\documentclass{article} \usepackage{amsmath} \usepackage[italian]{babel} \usepackage[applemac]{inputenc} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsthm} \usepackage{amscd} \usepackage{amssymb} \theoremstyle{definition} \newtheorem{definizione}{Definizione} \newtheorem{teorema}{Teorema} \newtheorem{proposizione}{Proposizione} \newtheorem{lemma}{Lemma} \newtheorem{osservazione}{Osservazione} \newtheorem{corollario}{Corollario} \newtheorem{conclusioni}{Conclusioni} %\theoremstyle{plain} \theoremstyle{remark} \newtheorem{esempio}{Esempio} \newtheorem{esercizio}{Esercizio} \title{Lezione 7} \author{Giovanni Alberti} \begin{document} \maketitle Errore nella soluzione dell'equazione delle onde, non l'ho presa, correggi sia questi che gli scorsi appunti. Abbiamo la serie: \begin{equation} u(t,x):=\alpha_{0}+ \beta_{0}t+ \sum_{n \neq 0}\alpha_{n}e^{in(x+ct)}+\sum_{n \neq 0}\beta_{n}e^{in(x+ct)} \end{equation} e vogliamo provare la convergenza totale.\\ Inoltre l'equazione del calore ha la seguente soluzione: \begin{equation} u(t,x):= \sum_{-\infty}^{+\infty}c_{n}^{0}e^{inx-cn^{2}t} \end{equation} Ci mancava da verificare che $u \in C^{0}([0,+\infty) \times \mathbb{R}) \cap C^{\infty}((0,\infty) \times \mathbb{R})$ un p di conti prendili semmai e mettici qualcosa. \\ \begin{proposizione}[Disuguaglianza isoperimetrica] Preso $D$ insieme sufficentemente regolare e compatto di $\mathbb{R}^{2}$ allora vale la seguente: \begin{equation} 4\pi \cdot Area(D) \leq (Lungh(\partial D))^{2} \end{equation} e vale l'uguaglianza se e solo se $D$ un disco. \end{proposizione} Per dimostrarlo abbiamo bisogno di \begin{lemma} \begin{itemize} \item $\forall f \in X $ con coefficenti di Fourier $\{c_{n}\}$ vale $\sum |c_{n}|^{2}=\|f\|_{2}^{2}$ \item $\forall f,g \in X$ con coefficenti di Fourier $\{c_{n}\}, \{d_{n}\}$ vale $\sum_{n \in \mathbb{Z}}c_{n}\bar{d_{n}}=$ \quad (Identit di Parsefal) \end{itemize} \end{lemma} \begin{proof} Il primo punto l'avevamo gi dimostrato a esercitazioni. Per il secondo punto osserviamo innanzitutto che la serie a primo membro converge assolutamente ($|c_{n}\bar{d_{n}}| \leq \frac{1}{2}(|c_{n}|^{2}+ |d_{n}|^{2})$), inoltre ci possiamo ricondurre al primo punto usando: \begin{equation} \begin{cases} \mathcal{Re}=\frac{1}{2}(\|f+g\|_{2}^{2} - \|f\|_{2}^{2} -\|g\|_{2}^{2}) \\ \mathcal{Im}=\frac{1}{2}(\|f+ig\|_{2}^{2} - \|f\|_{2}^{2} -\|g\|_{2}^{2}) \end{cases} \end{equation} (dimostrazione: \emph{Esercizio}) abbiamo $$=\mathcal{Re}+ i \mathcal{Im}= \sum_{n \in \mathbb{Z}}c_{n}\bar{d_{n}}$$ dove l'ultima uguaglianza ottenuta ricostruendo il prodotto scalare dalla norma. \end{proof} \begin{lemma} Data $\gamma:[-\pi,\pi] \to \mathbb{R}^{2} (= \mathbb{C})$ curva chiusa e $C^{1}.$\\ Se $|\dot{\gamma}|= cost$ allora $Lungh(\gamma)=2\pi\|\dot{\gamma}\|_{2}=2\pi(\sum_{n \in \mathbb{Z}}n^{2}|c_{n}|^{2})^{\frac{1}{2}}.$ \end{lemma} \begin{proof} $L:=Lungh(\gamma)$ e $|\dot{\gamma}|=cost$ implica che $|\dot{\gamma}|=\frac{L}{2\pi}.$\\ Ma allora $$\|\dot{\gamma}\|_{2}=(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|\dot{\gamma}|^{2}dt)^{\frac{1}{2}}=\frac{L}{2\pi}.$$ \end{proof} \begin{lemma} Se $D$ compatto di $\mathbb{R}^{2}$ con frontiera parametrizzata in senso antiorario da $\gamma:[-\pi,\pi] \to \mathbb{R}^{2}$ chiusa e $C^{1},$ con coefficenti di Fourier $\{c_{n}\}.$ \\ Allora $Area(D)=\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty} n |c_{n}|^{2}$. \emph{Nota:} per la definizione di frontiera parametrizzata in senso antiorario da una curva vedi Cartan. \end{lemma} \begin{proof} Nella nostra dimostrazione partiremo dalla formula e arriveremmo all'area, questo per semplificare i conti, per la dimostrazione costruttiva si scrive l'area come integrale della forma che parametrizza la frontiera.\\ Osserviamo innanzitutto che gli $i(nc_{n})$ sono i coefficenti di Fourier di $\dot{\gamma}$ e che gli $\bar{ic_{n}}$ sono i coefficenti di Fourier di $i\gamma.$ Allora usando l'Identit di Parsefal e il Teorema di Gauss-Green \begin{eqnarray*} \sum_{n \in \mathbb{Z}}n |c_{n}|^{2} & = & \sum_{n \in \mathbb{Z}}i(nc_{n})(\bar{ic_{n}}) \\ & = & <\dot{\gamma},i\gamma> \\ & = & \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\dot{\gamma}(t)(-i\bar{\gamma(t)})dt \\ & = & \frac{1}{2\pi}\int_{\gamma} -i \bar{z} (dx + idy ) \\ & = & \frac{1}{2\pi}\int_{\gamma}-i\bar{z}dx + \bar{z} dy \\ & = & \frac{1}{2\pi} \int_{D}2 dx dy \\ & = &\frac{1}{\pi}\cdot Area(D). \end{eqnarray*} \end{proof} \begin{proof}[Disuguaglianza isoperimetrica] Le ipotesi di sufficente regolarit si traducono in essere parametrizzato in senso antiorario da una curva $C^{1}.$\\ Supponiamo anche qua che i ${c_{n}}$ siano i coefficenti di Fourier di $\gamma$, allora \begin{eqnarray*} 4\pi Area(D) &=& 4 \pi ^{2} \sum_{n \in \mathbb{Z}} n | c_{n} |^{2} \\ & = & 4\pi^{2} \sum_{n \in \mathbb{Z}}n^{2}|c_{n}|^{2} \\ & = & (2\pi \|\dot{\gamma}\|_{2})^{2} \\ & = & (Lungh(\gamma))^{2}. \end{eqnarray*} Vale l'uguaglianza se e solo se $c_{n}=0 \forall n \neq 0,1$ quindi $\gamma(t)=c_{0}+c_{1}e^{it}$ che parametrizza una circonferenza. \end{proof} \begin{esercizio} Dalla precedente si ha che il disco la figura (della forma sopracitata) con area massima rispetto al perimetro o perimetro minimo rispetto all'area. \end{esercizio} \begin{esercizio}[] Pu essere generalizzato usando domini $D$ con buchi, ma sempre compatti. \end{esercizio} \begin{esercizio} Dato $D$ come sopra se \begin{equation} 4\pi \cdot Area(D) \geq (1-\delta)(Lungh(\partial D))^{2} \qquad 0<\delta<\frac{1}{3} \end{equation} allora $\exists x_{0} \in \mathbb{R},r_{e},r_{i}>0$ tali che: \begin{equation} D(x_{0},r_{i}) \subset D \subset D(x_{,r_{e}}) \qquad \frac{r_{e}}{r_{i}} \leq 1+c\sqrt{\delta}. \end{equation} Inoltre l'esponente $\frac{1}{2}$ ottimale. \end{esercizio} Cose che non possono essere fatte usando la serie di Fourier:\\ \begin{itemize} \item Come risolvere l'eq del calore e delle onde con condizioni al bordo diverse da quelle periodiche? (esempio $u=0$ sul bordo) \item Passando a dimensione superiore? \item Cosa succede per eq. lineari diverse? \end{itemize} \emph{Premessa:} Successivamente considereremo il prodotto scalare come non rinormalizzato rispetto a $2\pi.$ \begin{esempio} Sia $Y=\{f:[0,\pi] \to \mathbb{R} | f \, continua \, f(0)=f(\pi)=0\}$ e sia $= \int_{0}^{\pi}fg dx.$\\ Allora $\{\sqrt{\frac{2}{\pi}} \sin(nx) | n=1,2,...\}$ sistema ortonormale massimale.\\ Inoltre $\forall f \in C^{1}$ la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\gamma_{n}\sin(nx)$ con $\gamma_{n}:=\frac{2}{\pi}$ converge totalmente e converge ad $f.$\\ Possiamo utilizzare questa serie per risolvere l'eq. delle onde e del calore con condizioni $u(t,0)=u(t,\pi)=0 \forall t.$\\ \end{esempio} \begin{proof} Formula di rappresentazione partendo da quella gi vista.\\ Data $f:[0,\pi] \to \mathbb{R} \; f(0)=f(\pi)=0$ la estendo in maniera dispari e periodica (l'estensione unica) ad una $\tilde{f}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ usiamo adesso la formula di rappresentazione per $\tilde{f}.$ Otteniamo che $\tilde{f}=\sum_{n \in \mathbb{Z}}c_{n}e^{inx}$ e, essendo $\tilde{f}$ dispari e reale, $c_{0}=0$ e $c_{-n}=-c_{n}.$ Quindi \begin{eqnarray*} \tilde{f}(x) & = & \sum_{n=1}^{\infty}c_{n}e^{inx} + \sum_{n=1}^{\infty}c_{-n}e^{-inx}\\ & = & \sum_{n=1}^{\infty} [ c_{n}(e^{inx}-e^{-inx})] \\ & = & \sum_{n=1}^{\infty}2ic_{n}\sin(nx) \end{eqnarray*} dove la convergenza totale della serie segue dalla convergenza totale della serie di Fourier.\\ Quindi su $x \in [0,\pi] \quad f(x)= \sum_{n=1}^{\infty}\gamma_{n}\sin(nx).$ \emph{Nota 1:} per l'unicit dei $\gamma_{n}$ serve che l'insieme dato sia effettivamente un sistema ortonormale, non stato dimostrato (verr dimostrato a esercitazione).\\ \emph{Nota 2:} per la massimalit dell'insieme, quella non servirebbe (si usa per la formula di rappresentazione e ce l'abbiamo gi) ma in realt segue dalla formula di rappresentazione (verr dimostrata a esercitazione). Si fa per assurdo. \end{proof} \begin{esempio} Sia $Z=\{f:Q=[0,\pi]^{2} \to \mathbb{R} | f \, continua \, e \, f=0 \, su \, \partial Q\}$ ($Q$ il quadrato) con $= \int_{Q}fg dx.$\\ Allora $\{\frac{2}{\pi}\sin(n_{1}x_{1})\sin(n_{2}x_{2}) | n_{1},n_{2}=1,2,...\}$ sistema ortonormale massimale e data $f \in Z \cap C^{1}$ allora la serie $ \sum_{n_{1}n_{2}=1}^{\infty}\gamma_{n_{1},n_{2}}$ con $\gamma_{n_{1},n_{2}}=\frac{4}{\pi^{2}}$ converge totalmente e converge alla $f.$ \end{esempio} \begin{proof} Usiamo la dimostrazione dell'esempio precedente: \begin{eqnarray*} f(x_{1},x_{2}) & = & \sum_{n_{1}=1}^{\infty}\gamma_{n_{1}}(x_{2}) \sin(n_{1}x_{1}) \\ & = & \sum_{n_{1}=1}^{\infty} (\sum_{n_{2}=1}^{\infty}\gamma_{n_{1},n_{2}}(x_{2}) \sin(n_{2}x_{2})) \sin(n_{1}x_{1}). \end{eqnarray*} \emph{Nota 1:} Rimane da verificare la convergenza della serie doppia cio che $\sum_{n_{1},n_{2}} |\gamma_{n_{1},n_{2}}| < +\infty.$\\ \emph{Nota 2:} Vale un discorso analogo al caso precedente per la ortonormalit, stata utilizzata ma va dimostrata, per verificarla conviene scrivere il seno come somme e differenze di seni e coseni.\\ \emph{Nota 3:} Anche in questo caso segue dalla formula di rappresentazione.\\ \emph{Nota 4:} Possiamo utilizzare queste serie per risolvere le equazioni del calore: si scrive la funzione come serie, si calcola il Laplaciano e si prosegue con il procedimento. La cosa interessante di questo metodo che nel procedimento mi trovo delle equazioni differenziali per calcolare i coefficenti che sono funzione dei coefficenti stessi.\\ Tutto va bene perch le funzioni $\sin(n_{1}x_{1}) \sin(n_{2}x_{2})$ sono \emph{autovettori del Laplaciano}. \end{proof} \end{document}