Aggiunta lezione di gemignani del 16 ottobre. Ancora da controllare

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@@ -213,3 +213,149 @@ le considerazioni fatte sul primo passo valgono anche per i seguenti. In partico

 Analogamente per le matrici di Hessenberg (anche se non lo mostriamo ora) il costo è di $O(n^3)$ perché
 il calcolo della scomposizione QR è $O(n^2)$.
+
+\subsection{Migliorare la convergenza}
+Il metodo QR come esposto fino ad ora funziona ma ha il difetto di avere una convergenza di tipo
+lineare. In generale questo può essere un problema perché più gli autovalori della matrice sono
+vicini più, potenzialmente, potrebbe essere lenta (o addirittura assente) la convergenza.
+
+Possiamo osservare meglio questo con un esempio; consideriamo una matrice $2\times 2$ con un
+elemento ``piccolo'' in posizione $(2,1)$, ovvero sulla buona strada per essere triangolarizzata\footnote{%
+Ovviamente tutta questa frase è terribilmente imprecisa, ma il nostro scopo è, per ora, solo dare
+un'idea dei vantaggi che si potrebbero ottenere da un nuovo approccia e non formalizzarlo in
+alcun modo}.
+Proviamo a vedere cosa succede effettuando un passo generico dell'iterazione. Consideriamo la matrice $A_k$
+con un elemento piccolo $\eps$ sotto la diagonale e una sua scomposizione QR
+\[
+ A_k = \left[ \begin{array}{cc}
+                a & b \\
+                \eps & c \\
+               \end{array}\right]
+ = \left[ \begin{array}{cc}
+           \frac{a}{\sqrt{a^2 + \eps^2}} & \frac{-\eps}{\sqrt{a^2+\eps^2}} \\
+           \frac{\eps}{\sqrt{a^2+\eps^2}} & \frac{a}{\sqrt{a^2 + \eps^2}}
+          \end{array} \right]
+  \left[ \begin{array}{cc}
+          \sqrt{a^2 + \eps^2} & \frac{ab + \eps c}{\sqrt{a^2 + \eps^2}} \\
+	  0 & \frac{ac - \eps b}{\sqrt{a^2+\eps^2}}
+         \end{array} \right]  = Q_kR_k
+\]
+Si avrà che
+\[
+ A_{k+1} = R_kQ_k =   \left[ \begin{array}{cc}
+          \sqrt{a^2 + \eps^2} & \frac{ab + \eps c}{{a^2 + \eps^2}} \\
+	  0 & \frac{ac - \eps b}{{a^2+\eps^2}}
+         \end{array} \right]
+ \left[ \begin{array}{cc}
+           \frac{a}{\sqrt{a^2 + \eps^2}} & \frac{-\eps}{\sqrt{a^2+\eps^2}} \\
+           \frac{\eps}{\sqrt{a^2+\eps^2}} & \frac{a}{\sqrt{a^2 + \eps^2}}
+          \end{array} \right]
+= \left[ \begin{array}{cc}
+          \times & \times \\
+	  \frac{\eps(ac - \eps b)}{a^2 + \eps^2} & \times
+         \end{array} \right]
+\]
+Considerando che $ac -\eps b$ è il determinante delle matrice (e quindi
+il prodotto degli autovalori) e $a^2 + \eps^2$  una buona
+approssimazione del quadrato di un autovalore\footnote{questo perché il vettore $e_1$ va a finire in se stesso moltiplicato
+per $a$, a meno di epsilon che è piccolo}, $\eps$ è stato diminuito di un fattore dell'ordine
+di $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$, come ci si aspettava.
+
+Consideriamo ora cosa succede applicando una tecnica di \emph{shifting}. Calcoliamo la fattorizzazione QR della
+matrice $A-cI$, invertiamo l'ordine dei fattori e risommiamo $cI$.
+Abbiamo dunque
+\[
+  A_k - cI = \hat Q \hat R \quad \longrightarrow \quad A_{k+1} = \hat R \hat Q + cI
+\]
+\begin{os}
+ $A_k$ ed $A_{k+1}$ sono simili. Consideriamo infatti le seguenti uguaglianze
+ \[
+  A_{k+1} = \hat R \hat Q + cI = \herm{\hat Q}\hat Q \hat R \hat Q + cI = \herm{\hat Q} (A_k - cI) \hat Q + cI
+  = \herm{\hat Q} A_k \hat Q
+ \]
+ E quindi le due matrici sono simili per trasformazione hermitiana, il che preserva anche il condizionamento del
+ problema come visto nella Sezione~\ref{sec:analisidelcondizionamento}.
+\end{os}
+
+Possiamo osservare che risvolgendo i conti con il ``nuovo'' algoritmo si ottiene in posizione sottodiagonale
+un fattore dell'ordine di $\eps^2$. Sembra quindi che questo nuovo metodo abbia una convergenza molto più veloce
+del precedente!
+
+Anche se questo esempio ci fornisce solo delle osservazioni in un caso particolare e non una
+dimostrazioni formale delle proprietà di convergenza che si potrebbero ottenere in generale
+con uno shifting, possiamo in ogni caso discutere come applicarlo. Esistono teoremi che provano
+l'effettiva efficienza di questo approccio ma sono piuttosto tecnici e ``conterecci'' (cit.) e
+non li affronteremo in questo corso.
+\begin{figure}[hb]
+\[
+ A_k = \left[ \begin{array}{cccc}
+               \alpha_{11}^{(k)} & \times & \hdots & \times \\
+	       \beta_{1}^k & \ddots & & \vdots \\
+                           & \ddots & \ddots& \times \\
+                & & \beta_{n-1}^k & \alpha_{nn}^{(k)}
+              \end{array} \right]
+\]
+\caption{Struttura di una matrice in forma di Hessenberg superiore}
+\label{fig:hessenbergsup}
+\end{figure}
+Appurato che questo trucco funziona, ci chiediamo come applicarlo ad una matrice generale. L'idea
+è di togliere alla matrice $A_k$ un'altra matrice $\alpha_k I$, dove $\alpha_k = \alpha_{nn}^{(k)}$
+(si veda la Figura~\ref{fig:hessenbergsup}).
+Per semplicità osserviamo il caso delle matrici di Hessenberg, che poi sarà il caso implementato in pratica
+date le considerazioni sulla complessità fatte in precedenza.
+
+Il caso di una matrice complessa viene gestito esattamente con lo shifting di $-\alpha_{nn}^{(k)}I$ come descritto
+sopra, e si verifica che le cose funzionano bene. Più complesso, invece, è il caso di una matrice reale.
+In quel caso infatti gli autovalori possono essere complessi coniugati e non si desidera passare da aritmetica
+reale ad aritmetica complessa. Questo porterebbe a problemi di complessità, ma principalmente farebbe
+perdere la simmetria\footnote{Per simmetria si intende la certezza di ottenere autovalori complessi coniugati,
+cosa di cui non si potrebbe essere certi con una matrice complessa qualsiasi. } della matrice,
+e quindi in definitiva parecchia informazione sul problema.
+\begin{os}
+ Nel caso complesso Hessenberg risulta semplice determinare la qualità dell'approssimazione ottenuta
+ dell'autovalore. Possiamo assumere di fermare l'iterazione quando
+ \[
+  |\beta_n| \leq u( |\alpha_{nn}^{(k)}| + |\alpha_{n-1,n-1}^{(k)}|)
+ \]
+ dove $u$ è la precisione di macchina,
+ ed a quel punto assumere che $\alpha_{nn}^{(k)}$ è una buona approssimazione dell'autovalore
+ cercato e ridurci a ripetere il procedimento sul minore di nord ovest di ordine $n-1$, che è ancora in forma
+ di Hessenberg.
+\end{os}
+Per determinare come eseguire lo shifting nel caso reale conviene cambiare punto di vista su quanto effettuato fino
+ad ora. Possiamo osservare che se poniamo $p_k(z) = z - \alpha_k$ di fatto lo shifting è equivalente a considerare
+la matrice $\hat A_k = p(A_k)$. Dato che riteniamo che $\alpha_k$ sia una buona approssimazione dell'autovalore
+cercato della matrice per analogia nel caso reale possiamo utilizzare $p_k(x) = (x - \lambda)(x - \con{\lambda})$
+che è un polinomio reale. Si verifica (e, ancora una volta, noi non lo faremo) che le cose continuano a funzionare
+bene ma sorgono dei problemi di complessità. \\
+Il polinomio $p_k$ è infatti adesso di II grado e non è per nulla banale, in generale, calcolare $A_k^2$.
+Inoltre $p_k(A_k)$ non è neppure una matrice in forma di Hessenberg, il che sembrerebbe farci perdere tutti
+i vantaggi computazionali che avevamo fino a questo momento. Per fortuna esiste una tecnica che, modificando
+l'iterazione, riesce a riolvere questo problema.
+
+\subsection{La tecnica del Bulge Chasing\protect\footnote{bulge chasing in inglese significa inseguimento
+del bernoccolo, e s riesce ad apprezzare il senso del nome osservando come questa tecnica si traduce graficamente sugli elementi
+non zero della matrice. Questi si comportano infatti come un bernoccolo che scende sempre di più sulla
+sottodiagonale per poi sparire lasciando una matrice in forma di Hessenberg superiore.}}
+Nell'applicazione della tecnica dello shifting vista nel paragrafo precedente, abbiamo supposto di
+calcolare $p_k(A_k)$ e dopo calcolare la fattorizzazione QR. Ci siamo però accorto che se $p_k$ è
+un polinomio di secondo grado vengono persi tutti i vantaggi computazionali dati dalla forma di Hessengerg.
+Vogliamo quindi ora calcolare la fattorizzazione QR \textbf{mentre} calcoliamo $p_k(A_k)$ in modo da
+rendere la risultante matrice in forma di Hessenberg e dimnuire la complessità del calcolo del polinomio.
+La fattorizzazione QR ottenuta sarà ``essenzialmente uguale''\footnote{ovvero sarà uguale a meno di una
+matrice di fase reale} a quella che avremmo ottenuto seguendo
+il procedimento precedente.
+
+Possiamo cominciare a calcolare solo la prima colonna della matrice $p_k(A_k)$, ovvero $p_k(A_k)e_1$.
+Una volta calcolata questa possiamo calcolare anche una matrice di Householder $P_0$ tale che
+$P_0 p_k(A_K)e_1 = \alpha e_1$. \\
+Si costruiscono poi altre $n-1$ matrici di Householder tali che fissato
+\[
+ Z = P_0 \ldots P_{n-1}
+\]
+si abbia
+\[
+ A_{k+1} = \herm{Z} A_k Z
+\]
+ed è possibile dimostrare che questa iterazione produce una matrice simile a meno di una matrice di fase reale
+rispetto a quella presentata in precedenza.
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