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eix = cos(x) + i*sin(x)

Dimostrazione
Dallo sviluppo di MacLaurin per le funzioni esponenziali e goniometriche si ha:

exp(y)= 1 + y + y2/2! + y3/3! + y4/4! + y5/5! + y6/6! + y7/7! + ...

cos(x) = 1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! + x8/8! + ...

sin(x) = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + x9/9! + ...

dove e' exp(z) = ez
Si ponga y=i*x , allora

exp(i*x) = 1 + i*x + (i*x)2/2! + (i*x)3/3! + (i*x)4/4! + (i*x)5/5! + (i*x)6/6! + (i*x)7/7! + ... =
=1 + i*x - x2/2! - i*(x3/3!) + x4/4! + i*(x5/5!)- x6/6! - i*(x7/7!) + ... =
= (1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! + x8/8! + ... ) + i*(x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + x9/9! + ...) =
= cos(x) + i*sin(x).

Dimostrazione alternativa

Segue l'IDENTITA' DI EULERO:
ei π = cos(π) + i*sin(π) = -1
da cui: ei π+1=0

Video flag -R nel comando ls