi))$ con $T:\tilde{X} \cap C^{2} \to \tilde{X}$ definito da $Tu=u''.$ \end{osservazione} \begin{esempio} Per ogni $a(x) \in Y$ definiamo $T_{a}:f \to f(x)a(x)$ che va da $Y \to Y.$\\ $T_{a}$ autoaggiunto?\\ \begin{itemize} \item $= \int_{0}^{\pi}a(x)f(x)g(x)dx =$ \item autovalori di $T_{a}:$\\ \begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb{R} & : & T_{a} f = \lambda f \mbox{ (con $f \neq 0$ ) }\\ & \Leftrightarrow & a(x)f(x)= \lambda f(x) \Rightarrow a(x) = \lambda \mbox{ su $\{f \neq 0\}$} \end{eqnarray*} $\Rightarrow \quad a $ costante sulle componenti connesse di $\{f \neq 0 \}$ $\Rightarrow a(x)= \lambda $ (perch $f$ continua).\\ Quindi se $a(x)= cost. $ allora $\lambda=0$ l'unico autovalore, %%non torna molto sta cosa invece se $a(x) \neq cost.$ allora non esisto autovalori. \end{itemize} \end{esempio} \begin{esempio} Sia $Z=\{f: Q=[0,\pi]^{2} \to \mathbb{R} | f \text{ continua } f \mid_{\partial Q}=0\}$\\ col prodotto scalare $= \int\int_{Q}f(x,y)g(x,y)dxdy.$\\ Consideriamo $T:C^{2}\cap Z \to Z$ $Tu= \Delta u = \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u }{\partial y ^{2}}=u_{xx}+u_{yy} $\\ (dove $C^{2} \cap Z $ sono le funzioni che sono $C^{2}$) \end{esempio} \begin{esercizio} Calcolare gli autovalori di $T:$\\ gli autovettori sono $u(x,y)= \sin(nx)\sin(my)$ con $n,m \in \mathbb{Z}*$\\ perch $\Delta u = -n^{2}\sin(nx) \sin(mx) - m^{2}\sin(nx)\sin(my) = (-m^{2}-n^{2})u.$\\ \end{esercizio} \begin{esercizio} $T$ autoaggiunto:\\ $$ = \int\int_{Q} \Delta u (x,y) v(x,y) dx dy = -\int_{Q}\nabla u \cdot \nabla v dx dy + \int_{\partial Q}v \nabla u \cdot \hat{u} ds$$ dove per le uguaglianze abbiamo utilizzato il Teorema di Gauss-Green e della divergenza. Scambiando il ruolo di $u \mbox{ e } v$ otteniamo che $\Delta u$ autoaggiunto su $C^{2} \cap Z.$ \begin{osservazione} \begin{equation} \label{autovZ} \{(n^{2}+ m^{2})\}_{n,m \in \mathbb{N}^{*}} \end{equation} sono autovalori con autovettori \begin{equation} \label{vetZ} \{\frac{2}{\pi} \sin(nx) \sin(my) \}_{n,m \in \mathbb{N}^{*}} \end{equation} che un sistema ortonormale. In realt anche massimale, possiamo dimostrarlo come nel caso di $X$ usando il teorema di Stone-Weierstrass.\\ \end{osservazione} \emph{Nota1 :} sono tutti e soli gli autovalori, infatti se per assurdo esistesse un altro autovalore $\lambda$ con autofunzione $u$ questo sarebbe ortogonale \ref{vetZ} contro la massimalit.\\ \emph{Nota 2:} dalla simmetria di $Q,$ si possono cercare gli autovalori $-(n^{2}+m^{2})$ e autofunzioni $u(x,y)=v(x)w(y)$ con $v,w \in Y$ infatti: $\Delta u = v''(x)w(y)+ v(x)w''(y)= \lambda u =\lambda v w$ e quindi $\frac{v''}{v}+ \frac{w''}{w}=\lambda \Rightarrow \frac{v''}{v}=cost \quad \frac{w''}{w}=cost \begin{cases} v''=\tilde{\lambda}v \\ w''=\bar{\lambda} w\\ v,w \in Y \cap C^{2} \end{cases} $\\ $\Rightarrow \tilde{\lambda}= -n^{2}, \bar{\lambda}=-m^{2} \quad n,m \in \mathbb{N}$ \end{esercizio} \begin{esercizio} Dato $W=\{f: [-\pi,\pi]^{2} \to \mathbb{C} continue,f(\pi,y)=f(-\pi,y), f(x,\pi),f(x,-\pi) \quad \forall x,y \in [-\pi,\pi]\} $.\\ L'operatore $T: W \cap C^{2} \to W$ autoaggiunto? Quali sono gli autovalori di $T$?\\ (Lo spazio $W \mbox{ dotato di prodotto scalare } =\int f \bar{g}dx dy$ ) \end{esercizio} \begin{esercizio} Dato $D:=\{f:\bar{B(0,1)}=\{\|(x,y) \leq 1\|\} \to \mathbb{R} \; continue \; f \mid_{\partial B}=0\}$ con prodotto scalare $= \int_{B}fg dxdy.$\\ L'operatore $T: C^{2} \cap D \to D$ cos definito $Tu=\Delta u$ autoaggiunto? Calcolare gli autovalori \end{esercizio} \end{document}