\documentclass{article} \usepackage{amsmath} \usepackage{verbatim} \usepackage[italian]{babel} \usepackage[applemac]{inputenc} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsthm} \usepackage{amscd} \usepackage{amssymb} \theoremstyle{definition} \newtheorem{definizione}{Definizione} \newtheorem{teorema}{Teorema} \newtheorem{proposizione}{Proposizione} \newtheorem{lemma}{Lemma} \newtheorem{osservazione}{Osservazione} \newtheorem{corollario}{Corollario} \newtheorem{conclusioni}{Conclusioni} %\theoremstyle{plain} \theoremstyle{remark} \newtheorem{esempio}{Esempio} \newtheorem{esercizio}{Esercizio} \title{Lezione 2} \author{Giovanni Alberti} \begin{document}%%devono essere messe a posto numerazioni delle dimostrazioni e riorganizzata la dimostrazione del teorema di stone weierstrass \maketitle In questa lezione verranno dimostrati i due teoremi enunciati nella precedente lezione. \begin{teorema} \label{1} $\mathcal{F}=\{ e^{inx} \; | \;n \in \mathbb{Z} \}$ sistema ortonormale massimale.\\ Data $f \in X$ la serie di Fourier (complessa) di f $\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}e^{inx}$ dove i coefficenti di Fourier sono $$c_{n}:==\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)e^{-inx}dx$$ \end{teorema} \begin{teorema} \label{2} Se $f \in C^{1} \cap X$ allora: \begin{enumerate} \item la serie di Fourier di $f$ converge totalmente $\sum |c_{n}| < +\infty$ \item la somma $f(x)$ \end{enumerate} \end{teorema} \begin{proof}{\textit{Teorema \ref{1}}}\\ \emph{Ortonormalit:}\\ \begin{eqnarray} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}e^{i(n-m)}dx = \left \{ \begin{array}{l l} 1 & \quad \mbox{se $n=m$}\\ 0 & \quad \mbox{se $n \neq m$}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray} \emph{Massimalit} \textbf{Per assurdo} se esistesse $f\in X$ t.c. $\|f\|_{2}=1$ e $=0$ allora $=0 \forall p$ polinomio trigonometrico (combinazione lineare finita di elementi di $\mathcal{F}$) \begin{eqnarray} \|f-p\|_{\infty}^{2} \geq \|f- p\|_{2}^{2}=\|f\|_{2}^{2} + \|p\|_{2}^{2} \geq \|f\|_{2}^{2}=1 \end{eqnarray} \begin{esercizio} $\|f\|_{\infty} \geq \|f_{2}\|$ \end{esercizio} da cui $\|f-p\|_{\infty}^{2} \geq 1 $ in contraddizione col fatto che i polinomi trigonometrici sono densi in $X$ (Stone-Weierstra$\beta$). \end{proof} Per dimostrare il Teorema \label{2} utilizzeremo un paio di lemmi. \begin{lemma} \begin{enumerate} \item Se $f=f_{1}+...+f_{n}$ con $f_{i}$ a due a due ortogonali, allora \begin{eqnarray} \|f\|_{2}^{2}=\|f_{1}\|_{2}^{2}+...+\|f_{n}\|_{2}^{2} \end{eqnarray} \item Se $\{g_{n}\}$ sistema ortonormale \emph{finito o numerabile} allora $\forall f \; \|f\|_{2}^{2} \geq \sum_{n=1}^{m}||^{2}$ \end{enumerate} \end{lemma} \begin{proof} \begin{enumerate} \item \emph{Esercizio} \item Caso finito: $f=f_{1}+...+f_{m}+\tilde{f}$ \\ Caso numerabile: basta passare al limite dalla disuguaglianza nel caso finito. \end{enumerate} \end{proof} \begin{lemma} Se $f \in X$ di classe $C^{1}$ allora i coefficenti di Fourier di $f'$ sono $inc_{n}$ \end{lemma} \begin{proof} \begin{eqnarray} \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f'(x)e^{-inx}dx= inc_{n}= \frac{in}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x) e^{-inx}dx \end{eqnarray} \end{proof} \textbf{Conseguenza: }\\ \begin{itemize} \item $\|f'\|^{2} \geq \| f'\|_{2}^{2} \geq \sum_{n}n^{2}|c_{n}|^{2}.$ \item $\|f\|^{2} \geq \|f\|_{2}^{2} \geq \sum_{n \in \mathbb{Z}}|c_{n}|^{2}$ \end{itemize} Usiamo i due lemmi per la seconda dimostrazione. \begin{proof}{\textit{Teorema \ref{2}}}\\ \begin{itemize} \item Dobbiamo dimostrare che $\sum |c_{n}|< +\infty,$ abbiamo che $c_{n}=2|c_{n}| n \frac{1}{2n} \leq n^{2}|c_{n}|+\frac{1}{4n^{2}}.$ \begin{eqnarray} \sum |c_{n}| \leq |c_{o}| + \sum n^{2} |c_{n}|^{2} + \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{4n^{2}} \leq |c_{0}| + \| f'\|^{2} + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{2}} < +\infty \end{eqnarray} \item $|\sum c_{n}| < \infty \; \Rightarrow \sum c_{n}e^{inx}$ converge totalmente a una certa $\tilde{f}$ e dimostriamo che $f=\tilde{f}.$ \begin{eqnarray} = -<\tilde{f},e^{inx}>\\=c_{n}-\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}\sum_{m=-\infty}^{+\infty}c_{m}e^{imx}e^{-inx}dx= c_{n}- \frac{1}{2\pi}\sum c_{m} \int_{-\pi}^{\pi}e^{imx}-e^{-inx}dx=c_{n}-c_{m}=0 \end{eqnarray} Dunque $=0 \; \forall n.$ Se per assurdo $f-\tilde{f} \neq 0$ allora $e^{inx}$ non sarebbe massimale. \end{itemize} \end{proof} \emph{Generalizzazione Teorema 2} \begin{itemize} \item basta $f \in X$ continua e di classe $C^{1}$ a tratti.\\ Dimostrazione: \emph{Esercizio.}\\ Facendo cadere l'ipotesi di continuit il teorema non vale. Come controesempo per \emph{Esercizio} considerare $f(x)=x$ con $x \in [-\pi,+\pi]$ ripetuta periodicamente. \item Basta $f$ $\alpha$-H$\ddot{o}$lderiana con $\alpha >\frac{1}{2}$ \begin{eqnarray} ( \exists c < + \infty \mbox{ tale che } |f(x_{1}-f(x_{2})| \leq c |x_{1}-x_{2}|^{\alpha} ) \end{eqnarray} \item E se $f$ $C^{1}$ a tratti ma non continua?\\ Allora \begin{eqnarray} \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_{n}e^{inx} \to \left\{ \begin{array}{l l} f(x) & \quad \mbox{se $f$ continua in $X$}\\ \frac{f(x^{-})+f(x^{+})}{2} & \quad \mbox{se $f$ non continua in $X$}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray} \end{itemize} \textbf{Caso reale}, solo enunciato, le dimostrazioni sono analoghe e possono essere svolte come \emph{Esercizio.} \begin{teorema} La serie di Fourier reale di $f$ $$a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty} ( a_{n}\cos(nx)+ b_{n}\sin(nx) ) $$ dove i coefficenti di Fourier $a_{n}$ e $b_{n}$ sono dati da \begin{eqnarray} a_{0}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx \quad a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx \quad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)\sin(nx)dx \end{eqnarray} Allora la serie di Fourier reale di $f$ converge totalmente a $f$ se $f$ di classe $C^{1}.$ \end{teorema} %%\begin{comment} \begin{proof}[Teorema di Stone Weierstrass caso reale] \begin{itemize} \item $K$ spazio compatto e $T^{2}$ \item $\mathcal{C}(K):=\{ f:K \to \mathbb{R} continue\}$ e $\|f\|$ norma del $\sup$ \item Dato $\mathcal{F} \subset \mathcal{C}(K)$ allora: \begin{itemize} \item $\mathcal{F}$ un algebra se un sottospazio vettoriale chiuso rispetto al prodotto \item $\mathcal{F}$ un reticolo se $f_{1},f_{2} \in \mathcal{F} \Rightarrow f_{1}\vee f_{2} \in \mathcal{F}, \, f_{1}\hat f_{2} \in \mathcal{F}$ \item $\mathcal{F}$ separa i punti e per ogni $x_{1} \neq x_{2}$ in $K$ vale $\exists f \in \mathcal{F}$ tale che $f(x_{1}) \neq f(x_{2})$ \item $\mathcal{F}$ chiuso per coniugio cio se $f \in \mathcal{F} \Rightarrow \bar{f} \in \mathcal{F}$ \end{itemize} \end{itemize} Enuncio i teoremi di Stone Weierstrass \begin{teorema}[caso reale (caso complesso)] Se $\mathcal{F}$ un algebra in $\mathcal{C(K)}$ (chiuso per coniugio) che separa i punti e contiene le costanti. Allora $\mathcal{F}$ denso in $\mathcal{C}(K).$ \end{teorema} \begin{corollario}{Teorema di Weierstra$\beta$} I polinomi sono densi in $C(I)$ $\forall I$ intervallo chiuso. \end{corollario} \begin{corollario} I polinomi trigonometrici sono densi in $X'=\{f: K \to \mathbb{C} \;continue\}$ (dove $K= [-\pi,\pi]/-\pi \tilde \pi$) \end{corollario} \end{proof} \begin{proof}[Stone Weierstrass caso reale] \begin{lemma} \label{l1} Se $\mathcal{F}$ un algebra chiusa che contiene le costanti in $\mathcal{C}(K)$ allora un reticolo. \begin{proof} \begin{itemize} \item Basta dimostrare che $f \in \mathcal{F} \Rightarrow |f| \in \mathcal{F}$ \item Basta dimostrare che $f \in \mathcal{F}, f\geq 0 \Rightarrow \sqrt{f} \in \mathcal{F}$ \item Basta dimostrare che $f \in \mathcal{F} f \geq c > 0 \Rightarrow \sqrt{f} \in \mathcal{F}.$ \end{itemize} Sia $f:K \to \mathbb{R} \; 0< m \leq f < M < \infty.$ Sia $p_{n}$ successione di polinomi tali che $p_{n}(y) \to \sqrt{y}$ unif. su $y \in [m,M].$\\ Allora $p_n(f(x)) \to \sqrt{f(x)}$ unif. $$ f \in \mathcal{F} \Rightarrow p_{n}(f) \in \mathcal{F} \Rightarrow \sqrt{f} \in \mathcal{F}.$$ (resterebbe da dimostrare che una tale successione di polinomi esiste) \end{proof} \end{lemma} \begin{lemma} \label{l2} Un reticolo in $\mathcal{C}(K)$ che separa i punti e contiene le costanti denso in $\mathcal{C}(K)$ \begin{proof} Voglio dimostrare che $\forall f \in C(K),\forall \epsilon >0 \; \exists h \in \mathcal{F}: h(x) -\epsilon \leq f(x) \leq h(x) + \epsilon .$\\ \begin{itemize} \item $\forall x, y \in K \; \exists h_{xy} \in \mathcal{F}: h_{xy}(x)=f(x), h_{xy}(y)=f(y)$ (basta prendere $h_{xy}$ che sia combinazione lineare di 1 e di una funzione che assume valori diversi in $x \mbox{ e }y $). \item $\forall x \in K \; \exists h_{x} \in \mathcal{F}: h_{x}(x)=f(x)$ e $\forall y' h_{x}(y') \leq f(y')+ \epsilon.$\\ Infatti $\forall y \exists U_{y} \subset K : h_{xy} \leq f + \epsilon $ in $U_{y}$.\\ Per compattezza da $\{U_{y}\}_{y \in K}$ si estrae un sottoricoprimento finito $U_{y_{1}},... ,U_{y_{n}}.$\\ $h_{x}= h_{xy_{1}} \hat ... \hat h_{xy_{n}} $ verifica quanto voluto. \item $\exists h \in \mathcal{F}: h - \epsilon \leq f \leq h+ \epsilon.$\\ Applicando lo stesso ragionamento di sopra si pu costruire $h=h_{x_{1}} \vee ... \vee h_{x_{k}}$ costruite a partire da un opportuno sottoricoprimento. \end{itemize} \end{proof} \end{lemma} \emph{Dimostrazione Teorema di Stone}\\ \begin{itemize} \item La chiusura $\bar{\mathcal{F}}$ un algebra chiusa che separa le costanti. \item Dal lemma \ref{l1} $\bar{\mathcal{F}}$ un reticolo. \item Dal lemma \ref{l2} $\bar{\mathcal{F}}$ denso in $C(K),$ cio $\bar{\mathcal{F}}=C(K).$ \end{itemize} \end{proof} \end{document}