\documentclass{article}
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\newtheorem{definizione}{Definizione}
\newtheorem{teorema}{Teorema}
\newtheorem{proposizione}{Proposizione}
\newtheorem{lemma}{Lemma}
\newtheorem{osservazione}{Osservazione}
\newtheorem{corollario}{Corollario}
\newtheorem{conclusioni}{Conclusioni}
%\theoremstyle{plain}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{esempio}{Esempio}
\newtheorem{esercizio}{Esercizio}
\title{Lezione 9}
\author{Maria Stella Gelli}
\begin{document}
\maketitle
\emph{Ricevimento Gelli:}\\
Luned� 14:30-17:30
\emph{Riassuntino:}\\
\begin{itemize}
\item Abbiamo applicato la teoria delle serie di Fourier alla risoluzione di 
equazioni differenziali alle derivate parziali con opportune condizioni al 
bordo e dati iniziali
\item Teorema di esistenza e unicit� per l'equazione delle onde e del calore
\end{itemize}
Ripartiamo adesso dal secondo esercizio dell'altra volta
\begin{equation}
  \begin{cases}
    u_{t}=u_{xx} + u &t>0, x \in (0,\pi) \\
    u(t,0)=u(t,\pi) = 0 & t \geq 0 \\
    u_{x}(t,0)=u_{x}(t,\pi) = 0 & t \geq 0 \\
    u(0,x)= 2\sin(2x) & x \in [0,\pi]
  \end{cases}
\end{equation}
\emph{Unicit�:} se $u(t,x)$ � soluzione allora 
� $C^{2}((0,+\infty) \times (-\pi,\pi)).$ In particolare 
$u(t,x) \in X \cap C^{2}$ e ammette 
sviluppo in serie di Fourier cio� $u(t,x)= \sum_{n}C_{n}(t)e^{inx}$ e i 
$c_{n}(t)$ sono unici. Quindi $u$ � univocamente 
determinata se lo sono i coefficenti $c_{n}(t),$ ma infatti 
$c_{n}(t)=<u(t,x),e^{inx}>$ quindi se $u$ � soluzione, allora vale 
$$<u(t,x),e^{inx}>=<u_{xx}(t,x),e^{inx}>+ <u,e^{inx}> \quad \forall n \in \mathbb{Z}.$$
Allora $c_{n}(t)$ verifica che (se $u(t,0) \in C^{2}$ allora conosciamo 
i coefficenti di $u_{xx}$ in funzione di quelli di $u$, cio� sono $\{-n^{2}c_{n}(t)\}_{n}$)\\
\begin{equation}
\label{eq1}
  c'_{n}(t)= -u^{2}c_{n}(t)+ c_{n}(t)
\end{equation}
Infatti:
\begin{eqnarray*}
  <u_{t}(t,x), e^{inx}>& = &\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}u_{t}(t,x)e^{-inx}dx \\
&=& \frac{d}{dt}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2\pi}u(t,x)e^{-inx}dx =\frac{d}{dt}c_{n}(t)
\end{eqnarray*}
dove abbiamo usato il teorema di derivazione sotto il segno di integrale. \\
Inoltre $c_{n}$ deve verificare la condizione iniziale:
$$c_{n}(0)=<u(0,x),e^{inx}> = <u_{0}(x), e^{inx}>$$
Quindi i $c_{n}$ esistono e sono unici perch� sono soluzioni del problema di 
Cauchy sopra.\\
\emph{Esistenza:} considero la soluzione di \ref{eq1} con dato $c_{n}^{0}$ e 
costruisco $u(t,x)= \sum_{n \in \mathbb{Z}}c_{n}(t)e^{inx}.$\\
Resta solo da verificare che $u \in C^{2}$ e questo dipende dalla 
sommabilit� di tale serie.
\begin{esercizio}
Discutere e provare a risolvere:
\begin{equation}
  \begin{cases}
    u_{t}=2u_{xx} + \cos(x) \\
    u(t,-\pi)=u(t,\pi) =  \\
    u_{x}(t,\pi)=u_{x}(t,-\pi) \\
    u(0,x)= 1
  \end{cases}
\end{equation}%prendi la soluzione da muscillo anche se non la metter� qua
\end{esercizio}
\begin{esercizio}
 Provare a discutere:
\begin{equation}
  \begin{cases}
    u_{t}=(\sin(x))u_{xx}\\
    u(t,-\pi)=u(t,\pi)  \\
    u_{x}(t,\pi)=u_{x}(t,-\pi) \\
    u(0,x)= u_{0}(x)\\
    u_{t}(0,x)=u_{1}(x)
  \end{cases}
\end{equation}
\end{esercizio}
\begin{esercizio}
  \begin{equation}
  \begin{cases}
    u_{t}=u_{xx} + u & su \; (0,\infty)\times (0,\pi)\\
    u(t,0)=u(t,\pi) =0 & \forall t \geq 0 \\
    u(0,x)= 2\sin(2x) & \forall x \in [0,\pi]
  \end{cases}
\end{equation}%stessa cosa non scrivo la soluzione ma prendila negli appunti
\end{esercizio}
\begin{osservazione}
  Ortogonalit� di $\{\sin(nx)\}_{n \in \mathbb{N}}$ su $[0,\pi].$
\end{osservazione}
\begin{proof}
  Abbiamo $\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\sin(mx)dx=0$ se $n \neq m.$
\end{proof}
\begin{osservazione}
  Massimalit� di $\{\sin(nx)\}_{n \in \mathbb{N}}$ su $[0,\pi].$
\end{osservazione}
\begin{proof}
  Si pu� dimostrare(\emph{Esercizio}) che:
$$\mbox{Massimalit�} \Leftrightarrow \mbox{Polinomi trigonometrici e combinazioni lineari finite sono densi in $Y$ (con $\|\cdot\|_{\infty}$)}.$$
Ma la densit� ce l'abbiamo, infatti:\\
 sia $f \in Y$ qualsiasi vogliamo verificare che esiste una $f_{N}$ che � 
somma finita di 
$\gamma_{n}\sin(nx)$ e tale che $\|f_{N}-f\|_{\infty} \xleftarrow{N \to \infty} 0$
\begin{itemize}
\item Se $f \in Y \cap C^{1}$ allora per il teorema di rapresentazione 
$f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\gamma_{n} \sin(nx)$ 
con $\gamma_{n}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx$ e scegliamo 
$f_{N}=\sum_{n=1}^{N}\gamma_{n}\sin(nx).$\\
Allora $f_{N} \xleftarrow[N \to \infty]{\|\cdot \|_{\infty}}$ perch� le somme 
finite convergono totalmente, quindi convergono uniformemente alla somma.
\item $f \in Y$ qualsiasi:\\
se per assurdo $f \notin \bar{Polin. Trig.}.$ Allora 
$$\min_{g \in Polin. Trig.}\|f-g\|_{\infty}=c >0.$$
\begin{lemma}
  $\{\psi \in Y \cap C^{1}\}$ � denso in $Y$ rispetto a $\|\cdot\|_{\infty},$ 
ovvero: 
data $f \in Y \quad \forall \epsilon > 0 \exists \psi \in Y \cap C^{1}$ tale 
che $\|f-\psi\|_{\infty} \leq \epsilon$
\end{lemma}
\begin{proof}
  \emph{Esercizio}
\end{proof}
Usando il lemma abbiamo che possiamo prendere $\epsilon=\frac{c}{2}$ e ottenere 
che $\psi \in C^{1} \cap Y$ con $\|f - \psi \|_{\infty} \leq \frac{c}{2}.$\\
E quindi $\forall g  \mbox{Polin. Trig.}$ si ha sommando e sottraendo $f$
 che $\|g- \psi\|_{\infty} \geq \frac{c}{2}$ e passando al minimo 
otteniamo un assurdo confrontando con il caso precedente.
\end{itemize}
\end{proof}
Consideriamo adesso lo spazio $Z$ visto a lezione con prodotto scalare 
associato abbiamo allora che l'insieme 
$\{\frac{2}{\pi}\sin(nx)\sin(my)\}_{n,m=1}$ � sistema ortonormale massimale 
\begin{teorema} [convergenza]
$f \in C^{1} \cap Z$ allora $f(x,y)=\sum_{n,m=1}^{\infty}\gamma_{n,m}(\sin(nx)\sin(my))$  
\end{teorema}
\begin{esercizio}
  Discutere e risolvere
  \begin{enumerate}
  \item  \begin{equation}
    \begin{cases}
      \Delta u = \sin(2y) \sin(3x) & \mbox{in }[0,\pi]^{2}=Q\\
      u \mid_{\partial ([o,\pi]^{2})}=0
     \end{cases}
  \end{equation}
\item
  \begin{equation}
    \begin{cases}
      u_{t}= \Delta u & \mbox{in } Q\\
      u(t,x) \mid_{\partial Q}=0 & \forall t>0\\
      u(0,x,y)=\sin(x) \sin(y)
    \end{cases}
  \end{equation}
\item
  \begin{equation}
    \begin{cases}
      u_{t}= \Delta u & \mbox{su } Q\\
      u(t,\cdot) \mid_{\partial Q}=0 \\
      u(0,x,y)=y^{2}(\pi-x)\sin(x)
    \end{cases}
  \end{equation}

  \end{enumerate}
\end{esercizio}
\end{document}