diff --git a/AppVibrazioni.tex b/AppVibrazioni.tex
index ea43267..5fd00fc 100644
--- a/AppVibrazioni.tex
+++ b/AppVibrazioni.tex
@@ -5,7 +5,7 @@ un sistema di masse collegate da mollle. In questo modo potremo modellizzare, ad
strumenti musicali (come le corde di una chitarra o un tamburo) o un generale sistema
dinamico costituito da masse e molle. %TODO: Inserire qualche altro esempio pratico
-\section{Molle e masse}
+\section{Sistemi discreti}
\subsection{L'oscillatore armonico}
Il nostro scopo sarà, principalmente, risolvere sistemi complicati la cui soluzione esatta non
si riesce a calcolare (o non si riesce a farlo agevolmente) direttamente con un foglio ed una penna,
@@ -163,3 +163,103 @@ la domanda: ``Perché abbiamo sviluppato tutto il ragionamento precedente?''. La
soluzione per un certo $t$ ha un costo computazionale molto alto. \`E quindi inaccettabile il costo che si ottiene
per la valutazione in tutti i punti che interessano a noi per ottenere un suono bem campionato (circa 44100 al secondo).
\end{os}
+
+\section{Sistemi continui}
+\subsection{Generalizzazione del caso delle $N$ masse}
+Supponiamo di avere una corda tesa fra due supporti fissi, che viene, in un'istante $t = 0$ messa in
+una certa posizione con una data velocità iniziale. Siamo interessati a studiare il successivo moto
+della corda e le sue vibrazioni, come abbiamo fatto nel caso di $N$ particelle discrete. \\
+Consideriamo la seguente formalizzazione matematica di questo problema. Possiamo descrivere il moto della
+corda parametrizzando i suoi punti tramite la coordinata orizzontale $x$ e introducendo una funzione
+$u(x,t)$ che definisce la posizone del punto individuato dalla coordinata $x$ al tempo $t$, come si vede nella
+Figura~\ref{fig:corda}. \\
+\begin{wrapfigure}{l}{70mm}
+ \begin{tikzpicture}
+ % Blocchetto 1
+ \draw (0,0) rectangle (1,2);
+ \fill[gray!30] (0,0) rectangle (1,2);
+
+ % Corda
+ \draw[very thick] (1,1) .. controls (2.5,2) and (3.5,2) .. (5,1);
+
+ % Secondo blocchetto
+ \fill[gray!30] (5,0) rectangle (6,2);
+ \draw (5,0) rectangle (6,2);
+
+ % E qualche chiarimento :)
+ \draw[->] (-0.5,-0.5) -- (6.5,-0.5) node[anchor=south] {$x$};
+ \draw (1,-0.4) -- (1,-0.6) node[anchor=north] {$0$};
+ \draw (5,-0.4) -- (5,-0.6) node[anchor=north] {$l$};
+
+ \draw[dashed] (3,-0.5) -- (3,1.75) node[anchor=south] {$u(x,t)$};
+ \end{tikzpicture}
+ \caption{Rappresentazione della corda}
+ \label{fig:corda}
+\end{wrapfigure}
+Un'analisi fisica del fenomeno\footnote{che non è nostro interesse mostrare ora} porta alla seguente
+equazione differenziale:
+\[
+ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \sigma \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0
+\]
+dove $\sigma > 0$ è una costante determinata dalla gravità, dalla tensione e dalla densità
+della corda. Prima di risolverla imponiamo le condizioni al contorno
+\[
+ u(0,t) = u(l,t)
+\]
+che ci permettono di controllare che gli estremi della corda siano sempre fissati ai supporti, e
+le condizioni iniziali
+\[
+ u_0(x) = u(x,0)
+\]
+che dà la posizione iniziale e
+\[
+ v_0(x) = \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)
+\]
+che esprime la velocità iniziale di ogni particella. Questa formalizzazione si può facilmente estendere
+supponendo di avere una membrana introducendo $u(x,y,t)$.
+
+Per ora siamo particolarmente interessati a studiare se esistono delle soluzioni in cui tutti i punti
+si muovano con la stessa frequenza $\omega$, anche se eventulamente con diversa ampiezza. Si tratta
+di trovare una soluzione della forma
+\[
+ u(x,t) = v(x) \cdot \cos{(\omega t)}
+\]
+Osserviamo che data una $u$ di quest forma le derivate parziali diventano
+\[
+ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = -v(x) \omega^2 \cos(wt) \qquad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = v''(x) \cos(wt)
+\]
+e quindi l'equazione differenziale risulta essere
+\[
+ \cos(wt) \left[ -\omega^2 v(x) - \sigma v''(x) \right] = 0
+\]
+che può essere identicamente nulla solo se
+\[
+ \omega^2 v(x) + \sigma v''(x) \equiv 0 \iff v''(x) = -\frac{\omega^2 v(x)}{\sigma}
+\]
+
+\subsection{Discretizzazione del modello}
+
+Per risolvere effettivamente il problema supponiamo di suddividere l'intervallo $[0,l]$ in $n+1$
+punti equidistanti $x_0, \ldots, x_{n+1}$ tali che $x_0 = 0$ e $x_{n+1} = l$. Si avrà dunque
+che $x_i - x_{i-1} = h = \frac{l}{n+1}$. \\
+Per comodità poniamo $v(x_i) = v_i$ la posizione dell'$i$-esimo
+punto.
+Assumiamo ora che la soluzione dell'equazione differenziale sia di classe $C^4$ su $[0,l]$, e facciamo
+lo sviluppo in serie centrato in un generico punto $x_i$.
+\[
+ v(x_i + h) = v_{i+1} = v_i + hv'(x_i) + \frac{h^2 v''(x_i)}{2} + \frac{h^3 v^{(3)}(x_i)}{6} + \frac{h^4 v^{(4)}(\xi_i)}{24}
+\]
+dove $\xi_i \in (x_i , x_{i+1})$.
+Analogamente si ottiene
+\[
+ v(x_i - h) = v_{i-1} = v_i - hv'(x_i) + \frac{h^2 v''(x_i)}{2} - \frac{h^3 v^{(3)}(x_i)}{6} + \frac{h^4 v^{(4)}(\eta_i)}{24}
+\]
+dove $\eta_i \in (x_{i-1}, x_i)$. Sommando queste due si ha
+\[
+ v_{i+1} + v_{i-1} = 2v_i + h^2 v''(x_i) + \frac{h^4}{24}[v^{(4)}(\xi_i) + v^{(4)}(\eta_i)]
+\]
+e possiamo ancora una volta ottenere un'espressione ``quasi'' esplicita della $v''(x_i)$:
+\[
+ v''(x_i) = \frac{1}{h^2} ( v_{i+1} + v_{i-1} - 2v_i ) - \frac{h^2}{24}[v^{(4)}(\xi_i) + v^{(4)}(\eta_i)]
+\]
+
diff --git a/CalcoloScientifico.tex b/CalcoloScientifico.tex
index 00c83fb..fc5ae85 100644
--- a/CalcoloScientifico.tex
+++ b/CalcoloScientifico.tex
@@ -25,6 +25,7 @@
\usepackage{pxfonts}
\usepackage{listings}
\usepackage{wrapfig}
+\usepackage[bf,small]{caption}
%% Le librerie che ci servono per tikz
\usetikzlibrary{snakes}