Cominciata la parte sulla refinement function
Leonardo Robol [2010-03-16 11:00]
Cominciata la parte sulla refinement function
diff --git a/Slide/slide.tex b/Slide/slide.tex
index 4e52be3..a775f2f 100644
--- a/Slide/slide.tex
+++ b/Slide/slide.tex
@@ -287,6 +287,19 @@
\end{os}
\end{frame}
+
+
+
+
+%
+%
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%
+% SEZIONE FILTERBANK
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%
+%
+%
+%
\section{FilterBank}
\pausaindice
\subsection{Cos'è una filterbank}
@@ -443,4 +456,84 @@
response function.
\end{frame}
+
+
+%
+%
+% %%%%%%%%%%%%%%%%
+% SEZIONE WAVELETS
+% %%%%%%%%%%%%%%%%
+%
+%
+%
+%
+
+\section{Wavelet}
+\subsection{Refinement function}
+\begin{frame} \frametitle{Refinement equation}
+ Cerheremo ora di estendere l'esempio precedente ad un procedimento generale per
+ analizzare segnali. \\[15pt]
+
+ Introduciamo un'importante equazione detta \emph{Refinement equation}:
+ \[
+ \Phi(t) = 2 \sum_{k=0}^{N} h(k)\Phi(2t-k)
+ \]
+ dove $h$ è un lowpass filter di lunghezza $N$ e $\Phi(t)$ una funzione da $\R$ in $\R$.
+\end{frame}
+
+\begin{frame} \frametitle{Trovare una soluzione}
+ Supponiamo di aver fissato il filtro e di voler trovare una soluzione alla \emph{refinement equation}.
+
+ \begin{os} Se $\Phi(t)$ è soluzione, allora anche $\lambda \Phi(t)$ lo è. La normalizzazione
+ che generalmente si utilizza è
+ \[
+ \int_{-\infty}^{\infty} \Phi(t) dt = 1
+ \]
+ \end{os}
+
+ Infatti se $\Phi(t)$ è soluzione allora è una funzione a supporto compatto, e quindi l'integrale è finito.
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame} \frametitle{Il caso di Haar}
+ \begin{example}
+ Consideriamo ancora il filtro $h_0 = (\frac 1 2 , \frac 1 2)$. La refinement equation diventa
+ \[
+ \Phi(t) = \Phi(2t) + \Phi(2t - 1)
+ \]
+ e la soluzione è la funzione $\chi_{[0,1]}(t)$.
+ \end{example} \vskip 15pt
+
+ Possiamo osservare un'altra interessante proprietà. \\[10pt]
+
+ Se $h$ e $j$ sono due filtri per cui $\Phi$ e $\Psi$ sono refinement function (ovvero soluzione
+ della refinement equation) allora $\Phi * \Psi$ è una refinement function per $h*j$, ovvero per
+ la composizione dei filtri.
+\end{frame}
+
+\begin{frame} \frametitle{Come calcolare effettivamente la soluzione?}
+ Per il caso del filtro di Haar abbiamo trovato la soluzione per verifica diretta. \\[10pt]
+ Sfruttando l'osservazione precedente possiamo trovare la refinement function per una qualsiasi
+ combinazione di filtri di cui la conosciamo singolarmente. Come possiamo risolvere il problema
+ in generale? \\[15pt]
+
+ \uncover<2> {
+
+ Consideriamo il seguente metodo iterativo:
+ \[
+ \left\{\begin{array}{lcl}
+ \Phi_0(t) &=& \chi_{[0,1]}(t) \\
+ \Phi_{j+1}(t) &=& 2\sum_{k=0}^{N} h(k) \Phi_{j}(2t - k)
+ \end{array} \right.
+ \]
+
+ Se il metodo converge ad una funzione $\bar\Phi$ questa sarà forzatamente soluzione
+ della refinement equation. }
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame} \frametitle{Condizioni di convergenza}
+
+\end{frame}
\end{document}
+