\documentclass{article}
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\newtheorem{definizione}{Definizione}
\newtheorem{teorema}{Teorema}
\newtheorem{proposizione}{Proposizione}
\newtheorem{lemma}{Lemma}
\newtheorem{osservazione}{Osservazione}
\newtheorem{corollario}{Corollario}
\newtheorem{conclusioni}{Conclusioni}
%\theoremstyle{plain}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{esempio}{Esempio}
\newtheorem{esercizio}{Esercizio}
\title{Lezione 3}
\author{Maria Stella Gelli}
\begin{document}
\maketitle
\texttt{gelli@dm.unipi.it}\\
\begin{osservazione}
  \begin{enumerate}
  \item $X=\{ f:[-\pi,\pi] \to \mathbb{C} \, continue \,|\,f(\pi)=f(-\pi) \}$ ha dimensione infinita, pi� che numerabile.
  \item $(X,\|\cdot\|_{\infty})$ non � indotta da un prodotto scalare.
  \item $(X,\|\cdot\|_{2})$ non � completo.
  \end{enumerate}
\end{osservazione}
\begin{proof}
  \begin{enumerate}
  \item Esibiamo un insieme $V$ numerabile di vettori linearmente indipendenti
$$V=\{e^{inx},n \in X\}$$
I vettori di $V$ sono a due a due ortogonali, quindi non pu� esistere 
$e^{i\bar{n}x}=\sum_{j=1}^{N}\lambda_{j}e^{jnx}$ con $n_{j} \neq \bar{n}.$
%\\Altrimenti pu� essere dimostrato considerando gli esponenziali come soluzioni di equazioni differenziali:
%$n_{1},...,n_{N} \in \mathbb{Z}$ non ho preso il finale della dimos
 \item Se fosse indotta da un prodotto scalare allora varrebbe l'\emph{identit� del parallelogramma}
$$\|f+g\|_{\infty}^{2}+\|f-g\|_{\infty}^{2}= 2 (\|f\|_{\infty}^{2}+\|g\|_{\infty}^{2})$$
Le seguenti stanno in $X$ e non verificano l'identit� precedente Disegno 1.
\item Esibisco una successione $\{f_{n}\}$ di funzioni che stanno in $X$ che � di Cauchy ma non converge a nessun elemento di $X.$ 
 
  \end{enumerate}
\end{proof}
\begin{esercizio}
  Verificare che le topologie $\|\cdot\|_{2}$ e $\|\cdot\|_{\infty}$ sono effettivamente diverse e che sono una pi� fine dell'altra.
\end{esercizio}
\begin{esercizio}[Unicit� dei coefficenti di Fourier in caso di convergenza uniforme]
  Sia $f(x)= \sum_{n \in \mathbb{Z}}\tilde{c_{n}}e^{inx}$ con $\{c_{n}\} \subset \mathbb{C}$ allora 
$$\sum\tilde{c}_{n}e^{inx} \to f(x) \mbox{ unif.   allora } \tilde{c}_{n}=<f,e^{inx}> \; \forall n \in \mathbb{Z}$$ sono proprio i coefficenti di Fourier. 
\end{esercizio}
\begin{esercizio}
  Consideriamo $\{c_{n}\}_{n \in \mathbb{Z}} \subset \mathbb{C}$ tale che $\sum_{n \in \mathbb{Z}}|nc_{n}|.$ Allora la funzione $f(x)=\sum_{n \in \mathbb{Z}}c_{n}e^{inx}$ � di classe $C^{1}.$ 
\end{esercizio}
\begin{esercizio}
  Calcolare lo sviluppo in serie di Fourier reale e complessa delle seguenti funzioni specificando quando questo coincida con la funzione stessa:
  \begin{enumerate}
  \item $f(x)=x^{2} \quad x \in [-\pi,\pi]$
  \item $f(x) =
    \begin{cases}
    1 & \quad x \in [0,\pi]\\
    -1 & \quad x \in (-\pi,0)\\
    \end{cases}$
  \item $f(x)= x \quad x \in (-\pi,\pi)$
  \item $f(x)= |\cos(x)| \quad x \in (-\pi,\pi]$
  \item $f(x)= e^{x} \quad x \in [-\pi,\pi)$
  \item $f(x) =
    \begin{cases}
    x^{2} & \quad x \in [0,\pi]\\
    0 & \quad x \in (-\pi,0)\\  
    \end{cases}$
  \end{enumerate}
\end{esercizio}
\begin{esercizio}
  Rifare la dimostrazione del Teorema (convergenza)%%metti il riferimento
 nel caso di funzioni $C^{1}$ a tratti.
\end{esercizio}
\newpage
\begin{center}
  {\huge Formulario Serie di Fourier}
\end{center}
\begin{equation}
  \mathcal{S}_{\mathbb{C}}(f)= \sum_{n \in \mathbb{Z}}c_{n}e^{inx} \quad c_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathcal{S}_{\mathbb{R}}(f)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx)+ b_{n}\sin(nx)) + a_{0} 
\end{equation}
$$
\quad a_{0}=\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x) dx \\ 
\qquad a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx) dx \\
\qquad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx) dx
$$
Valgono inoltre le seguenti uguaglianze che ci permettono di passare da una serie all'altra.
\begin{equation}
  \begin{cases}
    e^{inx}=\cos(nx)+ i\sin(nx)\\
    e^{-inx}=\cos(nx) -i\sin(nx)
  \end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
  \cos(nx) = \frac{1}{2}(e^{inx}+e^{-inx}).
\end{equation}
\begin{equation}
  \sin(nx) = \frac{1}{2i}(e^{inx}-e^{-inx}).
\end{equation}
\begin{equation}
  c_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)(cos(nx)-isin(nx))dx = \frac{1}{2}(a_{n}-ib_{n}).
\end{equation}
\begin{equation}
 \mbox{Data } \{c_{n}\}_{n \in \mathbb{Z}} \quad \mbox{allora} \quad 
  \begin{cases}
    a_{0}=c_{0} \\
    a_{n}=c_{n}+c_{-n}\\
    b_{n}=\frac{1}{i}(c_{-n}-c_{n})
  \end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
  \mbox{Date } \{a_{n}\} \mbox{ e } \{b_{n}\} \quad \mbox{allora} \quad 
  \begin{cases}
    c_{0}=a_{0}\\
    c_{n}= \frac{1}{2}(a_{n}-ib_{n})\\
    c_{-n}=\frac{1}{2}(a_{n}+ib_{n})
  \end{cases}
\end{equation}
\newpage
\begin{osservazione}
  Possiamo usare il seguente lemma fatto a lezione per calcolare gli sviluppi in serie di Fourier di alcune funzioni in funzione delle loro derivate
\end{osservazione}
\begin{lemma}
  Se $f \in C^{1}$ a tratti e $C^{0}(\mathbb{R})$ allora vale $c_{n}(f')= inc_{n}(f)$
\end{lemma}
Questo � il caso generale di un lemma fatto a lezione %%metti la citazione 
la cui dimostrazione pu� essere fatta come \emph{Esercizio.}
\begin{esercizio}
  Calcolare $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\mbox{ , }\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}$
\end{esercizio}




\end{document}