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%\theoremstyle{plain}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{esempio}{Esempio}
\newtheorem{esercizio}{Esercizio}
\title{Lezione 4}
\author{Giovanni Alberti}
\begin{document}
\maketitle
Relazione tra la regolarit� di una funzione e come si comportano 
i suoi coefficenti di Fourier
\begin{teorema}
  \begin{enumerate}
  \item Sia $f \in X$ di classe $C^{k},k\geq 0$ allora 
$$\sum|n^{k}c_{n}|^{2} < +\infty$$
(in particolare $c_{n}=o(|n|^{-k})$ per $n \to \infty$)
\item Se invece $f \in X$ e 
 $$\sum|n^{k}c_{n}| < +\infty$$
(in particolare $c_{n}=O(|n|^{-(k+1+\delta)})$ con $\delta > 0$)
allora $f$ � di classe $C^{k}.$
  \end{enumerate}
  \emph{Nota:} la sommabilit� e la quadrato sommabilit� non sono equivalenti, 
quindi dai risultati sopra non si deduce una caratterizzazione dei coefficenti 
in base alla regolarit�.
\end{teorema}
\begin{proof}
  \begin{enumerate}
  \item Abbiamo che 
$$\infty>\|D^{k}f\|^{2}\geq \|D^{k}f\|_{2}^{2}\geq \sum_{-\infty}^{\infty}|coef \,di\,D^{k}f|^{2}=\sum_{-\infty}^{+\infty}|(in)^{k}c_{n}|^{2}=\sum_{-\infty}^{+\infty}|n^{k}c_{n}|^{2}$$
Infatti se i $c_{n}$ sono i coefficenti di Fourier di $f$ allora $inc_{n}$ 
sono queli di $f'$.
\item $\sum|n^{k}c_{n}|<+\infty \quad \Rightarrow \quad \sum|n^{h}c_{n}|<+\infty \forall h=0,...,k \ $ allora \\
$\sum D^{h} (c_{n}e^{inx})$ converge totalmente $\forall h=0,...,k$. \\
Quindi $\sum_{-\infty}^{+\infty}c_{n}e^{inx}$ � funzione di classe $C^{k},$ 
ma siccome tale serie converge uniformemente allora deve necessariamente 
convergere a $f(x).$
  \end{enumerate}
\end{proof}
\begin{osservazione}
  Abbiamo dimostrato l'altra volta che $\|f\|_{2}^{2}\geq \sum |c_{n}|^{2}$ in
realt� abbiamo un uguaglianza. (Uguaglianza di Bessel)
\end{osservazione}
\begin{proof}
\emph{Esercizio.}
\end{proof}
\begin{osservazione}
Abbiamo anche che
$<\tilde{f},f>=\sum \tilde{c}_{n}\cdot \bar{c}_{n}.$
\end{osservazione}
\begin{proof}
 \emph{Esercizio.}
\end{proof}
\begin{osservazione}
  Vale $<f',e^{inx}>=inc_{n}$
\end{osservazione}
\begin{proof}
  \emph{Esercizio} usando che $f'=\sum c_{n}ine^{inx}.$
\end{proof}
\textbf{Equazione delle onde} \\
Abbiamo una sbarra di materiale elastico con delle tacche equispaziate 
(disegno 1), per descrivere come agiscono delle onde sulla sbarra fissiamo 
una tacca $x$ e a ogni istante $t$ definiamo $u(t,x)$ lo spostamento 
dalla posizione di quiete del punto 
$x$ al tempo $t.$\\
Per questa rappresentazione supponiamo che la sbarra elastica si comporti 
come un insieme di punti collegati da molle (disegno 2), definiamo 
$\delta$ la lunghezza a riposo di ogni molla.
Definiamo $u_{n}(t)$ lo spostamento della $n$-esima massa rispetto alla 
posizione di quiete.\\
Abbiamo quindi la seguente equazione differenziale che descrive $u_{n}(t)$
$$mu_{n}''=k(u_{n+1}-u_{n}+\delta-\delta_{0})-k(u_{n}-u_{n-1}+\delta-\delta_{0})$$
dove si tiene conto delle forze della $n-1$-esima e $n+1$-esima molla sulla 
$n$-esima. Perci� $mu_{n}''=k(u_{n+1}-2u_{n}+u_{n-1})$ dove $m=\rho \delta A$ 
con $\rho$ densit� e $A$ area della sezione della sbarra e 
$k=\frac{k_{e}}{\delta}A$ con $k_{e}$ costante elastica.\\
Adesso $$u_{n}''=\frac{k_{e}}{\rho}\frac{(u_{n+1}-2u_{n}+u_{n-1})}{\delta^{2}},$$ 
derivando otteniamo $$u_{tt}(t,x)=\frac{k_{e}}{\rho}\frac{(u(t,x+\delta)-2u(t,x)-u(t,x-\delta))}{\delta^{2}}$$
$$u_{tt}=\frac{k_{e}}{\rho}u_{xx}=c^{2}u_{xx}.$$ 
\emph{Condizioni al bordo} \\
$$u(t,0)=u(t,L)=0 \forall t$$
\emph{Condizioni iniziali}\\
Rimandate.
\emph{Nota:} per il caso $n$-dimensionale le osservazioni sono analoghe, 
invece di considerare una sbarra si considera una membrana e abbiamo che 
nella equazione delle onde al posto della derivata seconda rispoetto a $x$ 
ci sar� il Laplaciano.\\
Risolviamo l'equazione al caso unidimensionale con le serie di Fourier.\\
Dobbiamo trovare $u:[0,t]\times [-\pi,+\pi] \to \mathbb{R}$ di classe $C^{2}$ 
tale che 
\begin{equation}
\label{equazioneonde}
  \begin{cases}
    u_{tt}=c^{2}u_{xx} & \forall t,x \\
    u(t,-\pi)=u(t,\pi) & \forall t \\
    u_{x}(t,-\pi)=u_{x}(t,\pi) & \forall t\\
    u(0,x)=u_{1}(x) \\
    u_{t}(0,x)=u_{0}(x)
  \end{cases}
\end{equation}
\emph{Nota 1:} le condizioni al contorno sono definite in modo che il problema 
di Fourier abbia soluzione.\\
\emph{Nota 2:} una funzione di classe $C^{2}$ definita su un chiuso � intesa 
come estendibile ad un aperto contenente il chiuso in modo che continui ad 
essere di classe $C^{2}.$\\
\emph{Soluzione formale}(per capire come funzionano le cose)\\
$$u(t,x)=\sum_{-\infty}^{\infty}c_{n}(t)e^{inx} 
\Rightarrow u_{tt}=\sum c_{n}''(t) e^{inx} , u_{xx}\sum -c_{n}(t)n^{2}e^{inx}$$
quindi  $c^{2} u_{xx} = \sum - c^{2} n^{2}c_{n}(t) e^{inx}$.\\
Abbiamo perci� che : 
$ u_{tt}c^{2}u_{xx} \Leftrightarrow c_{n}'' = -n^{2}c^{2}c_{n}$  che 
� una equazione differenziale ordinaria, la cui unicit� della soluzione � data
 se sono note le condizioni iniziali
 \begin{eqnarray}
   \begin{cases}
     y(0)= c_{n}^{0}\\
     y'(0)=c_{n}^{1}
   \end{cases}
    \mbox{ dell'equazione differenziale } y''+ c^{2}n^{2}y=0.
 \end{eqnarray}
Notiamo che se $u^{0}=\sum c_{n}^{0}e^{inx}, u^{1}(t)=\sum c_{n}^{1} e^{inx}$ 
allora $u^{0}(t)=u(0,x)=\sum e^{inx} c_{n}(0) \mbox{ e } u_{1}(t)=u_{t}(0,x)=\sum c'_{n}(0)e^{inx}$\\
quindi le condizioni iniziali date sull'equazione $y'' + c^{2}n^{2}y =0$ 
corrispondono a quelle del problema di partenza dove $c_{n}^{0}, c_{n}^{1}$ 
sono oi coefficenti di Fourier di $u_{0}, u_{1}.$\\
Passando quindi in notazione complessa 
$$c_{n}(t)= \alpha e^{inct} + \beta e^{-inct} \mbox{ con }
\begin{cases}
  \alpha_{n} + \beta_{n}= c_{n}^{0}\\
\alpha_{n} -\beta_{n}=\frac{c_{n}^{1}}{in}
\end{cases}
$$
\emph{Soluzione rigorosa}
\begin{teorema}[unicit� e caratterizzazione]
  Sia $u:[0,T]\times[-\pi,\pi] \to \mathbb{R}$ di classe $C^{2}$ soluzione del 
problema espresso dall'equazione \ref{equazioneonde}.
Allora $u(t,x)=\sum_{-\infty}^{\infty}c_{n}(t)e^{int}$ dove 
$\forall n \in \mathbb{Z}$ $c_{n}(t)$ risolve il problema di Cauchy
\begin{equation}
\label{riduzione}
  \begin{cases}
    y''+ c^{2}n^{2}y=0 \\
    y(0)=c_{n}^{0} \\
    y'(0)=c_{n}^{1}
  \end{cases}
\end{equation}
con $c_{n}^{0}$ coeff. di Fourier di $u_{0}$ e $c_{n}^{1}$ coeff. di Fourier 
di $u_{0},u_{1}.$\\
In particolare la funzione $u$ � unica.
\end{teorema}
\begin{proof}
Innanzitutto $u \in C^{2} \Rightarrow u(t,x)= \sum c_{n}(t)e^{inx},$ con
 $c_{n}(t)=<u,e^{inx}>=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}u(t,x)e^{inx}dx.$\\
Allora per il teorema di derivazione sotto il segno di integrale $c_{n}$ � 
di classe $C^{2}$ e $c_{n}''(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}u_{tt}(t,x)e^{-inx}dx = <u_{tt},e^{inx}>.$
Inoltre per la scelta oculata dell condizioni al contorno abbiamo che 
$<u_{xx},e^{inx}>=-n^{2}c_{n}(t)$ (per il lemma sui coefficenti di Fourier 
di $f'$ %metti il riferimento al lemma
)
allora dall'ipotesi $u_{tt}=c^{2}u_{xx}$ si ha che $c_{n}$ risolve 
l'equazione \ref{riduzione}.\\
Quindi
\begin{eqnarray}
c_{n} = \alpha_{n}e^{inct}+ \beta_{n}e^{-inct} \mbox{ con }
  \begin{cases}
    \alpha_{n}+\beta_{n}=c_{n}^{0}\\
    (\alpha_{n}-\beta_{n})in=c_{n^{1}} 
  \end{cases}
\end{eqnarray}
mentre per $n=0$ l'equazione �
\begin{eqnarray}
 y''= 0 \mbox{ quindi } c_{0}(t)=\alpha_{0}t +\beta_{0} \mbox{ con }
 \begin{cases}
   \alpha_{0}=c_{n}^{0}\\
   \beta_{0}=c_{n}^{1}
 \end{cases}
\end{eqnarray}
\end{proof}
\begin{osservazione}
\label{oss1}
  Siccome possiamo risolvere
  \begin{itemize}
  \item $c_{n}(t)=\alpha_{n}e^{inct} + \beta_{n}e^{-inct} \quad \alpha n \neq 0 \mbox{ dove }$\\
    \begin{eqnarray*}
      \alpha_{n}+ \beta_{n}=c_{n}^{0}\\
      \alpha_{n} - \beta_{n}=\frac{c_{n}^{1}}{in}
    \end{eqnarray*}
  \item $c_{0}(t)=\alpha_{0}+\beta_{0}t \mbox{ dove }$\\
    \begin{eqnarray*}
      \begin{cases}
        \alpha_{0}=c_{n}^{0}\\
        \beta_{0}=c_{0}^{1}
      \end{cases}
    \end{eqnarray*}
  \end{itemize}
\end{osservazione}
\end{document}