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\newtheorem{conclusioni}{Conclusioni}
%\theoremstyle{plain}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{esempio}{Esempio}
\newtheorem{esercizio}{Esercizio}
\title{Lezione 6}
\author{Maria Stella Gelli}
\begin{document}
\maketitle
\begin{proposizione}
  \begin{itemize}
  \item $f \in C^{k} \cap X \Leftrightarrow |c_{n}|= o(\frac{1}{n^{k+1}})$
  \item $f \in C^{k} \cap X \Rightarrow \sum_{n \in \mathbb{Z}}n^{2k}|c_{n}|^{2}< \infty$
  \item Sia $\{c_{n}\} \subset \mathbb{C} \, , \, \sum_{n \in \mathbb{Z}}|n^{k}||c_{n}| < \infty \, \Rightarrow f \in C^{k}$
  \end{itemize}
\end{proposizione}
\begin{proposizione}
  In particolare $|c_n| \leq c e^{-\delta|n|} \quad \delta >0$
Se assumiamo che $\exists \delta > 0$ tale che verifica le ipotesi 
precedenti allora vale che la $f$ � analitica. (Cio� coincide con una 
serie di potenze)
\end{proposizione}
\begin{proof}
  Si consideri $g_{1},g_{2} :\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ definite come serie di 
potenze
$$g_{1}(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}z^{n} \qquad g_{2}(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{-n}z^{n}$$
convergono in un disco in $\mathbb{C}$ di raggio $R$ con $R\leq e^{\delta} $
$g_{1}, g_{2}$ sono analitiche anche in un intorno di $\partial B$ con $B$ 
disco unitario in $\mathbb{C}.$ \\
Allora $f(x)= g_{1}(e^{ix}) + g(e^{-ix})$ e $z= e^{ix} \Rightarrow z^{n}=e^{inx}$
,  $z=e^{-ix} \Rightarrow z^{n}=e^{-inx}.$ 
\end{proof}
\begin{esercizio}
  $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \, f \in X  $ e $a_{n},b_{n}$ coefficenti 
di Fourier reali, tali che $|a_{n}|+|b_{n}| \leq  e^{-\delta n}$ con 
$n \in \mathbb{N}$ allora $f$ � analitica reale.
\end{esercizio}
\begin{esercizio}
  \begin{itemize}
  \item  Sia $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4^{-n}}{\sqrt{n!}}\sin(nx)$ 
calcolare $\|f\|_{2}.$
  \item analogamente per $g(x)= \sum_{n \in \mathbb{Z}}\cos(nx)$
  \end{itemize}
\end{esercizio}
\emph{Suggerimento:} si utilizza la disuguaglianza 
$\|f\|_{2}^{2} \geq \sum_{n \in \mathbb{Z}}|c_{n}|^{2}$ (Bessel) che vale 
se $f \in X \cap C^{1},$ e per dimostrare che le funzioni sono $C^{1}$ 
uso le proposizioni precedenti riguardanti la sommabilit�. \\
In realt� vale la seguente 
\begin{proposizione}[Uguaglianza di Bessel]
  $\forall f \in X $ allora $\|f\|=_{2}^{2}=\sum_{n \in \mathbb{Z}}|c_{n}|^{2}$
\end{proposizione}
\begin{proof}
  Abbiamo gi� che  $\|f\|_{2} \geq (\sum |c_{n}|^{2})^{\frac{1}{2}},$ dobbiamo 
dimostrare l'altra disuguaglianza.
  Inoltre se $f \in X$ � anche un polinomio trigonometrico cio� 
$f(x)=\sum_{n \in \mathcal{I}}c_{n e^{inx}}$, con $\mathcal{I}$ finito, 
allora � vero che $\|f\|_{2}^{2}=\sum_{n \in \mathcal{I}}|c_{n}|^{2}.$
Abbiamo inoltre che la classe $\mathcal{P}$ dei polinomi � densa in $X$ 
rispetto alla $\| \cdot \|_{\infty}.$\\
Data $f \in X$ allora vogliamo trovare $f_{N}$ che sia polinomio 
trigonometrico tale che questa tende in norma a $f.$ Per densit� 
allora $\exists \{f_{n}\} \subset \mathcal{P}(X)$ tali che 
$\|f_{n}-f\|_{\infty} \to 0 $ per $N \to \infty$ e questo implica 
la convergenza in norma 2. \\
Inoltre vale che  $\forall f \quad \|f\|_{2} \leq \|f\|_{\infty}.$\\
Sia $g =f_{N}-f$ e siano $c_{n}(g)$ i suoi coefficenti di Fourier. \\
Allora $(\sum_{n \in \mathbb{Z}}|c_{n}(g)|^{2})^{\frac{1}{2}} \leq \|g\|_{\infty}$ 
e quindi $\sum_{n \in \mathbb{Z}}|c_{n}^{N} - c_{n}|^{2} \to 0$.\\ Mi manca 
soltanto da dimostrare (\emph{Esercizio per casa}) che la precedente 
implica che 
$\sum_{n \in \mathbb{Z}}|c_{n}^{N}|^{2} \to \sum_{n \in \mathbb{Z}}|c_{n}|^{2}.$
\end{proof}
\begin{esercizio}
  Discutere (e risolvere) la seguente equazione:
    \begin{equation}
      \begin{cases}
        u_{tt}=u_{xx} & t > 0, x \in [-\pi,\pi] \\
        u(t,-\pi)=u(t,\pi) & t \geq 0 \\
        u_{x}(t, -\pi)=u_{x}(t,\pi) & t \geq 0 \\
        u(0,x)= \cos(x) & x \in [-\pi,\pi] \\
        u_{t}(0,x)=\sin(x) & x \in [-\pi,\pi]
      \end{cases}
    \end{equation}
\emph{Suggerimento:} sappiamo che esiste una soluzione $C^{2}$ che verifica 
le formule di qualche lezione fa.  
\end{esercizio}
\begin{esercizio}
Discutere (e risolvere) la seguente equazione:
\begin{equation}
  \begin{cases}
    u_{t}=u_{xx} + u &t>0, x \in (-\pi,\pi) \\
    u(t,-\pi)=u(t,\pi) & t \geq 0 \\
    u_{x}(t,-\pi)=u_{x}(t,\pi) & t \geq 0 \\
    u(0,x)=\cos(x) + 2\sin(2x) & x \in [-\pi,\pi]
  \end{cases}
\end{equation}
\end{esercizio}
\end{document}