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\newtheorem{conclusioni}{Conclusioni}
%\theoremstyle{plain}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{esempio}{Esempio}
\newtheorem{esercizio}{Esercizio}
\title{Lezione 5}
\author{Giovanni Alberti}
\begin{document}
\maketitle
Ripartiamo dall'equazione delle onde enunciata nella scorsa lezione.
\begin{osservazione}
  \begin{enumerate}
  \item Se la soluzione dell'equazione delle onde  esiste, allora 
necessariamente esiste $u^{0} \in C^{2}$ e $u^{1} \in C^{1}.$
  \item $u_{xx}(t-\pi)= \frac{1}{c^{2}}u_{tt}(t,-\pi)=\frac{1}{c^{2}}u_{tt}(t,\pi)uu_{xx}(t,\pi)$
  \item Dal punto precedente ho che $\forall t $ se estendo $u(t,\cdot)$ 
su tutto
$\mathbb{R}$ per periodicit� ottengo una funzione $C^{2}$
\item $u(x,t)=\beta_{0} t + \alpha_{0}+ \phi_{+}(x+ct)+ \phi_{-}(x-ct)$ con 
$\phi_{+}(x+ct)= \sum_{n\neq 0}\alpha_{n}e^{in(x+ct)}$,
$\phi_{-}(x-ct)=  \sum_{n\neq 0} \beta_{n}^{in(x-ct)}$ 
e $\beta_{0}=c_{0}^{1}= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}u_{1}dt$.\\
Vediamo quanto sono regolari $\phi_{+}$ e $\phi_{-}$, abbiamo che 
$|\alpha_{n}| \leq |c_{n}^{0}+|c_{n}^{1}|$ adesso 
$\sum_{n}n|\alpha_{n}|\leq \sum_{n}|nc_{n}^{0}|+\sum|c_{n}^{1}|$ e nella parte 
sinistra dell disuguaglianza le due componenti sono entrambe finite 
$\Rightarrow \phi_{+} \in C^{1}$ e anche $\phi_{-},$ non abbiamo ancora che 
sono $C^{2}.$
\end{enumerate}
\end{osservazione}
\begin{teorema}[Esistenza]
  Se $u_{0} \in X \cap C^{3}$ e $u_{1} \in X \cap C^{2}$, intendendo che sono $C^{2}$ e $C^{3}$ se estese per periodicit�, quindi aggiungendo condizioni al bordo.\\  
Allora l'equazione delle onde ammette una soluzione di classe $C^{2}$ tale che 
$$u:(-\infty,\infty) \times [-\pi,\pi] \to \mathbb{R}.$$
\begin{proof}
  Prendendo $u(t,x)=\sum c_{n}(t)e^{inx}$ con $c_n$ dato dalle formule 
precedentemente espresse.\\
\emph{Punto chiave:} verificare che $u$ � $C^{2}$ e verifica l'equazione 
delle onde.
\begin{itemize}
\item $\sum |n^{2}c_{n}(t)| < + \infty \Rightarrow u(\cdot,t) \in C^{2},$ ma
$c_{n} \leq |\alpha_{n}| +|\beta_{n}| \leq |c_{n}^{0}| + |\frac{c_{n}^{1}}{in}|$
$\Rightarrow \sum |n^{2}c_{n}^{0}| \leq \sum |n^{2} c_{n}^{0}| + \sum |n c_{n}^{1}|$
\item siccome $c_{n}$ risolve $y''=n^{2}c^{2}y,$ allora 
$\sum |n^{2}c_{n}(t)|< +\infty \Rightarrow u(x,\cdot) \in C^{2}.$
\item Resta da verificare che $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial t}$ e $\frac{\partial^{2} u}{\partial t \partial x}$ sono continue, \emph{Esercizio}.
\end{itemize}
Chiaramente $c_{n}(t)$ � $C^{\infty}$ in $t$ quindi $u(x,t)$ � $C^{\infty}$ in $t$ (se la serie converge totalmente).\\
$u(x,t)$ � $C^{2}$ in $X$ $\Leftarrow$ $\sum |n^{2}c_{n}(t)|<\infty \forall t$ \\
($u(x,t)$ � $C^{\infty}$ in $t$ $\Leftarrow$ $\sum |D^{2}c_{n}(t)|<\infty \forall t $) %perso il pezzo qua comunque mancano un p� di verifiche ci saranno sui suoi appunti
\end{proof}
\end{teorema}
\begin{teorema}
  Se $u_{0} \in X \cap C^{2}, \; u_{1} \in X \cap C^{1}$ allora il problema 
delle onde ammette soluzione $u \in C^{2}$ dove 
$u : \mathbb{R} \times [-\pi,\pi] \to \mathbb{R}.$
\end{teorema}
\begin{proof}
Cerco $u(t,x)=\beta_{0}t+\phi_{+}(x+ct)+\phi_{-}(x-ct)$ con $\phi_{+} \phi_{-}$ in $X\cap C^{2}.$\\
(sicuramente ogni $u$ di questo tipo soddisfa equazione e cond. al bordo).
Basta trovare $\beta_{0},\phi_{+},\phi_{-}$ tali che valgono le condizioni 
iniziali:
\begin{eqnarray*}
  \begin{cases}
  \phi_{-}+\phi_{+}=u_{0}\\
\beta_{0}+c\phi'_{+}-c\phi'_{-}=u_{1} \Leftrightarrow \phi'_{+}- \phi'_{-}= \frac{u_{1}- \beta_{0}}{c}.
 \end{cases}
\end{eqnarray*}
Tutto ci� vale se :
\begin{eqnarray*}
  \begin{cases}
    \phi_{-}+\phi_{+}=u_{0} \\
    \phi_{-}-\phi_{+}=v_{1}
  \end{cases}
\\
\Updownarrow \\
\begin{cases}
  \phi_{+}=\frac{u_{0}+v_{1}}{2}\\
  \phi_{-}= \frac{u_{0}-v_{1}}{2}
\end{cases}
\end{eqnarray*}
dove $v_{1}$ � una primitiva di $\frac{u_{1}-\beta_{0}}{c}.$
Si usa il seguente 
\begin{lemma}
  $f \in X \cap C^{1}$ con $\int_{0}^{2\pi}f(x)dx=0.$ Allora la $F$ primitiva di 
$f$ � in $X\cap C^{2}.$
\end{lemma} 
Prendendo $\beta_{0}$ tale che $\int_{-\pi}^{\pi}\frac{u_{1}-\beta_{0}}{c}=0$ 
tutto funziona.
\end{proof}
\textbf{Derivazione dell'equazione del calore}\\
disegno 1
Partiamo dicendo che se ho due contenitori $T_{0}$ e $T_{1}$ c'� un 
trasferimento di energia da sinistra a destra, in questa misura
\begin{equation}
  E=k_{c}\frac{A(T_{1}-T_{0})}{\delta} \xrightarrow{\delta \to 0} q=k_{c}\frac{\partial T}{\partial x}
\end{equation}
Abbiamo quindi che per $a<b, T=T(x,t)$
\begin{eqnarray*}
c_{T}\int_{a}^{b}-\frac{\partial T}{\partial t}dx= q(b) - q(a) & = & -k_{c}(\frac{\partial T}{\partial x}(b)- \frac{\partial T}{\partial x}(a))=-k_{c}\int_{a}^{b}\frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}dx\\
\Rightarrow c_{T}\int_{a}^{b}\frac{\partial T}{\partial t}dx=-k_{c}\int_{a}^{b}\frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}dx & \Rightarrow & c_{T}\frac{\partial T}{\partial t} = -k_{c}\frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}
\end{eqnarray*}
Abbiamo quindi la seguente equazione del calore $ u_{t}=c u_{xx}$ nel 
caso monodimensionale.\\
 Nel caso di dimensione $>1$
\begin{eqnarray*}
  -c\int_{\Omega}\frac{\partial T}{\partial t}dx = -c \frac{\partial}{\partial t}\int_{\Omega} T dx  =& -k_{c}\int_{\partial \Omega} \nabla T \cdot u &= -k_{c}\int_{\Omega}div(\nabla T)dx= -k_{c} \int_{\Omega} \Delta T dx \\
\Rightarrow c\int\frac{\partial T}{\partial t}= k_{c} \int_{\Omega}\Delta T & \forall \Omega & \\
\Rightarrow \frac{\partial u}{\partial t}= c \Delta \bar{u}.
\end{eqnarray*}
Abbiamo quindi che il problema di Cauchy associato � il seguente:
\begin{equation}
\label{calore}
\begin{cases}
  u_{t}= c u_{xx} & \forall t,x \\
  u(t,\pi)=u(t,-\pi) & \forall t \\
u_{x}(t,\pi)= u_{t}(t,-\pi) &\forall t \\
u(o,x)= u_{0}(x) & \forall x
\end{cases}
\end{equation}
Per risolvere questo problema usiamo le serie di Fourier, abbiamo che se 
$u(t,x)= \sum c_{n}(t) e^{inx}$ allora $u_{t}= \sum c'_{n}(t) e^{inx} $ e 
$u_{xx}\sum -n^{2} c_{n}(t) e^{inx},$ per risolvere $u_{t}=c u_{xx}$ serve che:
\begin{equation}
  \label{eq:1}
  c'_{n}=c n^{2} c_{n}
\end{equation} 
cio� che $c_{n}(t)$ risolva l'equazione $y' +cn^{2}y=0$ con dato iniziale 
$y(0)=c_{n}^{0}$ dove $c_{n}^{0}$ � coefficente di Fourier di $u_{0}.$\\
Inoltre vale:
\begin{equation}
\label{eq:2}
  c_{n}(t)=c_{n}^{0}e^{-cn^{2}t}.
\end{equation}
Quindi la soluzione �
\begin{equation}
\label{soluzione}
  u(t,x)=\sum_{n \in \mathbb{Z}} c_{n}^{0}e^{(inx-cn^{2}t)}=\sum_{n \in \mathbb{Z}}c_{n}^{0}e^{-cn^{2}t} e ^{inx}
\end{equation}
\begin{teorema}[Unicit�]
  Se $u:[0,T] \times [-\pi,\pi] \to \mathbb{R} \quad \in C^{2}$ risolve il 
problema \ref{calore}, allora i coefficenti $c_{n}(t)$ sono univocamente 
determinati dall'equazione \ref{eq:1} o \ref{eq:2}. In particolare la soluzione 
� unica.
\end{teorema}
\begin{teorema}[Esistenza]
  Se $u_{0} \in X \cap C^{1}$ allora 
$\exists u : [0,+\infty]\times[-\pi,\pi] \to \mathbb{R} \quad \in C^{0}$ e $C^{\infty}(0,+\infty)$ che risolve il problema \ref{calore}.
\end{teorema}
\begin{proof}
  Dobbiamo verificare che la \ref{soluzione} soddisfa le ipotesi. Ci basta 
  uindi controllare le convergenze:
  \begin{itemize}
  \item $\|c_{n}^{0}e^{inx-cn^{2}t}\|_{t \geq 0} = |c_{n}^{0}|$ ma allora usando che 
$u_{0} \in C^{1}$ abbiamo che $\sum |c_{n}^{0}| < +\infty$ e perci� $u \in C^{0}$
\item per dimostrare che $u \in C^{\infty}((0,+\infty) \times \mathbb{R}),$ 
ci basta mostrare che 
$\forall \delta >0 \sum \|(\frac{\partial }{\partial t})^{k}(\frac{\partial}{\partial x})^{h}(c_{n}^{0}e^{inx -cn^{2}t})\|_{x \in \mathbb{R}, t\geq \delta > 0} <\infty.$\\ 
Ma infatti
\begin{eqnarray*}
  (\frac{\partial }{\partial t})^{k}(\frac{\partial}{\partial x})^{h}(...)=(-cn^{2})^{k}(cn)^{h}(...) \Rightarrow \|(\frac{\partial }{\partial t})^{k}(\frac{\partial}{\partial x})^{h}(...)\|_{x \in \mathbb{R}, t \geq \delta}=(cn^{2})^{k}n^{h}|c_{n}^{0}| \|e^{-cn^{2}\delta}\|.
\end{eqnarray*}
Quindi la serie converge totalmente su 
$[\delta,\infty) \times \mathbb{R}, \forall \delta >0$ e quindi la tesi.
  \end{itemize}
\end{proof}
\end{document}