Lezioni di Bini del 16 ottobre

diff --git a/AppPageRank.tex b/AppPageRank.tex
index 5510c2c..1654714 100644
--- a/AppPageRank.tex
+++ b/AppPageRank.tex
@@ -124,7 +124,8 @@ ed un autovettore (destro) a lui associato è quello composto di tutti $1$. La v
 Per rispondere alle domande~(\ref{en:pagerank:c}) e (\ref{en:pagerank:d}) ci appoggiamo ad un risultato
 che non dimostreremo (in questa sede) ottenuto da Perron-Frobenius sulla Teoria delle Matrici non negative.
 \begin{te}[di Perron-Frobenius] \label{te:PerronFrobenius}
- Se $A$ è irriducibile allora $\rs{A} > 0$ è un autovalore semplice e esistono $x,y$ autovettori destro e sinistro
+ Se $A$ è irriducibile allora $\rs{A} > 0$ è un autovalore semplice ed
+ esistono $x,y$ autovettori destro e sinistro
  con componenti strettamente positive.
 \end{te}
 \begin{os}
@@ -138,7 +139,12 @@ diversi da $1$ potrebbero ancora avere modulo $1$\footnote{Come visto nella teor
 del metodo di iterazione è data dal rapporto fra il più grande autovalore diverso da quello di cui si sta cercando
 l'autovettore e l'autovalore in questione. In questo caso il rapporto potrebbe essere $1$, che darebbe una situazione
 di non convergenza}.
-Per superare questo problema si può, ancora una volta, modificare il modello. Consideriamo che il visitatore
+Introduciamo una definizione che ci permetterà di formalizzare meglio il problema.
+\begin{de}
+  Una matrice $A$ si dice \emph{ciclica} se esiste un sottoinsieme dei suoi autovalori $J \subseteq \spe{A}$
+  tale che $\forall \lambda,\mu \in J$ si ha che $|\lambda|=|\mu|$.
+\end{de}
+Per superare questa difficoltà si può, ancora una volta, modificare il modello. Consideriamo che il visitatore
 possa in ogni pagina, con probabilità $1-\gamma$, decidere di aprire una pagina a caso. Potremmo rappresentare
 questa nuova situazione sostituendo $M$ con la matrice
 \[
@@ -148,8 +154,101 @@ questa nuova situazione sostituendo $M$ con la matrice
 				   1
                                   \end{array} \right] \left[ 1 \: \hdots \:  1 \right]
 \]
-%% TODO: Spiegare meglio la condizione di ciclicità
 ovvero con una combinazione convessa della matrice $M$ con la matrice di soli $1$. Il valore di $\gamma$ si può
 scegliere a piacimento; Google usa un valore $\gamma = 0.85$. In questo caso la matrice $A$ non ha elementi nulli
 e quindi è irriducibile e non è ciclica\footnote{La condizione di ciclicità è quella che crea problemi
-con gli autovalori di modulo uguale al raggio spettrale}.
\ No newline at end of file
+con gli autovalori di modulo uguale al raggio spettrale}. Possiamo infine utilizzare un'ultima versione del Teorema~\ref{te:PerronFrobenius}
+che dice
+\begin{te}
+ Sia $A$ una matrice con elementi strettamente positivi. Allora per ogni suo autovalore $\lambda \neq \rs{A}$ si ha
+ che vale la diseguaglianza $|\lambda| < |\rs{A}|$.
+\end{te}
+Quest'ultimo ci assicura la convergenza del nostro metodo.
+
+\subsection{Implementazione del metodo delle potenze}
+Presenteremo in questa sezione una versione del metodo delle potenze adattata alle nostre esigenze.
+Consideriamo la matrice $A$ di cui vogliamo trovare l'autovettore sinistro relativo all'autovalore $1$.
+Sappiamo che esiste la forma di Jordan di $A$ ed in particolare una matrice $S$ tale che
+\[
+ S^{-1} A S = J \qquad J = \left[ \begin{array}{c|cc}
+                                   1 & \multicolumn{2}{|c}{\herm{0}} \\ \hline
+               \multirow{2}{*}{$0$} & \sblocke{\hat J}{2} \\
+                                   & &
+                                  \end{array} \right]
+\]
+Osserviamo ora che $e_1$ è autovettore destro di $J$ ed anche autovettore sinistro. Entrambi sono relativi
+al'autovalore $1$. Sappiamo quindi che $e = Se_1$ è autovalore destro di $A$ e quindi è il vettore
+con tutte le componenti uguali ad $1$, mentre $\trasp{w} = \trasp{e_1}S^{-1}$ è autovettore sinistro di $A$,
+ovvero il vettore che stiamo cercando.
+In particolare quanto visto nella precedente sezione ci assicura che $\rs{\hat J} < 1$ e quindi possiamo osservare
+che
+\[
+ \lim_{k\to\infty} J^{k} = e_1\trasp{e_1} \quad \text{e quindi} \quad \lim_{k\to\infty} A^{k} =
+ \lim_{k\to\infty} SJ^kS^{-1} = Se_1 \trasp{e_1}S^{-1} = e\trasp{w}
+\]
+Questo (apparentemente) risolve il nostro problema in quanto $e\trasp{w}$ non è altro che la matrice le cui
+righe coincidono con il vettore $\trasp{w}$ che è precisamente quanto stiamo cercando. \\
+La complessità di questo calcolo non è però trascurabile, in quanto la moltiplicazione di una matrice
+costa in generale $O(n^3)$, decisamente troppo se $n \approx 10^{10}$ come nel nostro caso.
+\begin{os}
+ Consideriamo dunque un vettore $x_0$ tale che $\trasp{e}x_0 = 1 = ||x_0||_{1}$, e definiamo la successione per ricorrenza
+ \[
+  \left\{ \begin{array}{ll}
+           \trasp{x_0} & = \trasp{x_0} \\
+           \trasp{x_{k+1}} & = \trasp{x_{k}} A
+          \end{array} \right.
+ \]
+Possiamo notare che in generale $x_k = x_0 A^{k}$ e quindi data la nostra scelta oculata di $x_0$ abbiamo
+che
+\[
+ \lim_{k\to\infty} \trasp{x_k} = \lim_{k\to\infty} \trasp{x_0} A^{k} = x_0 e \trasp{w} = \trasp{w}
+\]
+In questo modo siamo scesi da una complessità $O(n^3)$ ad una $O(n^2)$.
+\end{os}
+Sfortunatamente $O(n^2)$ nel nostro caso continua ad essere un numero troppo grande; arrivati a questo
+punto ci possiamo rendere conto che possiamo sfruttare la particolarità di $A$, che non è assolutamente
+una matrice qualsiasi!
+%% TODO: QUalcosa di più sull'implementazione del metodo
+
+\subsection{Note tecniche}
+Analizzato il problema matematicamente, sorge il bisogno di analizzare le difficoltà di implementazione dovute
+all'hardware attualmente disponibile. Una matrice delle dimensioni di $A$ non è realmente memorizzabile
+elemento per elemento su nessun calcolatore, e non è pensabile nemmeno in alcun tipo di cluster. \\
+Un rapido conto mostra come, anche ipotizzando di usare dei tipi \verb-float- a 4 byte (in ogni
+caso presumibilmente troppo imprecisi) otteniamo uno spazio necessario di $N^2 \cdot 4$ byte, ovvero
+circa $10^{20}$ byte = $10^{11}$ GB di RAM, probabilmente un quantitativo superiore a quella di tutti i computer
+del mondo messi assieme\footnote{può darsi che nei prossimi anni quest'affermazione smetta di essere vera, ma
+non penso sia rilevante ai fini del problema}.
+Dobbiamo quindi adottare degli stratagemmi per gestire la memoria in modo efficiente.
+
+Una prima osservazione è che la nostra matrice $A$ si può scrivere nel seguente modo
+\[
+A = \gamma D^{-1} \hat H + (1-\gamma) e\trasp{v}
+\]
+dove $\gamma$ e $w$ sono rispettivamente il parametro ed il vettore di personalizzazione. Per memorizzare
+$A$ possiamo quindi memorizzare $D$ ed $\hat H$, $\gamma$ e $w$. \\
+Questo ci dà dei vantaggi perché la matrice $\hat H$ è ``quasi nulla'' nel senso che è fatta solamente di $0$ ed $1$,
+ma la percentuale di $0$ è molto alta\footnote{è infatti presumibile che il numero di link uscenti da una pagina
+sia trascurabile rispetto al numero di pagine esistenti}. Possiamo quindi limitarci a memorizzare i seguenti dati: \\[5pt]
+\begin{tabular}{|lll|} \hline
+ \textbf{Variabile} & \textbf{Descrizione} & \textbf{Spazio occupato} \\ \hline \hline
+ $N$ & l'ordine della matrice $A$, ovvero il numero di pagine esistenti & 4 byte \\
+ $m$ & il numero di campi di $\hat H$ diversi da $0$ & \textasciitilde $N$ byte \\
+ $i, j$ & vettori delle coordinate dei campi diversi da $0$ di $\hat H$ & \textasciitilde $N$ byte \\
+ $\gamma$ & coefficiente di personalizzazione & 4 byte \\
+ $w$ & Vettore di personalizzazione & \textasciitilde $N$ byte \\
+ $d$ & il vettore con gli elementi diagonali di $D$ & \textasciitilde $N$ byte \\
+\hline \end{tabular} \\
+
+Possiamo ora porci il problema di calcolare $d$. Questo è reso apparentemente più complicato dal modo in cui abbiamo salvato
+la matrice. In realtà possiamo usare un algoritmo di questo tipo
+
+\begin{lstlisting}[frame=tb,caption=Calcolo di $d$,label=lst:calcolovettorepers]{}
+ ! Inizializziamo il vettore d a 0
+ d = 0;
+ ! Questo ciclo calcola i link uscenti da i per ogni i
+ DO k=1,m
+   d(i(k)) = d(i(k)) + 1
+ END DO
+\end{lstlisting}
+
diff --git a/CalcoloScientifico.tex b/CalcoloScientifico.tex
index cfc468e..5b13d6d 100644
--- a/CalcoloScientifico.tex
+++ b/CalcoloScientifico.tex
@@ -23,6 +23,7 @@
 \usepackage[a4paper]{geometry}
 \usepackage[T1]{fontenc}
 \usepackage{pxfonts}
+\usepackage{listings}

 %%
 %% Ci piace, a causa del carattere usato (pxfonts)
@@ -121,6 +122,23 @@
 %%
 \newcommand{\PhC}{\makebox[0.45\width]{P}\raisebox{-0.35ex}{H}\makebox[0.58\width]{C}\makebox[0.5\width]{ }}

+%% Codice fortran
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+\lstset{frameround=trbl}
+\lstset{% general command to set parameter(s)
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+    keywordstyle=\color{black}\bfseries\underbar,
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+    numberstyle=\scriptsize,            % che non rompano troppo
+    showstringspaces=false}     % no special string spaces
+% \lstset{keywordstyle=\color{red}\bfseries\underbar}
+

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 %% Definizioni di tutti i tipi di teoremi, osservazioni,