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\pgfdeclareimage[height=15mm]{cherubino}{cherubino}
\institute{ Universit\`a di Pisa\\
\hbox{}
\pgfuseimage{cherubino} \\  Tesi di Laurea Triennale in Matematica
}         
\title{Il Teorema di S\'{a}rk\"{o}zy-F\"{u}rstenberg: una dimostrazione ergodica}
\author{Alex Cardelli}

\date{24 Luglio 2009}
\newtheorem{teo}{Teorema}
\newtheorem{prop}{Proposizione}
\newtheorem{defi}{Definizione}

\begin{document}


\frame{
\titlepage
}



\frame{
\frametitle{Definizioni preliminari}
Definiamo un paio di concetti di densit\`{a} di sottoinsiemi di interi
\begin{defi}[Densit\`{a} superiore di Banach]
$$d^*(E)=\limsup_{N-M \to \infty} \frac{|E\cap \{M,M+1,...,N-1\}|}{N-M}.$$
\end{defi}
\begin{defi}[Densit\`{a} asintotica superiore]

$$\bar{d}(E)=\limsup_{n \to \infty} \frac{|E\cap \{-n,-n+1,...,n-1,n\}|}{2n+1} $$

\end{defi}

}

\frame{
\frametitle{Teorema Szemer\'{e}di}
\begin{teo}
Ogni $E \subset \mathbb{Z}$ con densit\`{a} asinotica superiore positiva 
contiene progressioni aritmetiche di lunghezza arbitraria.
\end{teo}


}



\frame{
\frametitle{Teorema di S\'{a}rk\"{o}zy-F\"{u}rstenberg}
Vogliamo dimostrare il seguente risultato:
\begin{teo}
\label{sarkozy}
Sia $E \subset \mathbb{Z}$ con densit\`{a} superiore di Banach positiva 
($d^*(E)>0$) e $p(x) \in \mathbb{Z}[x]$ con 
$p(0)=0.$ 
Allora $(E-E) \cap \{p(n) \, : \, n \in \mathbb{Z}\} \, \neq \emptyset$.  
\end{teo}

}

\frame{

%magari metti sopra la  definizione di mps
\frametitle{Principio di Corrispondenza di F\"{u}rstenberg}
%Per far questo dimostreremo che \`{e} equivalente ad un altro teorema usando:
$(X,\mathcal{A},\mu,T)$ \`{e} sistema che conserva la misura 
se $(X,\mathcal{A},\mu)$ \`{e} sp. probabilizzato e $T:X \to X$ \`{e} 
invertibile $\mu$-invariante.

\begin{teo}
Sia $E \subset \mathbb{Z}$ tale che $d^*(E) > 0$, allora esiste un sistema 
che conserva la misura $(X,\mathcal{A},\mu,T)$ ed esiste $A \in \mathcal{A}$ 
con $\mu(A)=d^*(E)$ tale che $ \forall F \in \mbox{Fin}(\mathbb{Z})$
(sottoinsiemi finiti di $\mathbb{Z}$) vale:
$$d^*(\bigcap_{n \in F}(E-n)) \geq \mu(\bigcap_{n \in F}T^{-n}A).$$
\end{teo}
}


\frame{
\frametitle{Principio di Corrispondenza di F\"{u}rstenberg}
Costruiamo un sistema che conserva la misura:
\begin{itemize}
\item<2-> $(X,\tau(\mathcal{C}))$ dove $X=\{0,1\}^{\mathbb{Z}}$ e 
$\mathcal{C}=\{C \, : \,C \subset X\}$ con 
$C=\{x \in X \, : \, x(n_i)= \epsilon_i,\, 1 \leq i \leq t \}$
\item<3-> %Poniamo 
$A=\{ x \in X \, : \, x(0)=1 \} \in \mathcal{C}$
\item<4-> $T$ : $Tx(n)=x(n+1)$
\item<5->$\exists \{I_t\}_{t \in \mathbb{N}}$   t.c.
$$d^*(E)=\lim_{t \to \infty} \frac1{|I_t|} \sum_{n \in I_t}\chi_E(n)=\lim_{t \to \infty} \frac1{|I_t|} \sum_{n \in I_t} 1_A(T^n\chi_E)$$ 

\item<6->$p:\mathcal{C} \to [0,1]$
$$p(C)=\lim_{s \to \infty} \frac1{|I_{t_{s}}|} \sum_{n \in I_{t_{s}}} 1_C(T^n \chi_E)$$ 
dove $ \{I_{t_{s}}\} \subset \{I_t\}$ opportuna.
$$d^*(E)=p(A).$$
\end{itemize}
}




\frame{
\frametitle{Principio di Corrispondenza di F\"{u}rstenberg}
\begin{itemize}
\item $p$ $T$-invariante e additiva 
\item<2-> si estende a $\mu$ misura di probabilit\`{a} su $X$ (Caratheodory)
\item$\mu$ \`{e} $T$-invariante
\end{itemize}
\onslide<3->$F=\{n_1,...,n_k\}$ sottoinsieme finito di $\mathbb{Z}$
\begin{eqnarray*}
\mu(T^{-n_1}A\cap...\cap T^{-n_k}A)&=&\lim_{t \to \infty} \frac{1}{|I_{t_s}|} \sum_{n \in I_{t_s}} 1_{(T^{-n_1}A\cap...\cap T^{-n_k}A)}(T^n \chi_E) \\
&=&\lim_{t \to \infty} \frac{1}{|I_{t_s}|} \sum_{n \in I_{t_s}} \chi_{(E-n_1)\cap...\cap(E-n_k)}(n) \\
&\leq& d^*((E-n_1)\cap...\cap(E-n_k))
\end{eqnarray*}
}







\frame{
\frametitle{S\'{a}rk\"{o}zy-F\"{u}rstenberg versione ergodica}
Sono equivalenti:
\begin{teo}[S\'{a}rk\"{o}zy-F\"{u}rstenberg versione combinatoria]
\label{sarkozy}
Dato $E \subset \mathbb{Z}$ con $d^*(E)>0$ e $p(x) \in \mathbb{Z}[x]$ con 
$p(0)=0.$
Allora 
$$(E-E) \cap \{p(n) \, : \, n \in \mathbb{Z}\} \, \neq \emptyset.$$  
\end{teo}

\onslide<2->\begin{teo}[S\'{a}rk\"{o}zy-F\"{u}rstenberg versione ergodica]
\label{equiv}Sia $p(x) \in \mathbb{Z}[x]$ con $p(0)=0$ allora abbiamo che per ogni $(X,\mathcal{A},\mu,T)$ sistema che conserva la misura
$$\{p(n) \,: \, n \in \mathbb{Z}\}\cap  \{ n \, : \,\mu(A\cap T^{-n}A)>0 \}\neq \emptyset .$$

\end{teo}
}


\frame{
\frametitle{Equivalenza dei due risultati}
\begin{prop}
\label{propfat}
Sia $(X,\mathcal{A},\mu,T)$ sistema che conserva la misura e 
$\{ A_n\}_{n \in \mathbb{Z}}$ successione di elementi di  $\mathcal{A}$ tali che $\mu(A_n)=a > 0 \quad \forall \, n \in \mathbb{Z},$ allora esiste
$ \Gamma  = \{ n_i\}_{i \in \mathbb{Z}}$ 
sottoinsieme di indici tale che $\bar{d}(\Gamma) \geq a$ e per ogni 
$F=\{n_{i_1},...,n_{i_k}\}$ sottoinsieme finito di indici in $\Gamma$ vale
$$\mu(\bigcap_{n_{i_j} \in F}A_{n_{i_j}}) >0.$$ 
\end{prop} 
}





\frame{
\begin{teo}[S\'{a}rk\"{o}zy-F\"{u}rstenberg versione combinatoria]
\label{sarkozy}
Dato $E \subset \mathbb{Z}$ con $d^*(E)>0$ e $p(x) \in \mathbb{Z}[x]$ con 
$p(0)=0.$
Allora 
$$(E-E) \cap \{p(n) \, : \, n \in \mathbb{Z}\} \, \neq \emptyset.$$  
\end{teo}

\begin{teo}[S\'{a}rk\"{o}zy-F\"{u}rstenberg versione ergodica]
\label{equiv}
Sia $p(x) \in \mathbb{Z}[x]$ con $p(0)=0$ allora abbiamo che
$$\{p(n) \,: \, n \in \mathbb{Z}\}\cap  \{ n \, : \,\mu(A\cap T^{-n}A)>0 \}\neq \emptyset .$$
\end{teo}
}

\frame{
\frametitle{Equivalenza dei due risultati}
\begin{itemize}
\item<2->\textit{versione ergodica $\Rightarrow$ versione combinatoria}
\newline 
$(X,\mathcal{A},\mu,T)$ e $A$ come nelle ipotesi. 
\newline
$ \Rightarrow \quad \exists n \in \mathbb{Z}$ t.c. 
$\mu(A\cap T^{-p(n)}A)>0.$ Ponendo $F=\{0,p(n)\}$ 
otteniamo che $$d^*(E \cap (E-p(n))) \geq \mu(A\cap T^{-p(n)}A) > 0$$
\item<3->\textit{versione combinatoria $\Rightarrow$ versione ergodica}
\newline
$\{T^nA \,|\, n \in \mathbb{Z} \}$.
\newline
 $ \exists\Gamma=\{n_i\}_{i \in \mathbb{Z}}$ 
con $\bar{d}(\Gamma)>0.$ 
\newline
$E=\Gamma\quad \Rightarrow \quad \exists n_i,n_j \in \Gamma$ t.c. $n_i - n_j =p(\bar{n})$ con 
$\bar{n} \in \mathbb{Z}$, quindi
$$\mu(T^{-p(\bar{n})}A \cap A) =\mu(A \cap T^{n_i -n_j}A)=\mu(T^{n_j}A \cap T^{n_i}A) >0.$$ 
\end{itemize}
}

\frame{
\frametitle{Strumenti}
\begin{itemize}%def sp di hilb e op unitario?

\item<2->$(X,\mathcal{A},\mu)$ uno spazio probabilizzato allora 
$$L^2(X,\mathcal{A},\mu)=\{f:X \to (-\infty,+\infty)\; ,\;\int f^2d\mu < \infty \}$$
\`{e} uno spazio di Hilbert, con
$\langle f,g \rangle = \int f \cdot g \; d\mu.$

\item<3->$\mathcal{H}$ sp. di Hilbert e $\mathcal{M}$  sottospazio lineare chiuso. 

$$\Rightarrow \quad \mathcal{H}=\mathcal{M} \oplus \mathcal{M}^\perp.$$

%\item<4->$\mathcal{H}$ sp. di Hilbert e $U$%ce lo metto?? 
%unitario su $\mathcal{H}$.
%$\mathcal{M}_1=\{x \in \mathcal{H}\, : \, Ux=x  \}$ e 
%$\mathcal{M}_2=\overline{\{ y - Uy \, : \, y \in \mathcal{H}\}}$ 
%$$\Rightarrow \quad \mathcal{H}=\mathcal{M}_1 \oplus \mathcal{M}_2.$$
\end{itemize}

}
\frame{
\frametitle{Strumenti}
$(X,\mathcal{A},\mu,T)$ $U$ unitario indotto da $T$:
\newline
$ Uf(x)=f(Tx) \quad \forall f \in   L^2(X,\mathcal{A},\mu)$ 
\begin{teo}[teorema della media ergodica, von Neumann]
$(X,\mathcal{A},\mu,T)$ e $U$ op. unitario su $L^2(X,\mathcal{A},\mu)$ indotto da $T$ 
$$\Rightarrow \qquad \lim_{N \to \infty} \frac1{N}\sum_{n=1}^N U^n f = Pf \qquad \forall f \in L^2(X,\mathcal{A},\mu).$$ 
\end{teo}
Dove $P$ \`{e} la proiezione sullo spazio delle funzioni $U$-invarianti.

}


\frame{
\begin{teo}[S\'{a}rk\"{o}zy-F\"{u}rstenberg versione ergodica]
\label{equiv}
Sia $p(x) \in \mathbb{Z}[x]$ con $p(0)=0$ allora abbiamo che
$$\{p(n) \,: \, n \in \mathbb{Z}\}\cap  \{ n \, : \,\mu(A\cap T^{-n}A)>0 \}\neq \emptyset .$$
\end{teo}
}


\frame{
\frametitle{Dimostrazione}
\begin{itemize}
\item<2->$U$ indotto da $T$,
$$\mathcal{H}_{rat}=\overline{\{ f \in L^2(X,\mathcal{A},\mu)\, : \, U^k f =f \,per \: qualche\: k \: \in \: \mathbb{N}\}},$$
$\mathcal{H}_{rat}$ \`{e} sottosp. lineare chiuso di $\mathcal{H}.$
\item<3->$A \in \mathcal{A}$ con $\mu(A)>0 \quad \Rightarrow \quad 1_A=g+h$ 
con $g= P_{\mathcal{H}_{rat}}1_A.$
\item<4->Fissato $\epsilon>0$ $\exists \, f,k$ tali che$\|f-g\| <\epsilon$ e $U^{-p(kn)}f=U^kf=f \quad \forall n \in \mathbb{Z}$ 
$\quad \Rightarrow \quad \|U^{p(kn)}g - g\|  < 2\epsilon$
Perci\`{o} $\forall N \geq 1$
$$\Big{\|} \frac1{N}\sum_{n=1}^NU^{p(kn)}g - g \Big{\|} < 2\epsilon.$$

\end{itemize}
}

\frame{
\frametitle{Dimostrazione}
D'altra parte per induzione su deg$(p)$
$$\lim_{N \to \infty} \Big{\|} \frac1{N} \sum_{n=1}^N U^{p(kn)}h \Big{\|}=0$$
\begin{itemize}
\item<2->(Caso base $p=an$) teorema della media ergodica
$$\lim_{N \to \infty} \frac1{N}\sum_{n=1}^NU^{an}h=P_ah=0$$
\item<3->(Caso induttivo) Van der Corput trick ($x_n=U^{p(kn)}h$)
$$\lim_{N  \to \infty} \frac1{N} \sum_{n=1}^N \langle x_n,x_{n+r}\rangle =
 \lim_{N \to \infty} \frac1{N}  \sum_{n=1}^N \langle U^{p(kn)}h, U^{p(kn+kr)}h \rangle$$
$$\leq  \lim_{N \to \infty} \| h \| \cdot \|\frac1{N}\sum_{n=1}^N U^{p(kn+kr)-p(kn)-p(kr)}h \|=0.$$
\end{itemize}

}
\frame{%dimostro<g,1_A> \geq \mu(A)^2
\frametitle{Dimostrazione}
\onslide<2->Per $N$ abbastanza grande 
$$\Big{\|}\frac1{N}\sum_{n=1}^N U^{p(kn)}1_A -g\Big{\|}  \leq 3\epsilon$$
\onslide<3->Quindi $$\Big| \frac1{N}\sum_{n=1}^N ( \langle U^{p(kn)} 1_A,1_A \rangle - \langle g,1_A \rangle )\Big| \leq 3\epsilon.$$
\onslide<4->Perci\`{o} $ \exists \bar{n}$ tale che $ | \langle U^{p(k\bar{n})}1_A,1_A \rangle - \langle g,1_A \rangle | \leq 3 \epsilon.$
\onslide<5->$$\mu(A\cap T^{-p(k\bar{n})}A)=\langle U^{p(k\bar{n})}1_A,1_A\rangle \geq \langle g,1_A \rangle - 3 \epsilon$$ 
\onslide<6->e $\langle g , 1_A \rangle \geq \mu(A)^2.$


}
\frame{


\begin{center}

\Huge Grazie per l'attenzione

\end{center}
}

\end{document}