Completata la lezione del 21 ottobre di Gemignani.

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@@ -423,7 +423,8 @@ e calcoliamo $B = \herm Q A Q$ otteniamo
 \[
  B = \herm Q A Q = \hat D + \beta_{\frac{n}{2}}z\herm z
 \]
-con $z = \left[ \begin{array}{c} q_1 \\ q_2 \end{array}\right]$ dove $q_i$ è l'ultima colonna di $\herm Q_i$.
+con $z = \left[ \begin{array}{c} q_1 \\ q_2 \end{array}\right]$ dove $q_i$ è l'ultima colonna di $\herm Q_i$
+per $i = 1,2$.

 \subsection{La ricerca degli autovalori}
 Abbiamo quindi ricondotto il problema a calcolare gli autovalori di una matrice $D + w\herm w$ dove $D$
@@ -438,10 +439,10 @@ del polinomio caratteristico vale solo per $\lambda \in \C \setminus (\spe{D_1}
 Notiamo inoltre che $( I + \theta(\lambda I - D)^{-1}z\herm z)$ è una matrice elementare e quindi ha determinante\footnote{%
 Ricordiamo che in genearale una matrice elementare $I - \sigma u \herm v$ ha determinante $1 - \sigma \herm v u$}
 $1 - \theta (\lambda I - D)^{-1} \herm zz$; sviluppando ulteriormente si ottiene
-\[
+\begin{equation} \label{eqn:polmindivetimp}
  p(\lambda) = \prod_{j=1}^{n} (\lambda - \hat d_j) ( 1 + \theta (\lambda I - D)^{-1} \herm zz )
  = \prod_{j=1}^{n} (\lambda - \hat d_j) ( 1 + \theta \sum_{k=1}^{n} \frac{z_k^2}{\lambda - \hat d_k} )
-\]
+\end{equation}
 ed estendendo per continuità a tutto $\C$ si ottiene infine
 \[
  p(\lambda) = \prod_{j=1}^n (\lambda - \hat d_j) + \theta\sum_{k=1}^n z_k \prod_{\substack{s=1 \\ s\neq k}}^n (\lambda - \hat d_s)
@@ -458,9 +459,76 @@ Assumiamo dunque che
  \item $z_j \neq 0$ per ogni $j = 1 \ldots n$;
  \item $\hat d_k \neq \hat d_j$ per ogni $k \neq j$, ovvero che tutti gli autovalori siano distinti;
 \end{itemize}
-A questo punto dalle relazioni precedenti ricaviamo che
-\[
+A questo punto dalla relazione~\ref{eqn:polmindivetimp} ricaviamo che
+\begin{equation} \label{eqn:eqsecdivetimp}
  p(\lambda) = 0 \iff 1 + \theta \sum_{j=1}^n \frac{z_j^2}{\lambda - \hat d_j} = 0
-\]
+\end{equation}
+
 e quindi gli autovalori delle matrici di ordine $\frac{n}{2}$ separano quelli della matrice grande, e si
-può applicare (ad esempio) il metodo di bisezione.
+può applicare (ad esempio) il metodo di bisezione, o in generale altri procedimenti di iterazione
+funzionale.
+
+\begin{os}
+ Notiamo che per applicare la bisezione nella (\ref{eqn:eqsecdivetimp}) abbiamo bisogno di conoscere, oltre
+ ai $\hat d_j$ anche gli $z_j$ e ricordando che $z$ è costruito a partire dalle matrici $Q_1$ e $Q_2$, è chiaro
+ che dobbiamo conoscere anche queste due. Queste erano le matrici che diagonalizzavano $T_1$ e $T_2$ e si
+ ottenevano quindi \textbf{conoscendo gli autovettori} di $T_1$ e $T_2$. Dobbiamo allora, per poter procedere
+ con il metodo, calcolarci tutti gli autovettori.
+\end{os}
+
+\subsection{Autovettori e problemi di stabilità}
+Il fatto di dover calcolare gli autovettori ha un lato positivo ed uno negativo, precisamente
+\begin{enumerate}[(a)]
+ \item Il calcolo effettivo risulta inaspettatamente semplice, tanto che, trovati gli autovalori saremo
+ capaci di trovare ogni autovettore con costo $O(n)$ e quindi di ottenerli tutti con costo $O(n^2)$;
+ \item Il problema del calcolo degli autovettori non è in generale ben condizionato e non si riescono a
+ dare condizioni perchè lo sia. Dato che influenzerà anche il calcolo degli autovalori nei passaggi successivi,
+ non possiamo garantire l'accuratezza del risultato finale;
+\end{enumerate}
+
+L'idea per trovare gli autovettori è cercare quelli di $\hat D + \beta_{\frac n 2}z\herm z$ e poi una
+volta ottenuta la matrice $U$ con questi, moltiplicarla per la matrice a blocchi con $Q_1$ e $Q_2$ sulla
+diagonale (che d'ora in poi chiameremo $\hat Q$) per trovare gli autovettori della matrice $T$. \\
+Osserviamo che se $v$ è autovettore per la matrice $D + \beta_{\frac n 2}z\herm z$ allora
+\[
+ (\hat D + \theta z \herm z - \lambda I)v = 0
+\]
+e quindi
+\[
+ (\hat D - \lambda I)v = -\theta z \herm z v
+\]
+Se fosse $\herm z v = 0$ avrei che $(\hat D - \lambda I)v = 0$ ma questo non è possibile perché $v$
+è non nullo e $\hat D - \lambda I$ è invertibile (come assunto precedentemente). Quindi deve essere
+$\herm z v \neq 0$ e quindi dato che $v$ è determinato a meno di uno scalare possiamo assumere
+$\herm z v = 1$. In definitiva si ottiene
+\[
+ v = - \theta z (\hat D - \lambda I)^{-1}
+\]
+che si può scrivere anche più esplicitamente come
+\begin{equation}  \label{eqn:calcoloautovettdivetimp}
+ v_j = \frac{- \theta z}{d_j - \lambda}
+\end{equation}
+Riassumendo, vogliamo trovare la matrice $U$ con i $v_j$ sulla diagonale e questo si può fare con
+la Formula~\ref{eqn:calcoloautovettdivetimp} con costo $O(n^2)$. Ottenuta la matrice $U$ avremo
+la matrice per diagonalizzare $T$ calcolando $\hat Q U$, e potremmo quindi procedere con il metodo.
+
+Sorgono però dei problemi computazionali non banali, più precisamente
+\begin{enumerate}[(i)]
+ \item La matrice $U$ deve essere ortogonale ma questo non è garantito dall'algoritmo. Se ad un passo
+ abbiamo perdita di ortogonalità questo poi causerà un accumulo di errore in tutti i passi successivi
+ portando ad una imprecisione del calcolo. Sembra che in una implementazione del 2006 si sia riusciti
+ a risolvere questo problema. %% TODO: inserire una citazione
+ \item Come già sottolineato prima il calcolo degli autovalori potrebbe essere mal condizionato dal principio
+ portando ad un accumulo di errore notevole ad ogni passo.
+ \item Apparentemente il costo computazionale del calcolo di $\hat Q U$ non è trascurabile in quanto
+ un prodotto matrice per matrice in generale costa $O(n^3)$. Fortunatamente $U$ non è una matrice qualsiasi:
+ matrici del tipo $u_{ij} = \frac{r_i s_j}{x_i - y_j}$ sono dette matrici \emph{Cauchy-like} ed esistono
+ algoritmi per calcolare il prodotto fra una Cauchy-like ed una matrice generica con costo $O(n^2\log{n})$
+\end{enumerate}
+
+Come ultima nota, ricordiamo che questo algoritmo è applicabile solo alle matrici tridiagonali hermitiante
+(e, previa tridagonalizzazione, a qualsiasi matrice hermitiana) ma non alle matrici in forma di Hessenberg
+che non presentano purtroppo alcuna proprietà di separazione\footnote{ovvero quella che ci permette di trovare
+i limite su cui applicare la bisezione o qualsiasi altra iterazione funzionale}. \\
+Sono stati fatti molti tentativi a questo proposito, ma non esiste attualmente nessuna implementazione
+robusta del metodo Divide et Impera sulle matrici di Hessenberg.
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