\documentclass{article}
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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definizione}{Definizione}
\newtheorem{teorema}{Teorema}
\newtheorem{proposizione}{Proposizione}
\newtheorem{lemma}{Lemma}
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\newtheorem{corollario}{Corollario}
\newtheorem{conclusioni}{Conclusioni}
%\theoremstyle{plain}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{esempio}{Esempio}
\newtheorem{esercizio}{Esercizio}
\title{Lezione 1}
\author{Giovanni Alberti}
\begin{document}
\maketitle


\textbf{Contenuto:}
\begin{itemize}
\item Serie di Fourier e applicazioni: risoluzione dell'equazione del calore e delle onde
\item Trasformata di Fourier con applicazioni (trasforma equazioni differenziali alle derivate parziali in equazioni di tipo algebrico)
\item Integrazione su superfici ($K$-forme e Stokes)
\item Funzioni armoniche 
\item Integrazione secondo Lebesgue
\end{itemize}
\textbf{Nota 1:} l'integrazione secondo Lebesgue non serve nei punti precedenti del contenuto del corso ed � per questo che viene messa alla fine, si sottointende che lo strumento non verr� utilizzato prima, verr� anch'esso trattato nel corso di \textbf{Istituzioni di Analisi}.\\
\textbf{Nota 2:} nel corso spesso faremo uso di strumenti pi� avanzati e non dimostrati che verranno dimostrati nel corso di \textbf{Istituzioni di Analisi}.


\textbf{Prerequisiti del corso:}
\begin{itemize}
\item Algebra Lineare
\item Analisi del secondo anno:
  \\Completezza $C^{0}$
  \\Integrali su curve e superfici (campi di vettori Teorema di Stokes e della Divergenza)
\\Potenziale di un campo di vettori
\\ teorema del Dini e della funzione implicita 
\\ riepilogheremo durante il corso: Compattezza in spazi metrici e teorema di Ascoli Arzel�, Integrazione su curve e superfici, teorema di Stokes e della Divergenza, Teorema di Weierstrass
\item Topologia 
\item Analisi complessa: metodo dei residui
\end{itemize}
\textbf{Libri di Testo:}
\begin{itemize}
\item da trovare testi su analisi di Fourier e funzioni armoniche
\item forse ci saranno degli appunti 
\item Integrazione su superfici e integrazione secondo Lebesgue (ref. Fleming Function of several variables) 
\item Esercizi e appunti in rete: \texttt{www.unipi.it/~alberti}
\end{itemize}
Per iscriversi alla mailing list inviare un messaggio di posta elettronica 
all'indirizzo \texttt{galberti1@dm.unipi.it} con oggetto contenente 
"mailing list Analisi", nel testo aggiungere nome cognome e matricola.\\
\textbf{Orario:}\\
Lu 11-13 Alberti aula A1\\
Ma 16-18 dipende aula F\\
Ve 14-16 Gelli aula  A1\\
\textbf{Modalit� esame:}

Compitini + orale nei primi due appelli.

Scritto + orale nella medesima sessione.

Negli scritti \emph{non} possono essere utilizzati i libri di testo.

Ci sono 5 appelli + i compitini.\\
\textbf{Ricevimento:} vedi homepage.
\newpage
\section{Serie di Fourier}
{\Large Parte complessa}\\
{\large Domanda 1:}
E' possibile scrivere una $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} (\mathbb{C})$ di periodo $2\pi$ come $f(x)=\sum a_{n}^{inx}$?
{\large Domanda 2:} Calcolare $a_{n}$\\
{\Large Parte reale}\\
{\large Domanda 1':} Stessa cosa ma $f(x)= a_{0}+ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos(nx) + b_{n}\sin(nx)$\\
{\large Domanda 2':} Calcolare $a_{n}$ e $ b_{n}$\\
Usando le seguenti uguaglianze
\begin{eqnarray}
  \cos(nx)=\frac{e^{inx} + e^{-inx}}{2} &   \sin(nx)=\frac{e^{inx} - e^{-inx}}{2i}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
e^{inx}=\cos(nx) + i\sin(nx) & e^{-inx}=\cos(nx) - i\sin(nx)
\end{eqnarray}%ricontrollare le formule
 si pu� passare dalla risposta di una domanda all'altra, risponderemo 
 nel caso complesso e poi ci ricondurremo all'altro usando le 
precedenti formule.\\
Un'altra questione interessante � il perch� utilizziamo proprio le funzioni 
seno e coseno per dare una diversa formulazione di ogni funzione. Tratteremo 
questo argomento pi� avanti.
Adesso introduciamo l'insieme delle funzioni sulle quali lavoreremo:
$$X=\{ f:\mathbb{R} \to \mathbb{C} \, continue \, e \, 2\pi-periodiche \}$$
� spazio normato con norma $ \| f\|_{x}:= \sup_{x \in \mathbb{R}}|f(x)|$.
Definiamo anche 
$$X'=\{f:[-\pi,+\pi] \to \mathbb{C} \, continue \, | \,f(-\pi)=f(\pi)\}.$$
$$X''=\{ f:K \to K \, continue\} \;K=[-\pi,+\pi]/\{\pi=-\pi\}.$$
Osserviamo che i tre insiemi appena definiti rappresentano le stesse funzioni.
\begin{definizione}
Il prodotto scalare indotto dalla norma precedente definita �:
$$<f,g>:= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(x) \bar{g(x)} dx$$
\end{definizione}
\begin{osservazione}
  Il precedente � un prodotto scalare (hermitiano)
\end{osservazione}
\begin{proof}
\textbf{Esercizio}, devono essere verificate 
  \begin{itemize}
  \item Linearit� in f e antilinearit� in g
  \item $<f,f>\leq 0 \forall f$
  \item $<f,f>=0 \Rightarrow f=0$
  \end{itemize}
\end{proof}
\begin{teorema}
  $\{ e^{inx} | n \in \mathbb{Z}\}$ � un sistema ortonormale massimale in $X.$
Massimale si intende rispetto all'inclusione.
\end{teorema}
Se � verificato il seguente teorema allora dobbiamo avere che 
\begin{definizione}
  I coefficenti di Fourier di $f \in X$ sono esattamente
$$c_{n}:= <f,e^{inx}>= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx$$
%%non ho capito perch� devono essere loro e poi l'ugualglianza
\end{definizione}
\begin{teorema}
  Se $f \in C^{1} \cap X$ allora $\sum_{-\infty}^{+\infty} c_{n}e^{inx}$ 
converge totalmente (cio� $ \sum |c_{n}| < -\infty$ ) e vale $f(x).$
\end{teorema}
\begin{osservazione}
  L'ipotesi $f \in C^{1}$ � necessaria. ($\exists f \in X | \sum a_{n}e^{inx}$ non converge)
\end{osservazione}
\begin{osservazione}
   $\{ e^{inx} | n \in \mathbb{Z}\}$ non � una base ortonormale. Ma non esiste una base ortonormale di X.
\end{osservazione}
\begin{proof}
  Consideriamo $\sum_{n \neq 0}\frac{1}{n^{2}}e^{inx},$ questa appartiene a $X$ ma non pu� essere scritta come combinazione lineare di elementi di  $\{ e^{inx} | n \in \mathbb{Z}\}.$
\end{proof}
Sappiamo che ogni spazio vettoriale ammette una base, 
anche in dimensione infinita (Lemma di Zorn), 
per� in spazi di dimensione infinita il concetto di base non serve a molto, 
in spazi di dimensione infinita si usano basi di Hilbert 
(non verranno definite in questo corso).
Abbiamo comunque che  $\{ e^{inx} | n \in \mathbb{Z}\}$ � una base di Hilbert.
\begin{osservazione}
  La norma associata al prodotto scalare definito prima (che chiameremo norma $L^{2}$) non � uguale alla norma del $\sup$. Non � nemmeno equivalente (non inducono la stessa topologia, infatti $X$ con la norma del $\sup$ � completo, con questa norma no).%mettila come osservazione semmai con dimostrazione esercizio: suggerimento disegno 1
\end{osservazione}
\begin{osservazione}
  La norma $L^{2}$ e la norma del $\sup$ non sono nemmeno equivalenti (cio� 
non inducono la stessa topologia sullo spazio $X$).
\end{osservazione}
\begin{proof}
  Lo spazio $X$ dotato della norma del $\sup$ � uno spazio completo 
invece con la norma $L^{2}$ non lo � (verifica per \emph{Esercizio} che la 
successione nella Figura 1 (da inserire :)) � di Cauchy ma non converge 
con la norma $L^{2}$).
\end{proof}
Allo stesso modo possiamo definire anche le seguenti norme (norme $L^{p}$ con 
$1\leq p < \infty$)
\begin{definizione}
  $$\|f\|_{p}=(\int |f(x)|^{p}dx)^{\frac{1}{p}}.$$
\end{definizione}
\begin{proposizione}
  Delle precedenti solo la norma $L^{2}$ deriva da un prodotto scalare.
\end{proposizione}
\begin{proof}
Utilizzeremo le seguenti uguaglianze 
che valgono per ogni prodotto scalare (hermitiano)
\begin{eqnarray}
  Re<f,g>=\frac {\| f+g\|_{2}^{2}-\|f-g\|_{2}^{2}}{4} \\
  Im<f,g>=\frac{\|if+g\|_{2}^{2}-\|if-g\|_{2}^{2}}{4}
\end{eqnarray}%controlla se sono giuste 
La cui verifica � lasciata per \emph{Esercizio}.
Se la norma del $\sup$ o le norme $L^{P}$ inducessero un prodotto scalare la 
sua formula potrebbe essere ottenuta utilizzando le precedenti disuguaglianze. 
Sostituendo per� le norme otteniamo qualcosa che non verifica le 
ipotesi di prodotto scalare.
\end{proof}

\end{document}