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\theoremstyle{remark}
\newtheorem{esempio}{Esempio}
\newtheorem{esercizio}{Esercizio}
\title{Lezione 12}
\author{Maria Stella Gelli}
\begin{document}
\maketitle
  Calcolo della trasformata di Fourier:
$X=\{f:\mathbb{R} \to \mathbb{C} continue \;| \;\int_{-\infty}^{\infty} |f| dx < +\infty\}$ abbiamo definito la trasformata di Fourier in questo modo:
$\hat{f}(y):=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-iyx}dx $
\emph{Propriet�:}\\
\begin{itemize}
\item $\|\hat{f}\|_{\infty} \leq \|f\|_{\infty}$
\item se $f \in X$ e $xf \in X$ allora $\hat{f} \in C^{1}$ e vale 
$\hat{-ixf}(y)=(\hat{f}')(y)$
\item $f,f' \in X \Rightarrow \hat{f}'(y)= iy \hat{f}(y)$
\item Data $f \in X$ allora $
  \begin{cases}
    \tau f(x) := f(x-a) & \forall a \in \mathbb{R}\\
    \sigma_{a}f(x) := f(\frac{x}{a}) & \forall a \in \mathbb{R}^{+}
  \end{cases}
$\\
allora abbiamo che $\tau_{a}f, \sigma_{a}f \in X $ e vale 
$
\begin{cases}
  \hat{\tau_{a}f}(y)= e^{-iya} \hat{f}(y)\\
  \hat{\sigma_{a}f}(y)= |a| \hat{f}(\frac{y}{a})
\end{cases}
$  
\end{itemize}
\begin{esempio}
  $f(x)= e^{-|x|} \in X$ allora 
$\hat{f}(y)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x|} e^{-iyx}dx=\int_{0}^{+\infty}e^{-x(1-iy)}dx + \int_{-\infty}^{0}e^{x(1-iy)}dx= \frac{2}{1+y^{2}}$.\\
Osserviamo che essendo $f \in X $ abbiamo che la $\hat{f}(y) \in C^{1}$
\end{esempio}
  \begin{esempio}
    $f(x)=(2-|x|)\vee 0=
    \begin{cases}
      2 - |x| & se \, |x|\leq 2\\
      0 & altrimenti
    \end{cases}
$\\
Innanzitutto $f \in X$ quindi ha senso calcolarne la trasformata.\\
Consideriamo la seguente 
$$g(x)=
\begin{cases}
  -1 & 0 \leq x \leq 2 \\
  1 & -2 \leq x < 0 \\
  0 & |x|>2
\end{cases}
$$\\
$g= f'$ laddove $f'$ esiste, inoltre $f(x)= \int_{0}^{x}g(t)  +2 dt $ (cio� 
$g$ verifica il teorema fondamentale del calcolo integrale). Per questa $g$ 
ha senso calcolare la trasformata $\|g\|_{1} < \infty$\\
\emph{Esercizio:} verificare se vale ancora la regola scritta precedentemente 
per la trasformata della derivata.\\
In questo caso infatti � pi� comodo calcolare la trasformata di $g$ e da 
quella risalire alla trasformata di $f$, supponendo che la precedente 
affermazione sia vera.\\
\begin{osservazione}
  La trasformata di una funzione caratteristica 
$\chi_{[a,b]}(x)= \tau_{(\frac{a+b}{2})} \chi_{[-\frac{b-a}{2}],\frac{b-a}{2}}$
\end{osservazione}
Abbiamo quindi che $\hat{f}(y)= \frac{4 \sin^{2}(y)}{y^{2}}$
  \end{esempio}
  \begin{esercizio}
    Calcolare la trasformata di Fourier di:
    \begin{enumerate}
    \item $f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$
      \item $g(x)= 1+x^{4}$ 
    \end{enumerate}
  \end{esercizio}
\emph{Svolgimento: }(primo punto)\\
 $f \in X$ quindi esiste la trasformata.
 Osserviamo che essendo la $f$ pari, allora $\hat{f}(-y)=\hat{f}(y).$ 
Calcoliamo l'integrale $\forall y <0$ l'altro caso � simmetrico\\
Usiamo il Teorema dei residui, sia $F(z)=\frac{e^{-iyz}}{1+z^{2}}$ allora � 
rapporto di funzioni olomorfe in $\mathbb{C}$ e ha due singolarit� isolate in 
$z_{1}=-i,z_{2}=i.$\\
Prendiamo $D_{R}=\{z \in \mathbb{C}: |z| \leq R, Im(z)\geq 0 ,R> 0\}$ %metti il carattere giusto
con bordo parametrizzato da $\gamma_{1,R},\gamma_{2,R}$ allora 
$\int_{\gamma_{1,R}*\gamma_{2,R}}F(z)dz= 2\pi i Res(F,\pm i )$.\\
Si utilizza poi l'altro risultato sui residui delle funzioni razionali.\\
\begin{esercizio}
Calcolare $\hat{f}(y) \; y>0$ usando solo la teoria dei 
residui.
\end{esercizio}
  Il calcolo di $\hat{f}$ per $f(x)=\frac{1}{1+x^{4}}$ si fa analogamente 
usando la teoria dei residui.\\
\emph{Calcolo degli autovalori}\\
\begin{osservazione}
  $T$ pu� essere autoaggiunto ma non avere autovalori, come controesempio si 
pu� considerare $T:Y \to Y $ tale che $u \to a(x)u(x)$ dove $a \in C^{0}.$
\end{osservazione}
\begin{esercizio}
  Trovare $a(x)$ che ammette un autovalore (con autovettori).
\end{esercizio}
\begin{esercizio}
  Dato $\Delta u : C_{0}^{0} \cap C^{2} \to C^{0}$ che � autoaggiunto 
(per Gauss-Green) con $C_{0}^{0}=\{f:B \to \mathbb{R}\; continue , f\mid _{\partial B}=0\}.$\\
 Calcolare gli autovalori.
\end{esercizio}
\emph{Suggerimento:} passaggio in coordinate polari e separazione delle
 variabili.\\
\end{document}