diff --git a/AppPageRank.tex b/AppPageRank.tex index 0523fa6..3dbfb1f 100644 --- a/AppPageRank.tex +++ b/AppPageRank.tex @@ -335,3 +335,4 @@ Il codice è il seguente END SUBROUTINE dotprod \end{lstlisting} +%TODO: Presentare un'implementazione completa del programma \ No newline at end of file diff --git a/AppVibrazioni.tex b/AppVibrazioni.tex new file mode 100644 index 0000000..a66a347 --- /dev/null +++ b/AppVibrazioni.tex @@ -0,0 +1,155 @@ +\chapter{Studio delle Vibrazioni} + +In questo capitolo ci occuperemo di capire come si comporta un sistema elastico, ovvero +un sistema di masse collegate da mollle. In questo modo potremo modellizzare, ad esempio, +strumenti musicali (come le corde di una chitarra o un tamburo) o %TODO: Inserire qualche altro esempio pratico + +\section{Molle e masse} +\subsection{L'oscillatore armonico} +Il nostro scopo sarà, principalmente, risolvere sistemi complicati la cui soluzione esatta non +si riesce a calcolare (o non si riesce a farlo agevolmente), ma per capire di cosa ci occuperemo +è utile cominciare con un esempio noto. \\ +\begin{wrapfigure}{l}{70mm} +\begin{tikzpicture}[scale=0.8] + % Il terreno + \draw[->] (0,0) -- (7,0) node[anchor=south west] {$x$}; + + % La parete + \draw (1,0) -- (1,2.8); + \foreach \i in {0,...,12} + \draw (1,0.2 * \i) -- (0.8, 0.2*\i + 0.2); + + % La molla + \begin{scope}[thick] + \foreach \i in {1,1.5,...,3.5} + \draw (\i,0.5) -- (\i+0.25,1); + \foreach \i in {1,1.5,...,3.5} + \draw (\i+0.25,1) -- (\i+0.5,0.5); + + % E la massa + \draw (4,0) rectangle (5.5,1.5); + \fill[gray!28] (4,0) rectangle (5.5,1.5); +\end{scope} + +\end{tikzpicture} \caption{L'oscillatore armonico} \label{fig:vib:oscarm}\end{wrapfigure} +Consideriamo dunque il sistema costituito da una massa $m$ attaccata tramite una molla di costante +elastica $K$ e lunghezza a riposo nulla ad una parete (tralasciando la gravità), ovvero il sistema +in Figura~\ref{fig:vib:oscarm}.\\ +Questo è un problema di cui conosciamo la soluzione esatta anche se introduciamo una dissipazione proporzionale +alla velocità $-\gamma v$. Abbiamo infatti che la forza applicata sul blocchetto è +\[ + F = -Kx - \gamma \dot{x} +\] +da cui , ricorando l'uguaglianza $F = ma = m\ddot{x}$ si ottiene l'equazione differenziale +\begin{equation} + m \ddot{x} = -K x -\gamma \dot{x} +\end{equation} +Se aggiungiamo le condizioni iniziali $x(0) = x_0$ e $\dot{x}(0) = v_0$ la soluzione è anche unica. +Se consideriamo infatti una soluzione del tipo $x(t) = e^{\lambda t}$ abbiamo che +\[ + \dot{x}(t) = \lambda e^{\lambda t} \qquad \ddot{x}(t) = \lambda^2e^{\lambda t} +\] +e quindi $x$ è soluzione se e solo se +\[ + m \lambda^2 e^{\lambda t} = -K e^{\lambda t} - \gamma \lambda e^{\lambda t} +\] +e considerando che l'esponenziale non è mai nullo questo si verifica solo se +\[ + m \lambda^2 + \gamma \lambda + K = 0 +\] +Escludendo il caso in cui il determinante è $0$ abbiamo due scelte per $\lambda$, che possono +essere reali o complesse. Nel caso reale i due esponenti ci danno una base dello spazio delle soluzioni. +Nel caso complesso possiamo osservare che, essendo le soluzioni coniugate, abbiamo che +\[ + \lambda = \alpha + \beta i \qquad \con{\lambda} = \alpha - \beta i +\] +e quindi +\[ + e^{\lambda t} = e^{\alpha}( \cos{\beta t} + i \sin{\beta t}) \qquad e^{\con{\lambda} t} = + e^{\alpha}(\cos{\beta t} - i \sin{\beta t}) +\] +dalle quali si ottiene che $e^{\alpha t}\cos{\beta t}$ e $e^{\alpha t}\sin{\beta t}$ sono ancora +una base per lo spazio delle soluzioni. \\ +Nel caso con determinante nullo si può mostrare che prendendo $e^{\lambda t}$ e $te^{\lambda t}$ queste +sono ancora una base. In ogni caso, siamo in grado di risolvere esattamente il nostro problema imponendo +le condizioni iniziali. + +Ci piacerebbe ora generalizzare questo procedimento in situazioni più generali e più complicate. In particolare, +vorremmo costruire un modello matematico di qualche situazione di reale interesse, come la seguente + +\subsection{La corda di una chitarra} +Possiamo modellizzare la corda di una chitarra come in Figura~\ref{fig:vib:cordachitarra}, ovvero come $N$ +masse collegate fra loro da $N-1$ molle e fissate, sempre tramite molle, a dei supporti laterali. +\begin{figure}[ht!] + \begin{center} + \begin{tikzpicture} + % Supporto sx + \draw (0,0) rectangle (1,2); + \fill[gray!30] (0,0) rectangle (1,2); + + %% Serie di molle + \draw[snake=snake] (1,1) -- (2,0.5); + \draw (2.2,0.5) circle (0.2) node {$1$}; + \draw[snake=snake] (2.4,0.5) -- (3.2,1.1); + \draw (3.4,1.1) circle (0.2) node {$2$}; + \draw[snake=snake] (3.6,1.1) -- (4.2,0.5); + \draw (4.4,0.5) circle (0.2); + \draw[snake=snake] (4.6,0.5) -- (5.8,1.5); + \draw (6.0,1.5) circle (0.2); + \draw[snake=snake] (6.2,1.5) -- (7.4,0.6); + \draw (7.6,0.6) circle (0.2) node {$N$}; + \draw[snake=snake] (7.8,0.6) --(9,1); + + %% Bloccketto finale + \draw (9,0) rectangle (10,2); + \fill[gray!30] (9,0) rectangle (10,2); + \end{tikzpicture} + \caption{Modello di una corda di chitarra} + \label{fig:vib:cordachitarra} + \end{center} +\end{figure} +Questo modello non è più rappresentato da una equazione differenziale, ma da un sistema di equazioni. +In tutta generalità possiamo assumere che le particelle $p_i$ abbiano massa $m_i$ e che la molla che collega +$p_{i-1}$ con $p_{i}$ abbia costante elastica $k_i$. Indichiamo inoltre con $\gamma_i$ la costante di attrito +della $i$-esima particella. Possiamo scrivere l'equazione del moto di questa proiettandola sugli assi: +\begin{equation} + \left\{ \begin{array}{ll} + \ddot{x_i} m_i &= -k_i (x_i - x_{i-1}) - k_{i+1}(x_i - x_{i+1}) - \gamma_i \dot{x_i} \\ + \ddot{y_i} m_i &= -k_i (y_i - y_{i-1}) - k_{i+1}(y_i - y_{i+1}) - \gamma_i \dot{y_i} + \end{array} \right. +\end{equation} +Queste possono essere risolte indipendemente per determinare il movimento orizzontale e verticale delle +particelle. Per affrontare la risoluzione è conveniente scrivere l'equazione in forma matriciale. + +Sia $y = \trasp{(y_1, \ldots, y_n)}$, $M$ la matrice diagonale tale che $m_{ii} = m_i$ e $R$ la +matrice diagonale tale che $r_{ii} = \gamma_i$. Costruiamo infine la matrice $K$ costruita in questo +modo +\[ + K = \left[ \begin{array}{cccccc} + \ddots & \ddots & & & & \\ + \ddots & \ddots & \ddots & & & \\ + & -k_i & k_i+k_{i+1} & k_{i+1} & \\ + & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ + \end{array} \right] +\] +ovvero in modo che le equazioni di prima si possano scrivere nel seguente modo +\begin{equation} + My'' + Ry' + Ky = 0 +\end{equation} +Usiamo ora un piccolo trucco per riportare questa equazione differenziale del secondo ordine ad una +del primo. Definiamo $w = (y,y')$ il vettore ottenuto giustapponendo il vettore $y$ e la sua derivata. +Riscrivendo il sistema\footnote{Stiamo tacitamente assumendo che $M$ sia invertibile ma questo è piuttosto +ragionevole in quanto il determinante di questa è il prodotto delle masse e quindi è $0$ solo se almeno una +delle masse è $0$, situazione che non siamo interessati a rappresentare con il nostro modello} si ottiene +\begin{equation} + w' = \left[ \begin{array}{cc|cc} + \sblocko{0}{2} & \sblocke{I}{2} \\ + & & & \\ \hline + \sblocko{M^{-1}K}{2} & \sblocke{M^{-1}R}{2} \\ + & & & \\ + \end{array} \right] w = Aw +\end{equation} +Supponiamo ora per semplicità che $A$ sia diagonalizzabile, ovvero $A = SDS^{-1}$. Si ha in questo caso +che $w = SDS^{-1}w$ e quindi $S^{-1}w = DS^{-1}w$ dove $D$ è diagonale. Ponendo $z = S^{-1}w$ si ottiene +$z_i = z_i d_{ii}$ e quindi ci si può ricondurre al caso precedente con la soluzione per componenti +$z_i(t) = e^{d_{ii} t}$. \ No newline at end of file diff --git a/CalcoloScientifico.tex b/CalcoloScientifico.tex index 90f0366..08918ee 100644 --- a/CalcoloScientifico.tex +++ b/CalcoloScientifico.tex @@ -24,6 +24,10 @@ \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{pxfonts} \usepackage{listings} +\usepackage{wrapfig} + +%% Le librerie che ci servono per tikz +\usetikzlibrary{snakes} %% %% Ci piace, a causa del carattere usato (pxfonts) @@ -104,6 +108,7 @@ %% \newcommand{\mat}[2]{#1^{#2 \times #2}} + %% %% Determinante % @@ -247,6 +252,9 @@ %% Page rank \include{AppPageRank} +%% Studio delle vibrazioni +\include{AppVibrazioni} + \part{Appendice} \appendix