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%\theoremstyle{plain}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{esempio}{Esempio}
\newtheorem{esercizio}{Esercizio}
\title{Lezione 8}
\author{Maria Stella Gelli, Giovanni Alberti}
\begin{document}
\maketitle
\emph{Applicazioni equazioni differenziali alle derivate parziali}\\
Rivediamo gli esercizi dati l'altra volta.
\begin{esercizio}
  \begin{equation}
      \begin{cases}
        u_{tt}=u_{xx} & t > 0, x \in [-\pi,\pi] \\
        u(t,-\pi)=u(t,\pi) & t \geq 0 \\
        u_{x}(t, -\pi)=u_{x}(t,\pi) & t \geq 0 \\
        u(0,x)= \cos(x) & x \in [-\pi,\pi] \\
        u_{t}(0,x)=\sin(x) & x \in [-\pi,\pi]
      \end{cases}
    \end{equation}
\end{esercizio}
\emph{Metodo risolutivo:}
\begin{itemize}
\item Calcolo formale dello sviluppo in serie trigonometriche della soluzione
$$u(t,x)=\sum_{n \in \mathbb{Z}}c_{n}(t) e^{inx}.$$
Abbiamo una equazione differenziale per i $c_{n}(t),$ usando le formule si 
calcolano gli $\alpha_{n},\beta_{n}$ e ci scriviamo le funzioni $c_{n}(t).$\\
\item Verifico poi che la funzione calcolata soddisfa effettivamente 
le condizioni del sistema.
\end{itemize}
\begin{esercizio}
  \begin{equation}
  \begin{cases}
    u_{t}=u_{xx} + u &t>0, x \in (-\pi,\pi) \\
    u(t,-\pi)=u(t,\pi) & t \geq 0 \\
    u_{x}(t,-\pi)=u_{x}(t,\pi) & t \geq 0 \\
    u(0,x)=\cos(x) + 2\sin(2x) & x \in [-\pi,\pi]
  \end{cases}
\end{equation}
\end{esercizio}
Questo caso ha un termine $u$ in pi�, si pu˜ comunque scrivere 
$$u(t,x)=\sum_{n \in \mathbb{Z}}c_{n}(t) e^{inx}.$$
Calcoliamo poi i $c_{n}$ con equazioni differenziali. In questo caso 
particolare abbiamo
\begin{equation*}
  \begin{cases}
    c_{n}'(t) = -n^{2} c_{n}(t)= (1-n^{2})c_{n}(t) \\
    c_{n}(0)=c_{n}(\cos(x)+ 2\sin(x)) & \forall n \in \mathbb{Z}
  \end{cases}
\end{equation*}
Un p˜ di esercizi con termini misti
\begin{esercizio}
  \begin{equation}
  \begin{cases}
    u_{t}=u_{xx} + \cos(x) &t>0, x \in (-\pi,\pi) \\
    u(t,-\pi)=u(t,\pi) & t \geq 0 \\
    u_{x}(t,-\pi)=u_{x}(t,\pi) & t \geq 0 \\
    u(0,x)=\sin(3x) & x \in [-\pi,\pi]
  \end{cases}
\end{equation}
\end{esercizio}
A lezione abbiamo definito il metodo delle serie di Fourier definite 
sull'insieme 
$Y=\{f:[0,\pi] \to \mathbb{R} | f  \, continua \, f(0)=f(\pi)=0\}$  
con $<f,g>= \int_{0}^{\pi}fg dx$ e 
$\{\sqrt{\frac{2}{\pi}} \sin(nx) | n=1,2,...\}$ che � sistema 
ortonormale massimale.\\
Se io volessi risolvere un sistema del tipo 
\begin{equation}
  \begin{cases}
    u_{t}=u_{xx} + u &t>0, x \in (0,\pi) \\
    u(t,0)=u(t,\pi) = 0 & t \geq 0 \\
    u_{x}(t,0)=u_{x}(t,\pi) = 0 & t \geq 0 \\
    u(0,x)= 2\sin(2x) & x \in [0,\pi]
  \end{cases}
\end{equation}
l'idea sarebbe di utilizzare la serie dei seni.\\Cambio \\
  Come procedere per equazioni differenziali con dominio $\Omega$ diverso da 
quelli dati (o anche condizioni al bordo) oppure se l'equazione � della forma 
$u_{t}=Tu$ con $T \neq \Delta $ ($u_{tt}=Tu$).
Abbiamo la seguente
\begin{osservazione}
  Se $V$ � spazio vettoriale con prodotto scalare e $T:V \to V$ � autoaggiunto 
($<Tv,w>=<v,Tw>$).\\
Allora esiste una base ortonormale di $V$ fatta da autovettori di $T.$
\end{osservazione}
Un metodo per verificare questo risultato � lavorando sulla forma 
quadratica associata al prodotto scalare.\\
Si pone $Q(v)=\frac{1}{2}<Tv,v>$ e si prende come primo vettore della 
base il punto minimo di $Q(v)$ sull'insieme dei vettori di norma 1. 
Si pone poi il secondo vettore uguale al minimo di $Q(v)$ su 
l'insieme dei vettori di norma 1 ortogonali al primo e si prosegue.\\
Non � naturale che qualcosa di simile valga anche su spazi di dimensione 
infinita.
In generale autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono 
ortogonali in ogni dimensione, ma � difficile dimostrare in dimensione 
infinita che sono un sistema massimale.
\begin{esempio}
  Prendiamo $X$ il solito spazio e sia $T: u \to u''$ con $u \in C^{2}.$ 
Allora $T$ � autoaggiunto (dimostrazione facile).
Sia $u''=\lambda u$ allora:\\
se $\lambda > 0$ $u=\alpha_{1}e^{\sqrt{\lambda x}}+ \alpha_{2}e^{-\sqrt{\lambda x}} \notin X$\\
se $\lambda=0$ analogo a prima $\notin X$\\
se $\lambda < 0 $ $u(x)=\alpha_{1}e^{i\sqrt{\lambda x}}+ \alpha_{2}e^{-i\sqrt{\lambda x}} \in X $ se e solo se $\sqrt{\lambda}=n.$
\begin{esercizio}
  Il Laplaciano � un operatore autoaggiunto.
\end{esercizio}

\end{esempio}
\end{document}