Aggiunta lezione del 21 ottobre e corretto l'uso di stackrel{}{}

diff --git a/CalcoloScientifico.tex b/CalcoloScientifico.tex
index c929e02..9af0bd0 100644
--- a/CalcoloScientifico.tex
+++ b/CalcoloScientifico.tex
@@ -67,7 +67,7 @@
 %% Condizionamento e spettro
 %%
 \newcommand{\cond}[1]{\mathcal{K}(#1)}
-\newcommand{\spe}[1]{Sp(#1)}
+\newcommand{\spe}[1]{\mathrm{Sp}(#1)}
 \newcommand{\rs}[1]{\rho(#1)}


@@ -106,8 +106,8 @@

 %%
 %% Determinante
-%%
-\newcommand{\deter}[1]{det(#1)}
+%
+\newcommand{\deter}[1]{\mathrm{det}(#1)}


 %%
diff --git a/capitolo1.tex b/capitolo1.tex
index 28936eb..57e0d29 100644
--- a/capitolo1.tex
+++ b/capitolo1.tex
@@ -543,7 +543,7 @@ E quindi possiamo scrivere
 \]
 e per continuità possiamo estenderlo a tutto $\C$, ottenendo
 \[
- p_n(z) = (\alpha_n - z)\cdot \prod_{j=1}^{n-1} (\lambda_j^{(n-1)} - z) - \sum_{i=1}^{n}w_i^2\prod_{\stackrel{i=1}{j\neq i}}^{n}(\lambda_i^{(n-1)}-z)
+ p_n(z) = (\alpha_n - z)\cdot \prod_{j=1}^{n-1} (\lambda_j^{(n-1)} - z) - \sum_{i=1}^{n}w_i^2\prod_{\substack{i=1\\j\neq i}}^{n}(\lambda_i^{(n-1)}-z)
 \]
 \begin{os}
  Nel definire il polinomio siamo stati costretti ad escludere una quantità finita di punti (precisamente
@@ -553,7 +553,7 @@ e per continuità possiamo estenderlo a tutto $\C$, ottenendo
 Questa forma del polinomio ci permette di valutarlo negli autovalori $\lambda_i^{(n-1)}$ della matrice
 $A_{n-1}$. Otteniamo la seguente
 \[
- p_n( \lambda_i^{(n-1)} )  = 0 - w_i^2\prod_{\stackrel{i=1}{i\neq j}}^{n} (\lambda_i^{(n-1)} - z) \neq 0
+ p_n( \lambda_i^{(n-1)} )  = 0 - w_i^2\prod_{\substack{i=1\\i\neq j}}^{n} (\lambda_i^{(n-1)} - z) \neq 0
 \]
 e quindi, in particolare, per ogni $i$ si ottiene $w_i \neq 0$.
 Siamo ora interessati a cercare le radici del polinomio, sfruttando le informazioni che supponiamo
diff --git a/capitolo2.tex b/capitolo2.tex
index 1f5c5d6..80d24ff 100644
--- a/capitolo2.tex
+++ b/capitolo2.tex
@@ -358,4 +358,109 @@ si abbia
  A_{k+1} = \herm{Z} A_k Z
 \]
 ed è possibile dimostrare che questa iterazione produce una matrice simile a meno di una matrice di fase reale
-rispetto a quella presentata in precedenza.
\ No newline at end of file
+rispetto a quella presentata in precedenza.
+
+\section{Divide et Impera}
+\subsection{L'idea}
+Introdurremo ora un altro metodo, piuttosto recente, per il calcolo di tutti gli autovalori della matrice.
+Questo è stato introdotto nel 1980 da Cuppen. Il metodo permette il calcolo di autovalori solo per matrici
+tridiagonali hermitiane e l'osservazione che ne sta alla base è che una matrice tridiagonale è ``quasi''
+diagonale a blocchi, più precisamente se $H$ è la nostra matrice
+\[
+ H = \left[ \begin{array}{cc|cc}
+             \sblocko{T_1}{2} & &  \\
+            & & & \\ \hline
+             & & \sblocke{T_2}{2} \\
+            & & & \\
+            \end{array} \right]
++ \left[ \begin{array}{cc|cc}
+          & & & \\
+          & \beta_{n-1} & & \\ \hline
+          & & \beta_{n-1} & \\
+          & & &
+         \end{array} \right]
+\]
+Ovvero è una diagonale a blocchi più una correzione di rango 2. A ben vedere, però, si può fare anche di meglio.
+Se sostituiamo in $T_1$ il valore $\alpha_{\frac{n}{2}}$ con $\hat \alpha_{\frac{n}{2}} = \alpha_{\frac{n}{2}} - \beta_{n-1}$
+e in $T_2$ il valore $\alpha_{\frac{n}{2} + 1}$ con $\hat \alpha_{\frac{n}{2} + 1} = \alpha_{\frac n 2 + 1} - \beta_{n-1}$, otteniamo
+una matrice a blocchi tridiagonali più un correzione di rango $1$:
+\[
+ H = \left[ \begin{array}{cc|cc}
+             \sblocko{\hat T_1}{2} & &  \\
+            & & & \\ \hline
+             & & \sblocke{\hat T_2}{2} \\
+            & & & \\
+            \end{array} \right]
++ \left[ \begin{array}{cc|cc}
+          & & & \\
+          & \beta_{n-1} & \beta_{n-1}& \\ \hline
+          & \beta_{n-1} & \beta_{n-1} & \\
+          & & &
+         \end{array} \right]
+\]
+Supponiamo ora di conoscere gli autovalori di $\hat T_1$ e di $\hat T_2$, ed in particolare le matrici
+unitarie $Q_1$ e $Q_2$ che ci permettono di diagonalizzarle, ovvero
+\[
+ T_1 = Q_1 D_1 \herm Q_1 \qquad
+ T_2 = Q_2 D_2 \herm Q_2
+\]
+con $D_1$ e $D_2$ le matrici con gli autovalori sulla diagonale e $0$ altrove.
+
+Tutto questo può funzionare se
+riusciamo a mostrare che siamo veramente in grado di calcolare facilmente gli autovalori della matrice a blocchi
+con la correzione.
+
+Se consideriamo ora la matrice $D$ così formata
+\[
+ \hat D = \left[ \begin{array}{cc|cc}
+                  \sblocko{D_1}{2} & & \\
+                  & & & \\ \hline
+                  & & \sblocke{D_2}{2} \\
+                  & & &
+                 \end{array} \right]
+\]
+e calcoliamo $B = \herm Q A Q$ otteniamo
+\[
+ B = \herm Q A Q = \hat D + \beta_{\frac{n}{2}}z\herm z
+\]
+con $z = \left[ \begin{array}{c} q_1 \\ q_2 \end{array}\right]$ dove $q_i$ è l'ultima colonna di $\herm Q_i$.
+
+\subsection{La ricerca degli autovalori}
+Abbiamo quindi ricondotto il problema a calcolare gli autovalori di una matrice $D + w\herm w$ dove $D$
+è diagonale e $w$ è un vettore qualsiasi. Calcolando il polinomio caratteristico di $B$ ed assumendo
+che $\lambda \neq \hat d_i$  otteniamo
+\[
+  p(\lambda) = \deter{\lambda I - B} = \deter{ \lambda I - D }\cdot \deter{I + \theta(\lambda I - D)^{-1} z\herm z}
+\]
+Osserviamo che stiamo assumendo che $\lambda I - D$ sia invertibile, e quindi questa formula per il calcolo
+del polinomio caratteristico vale solo per $\lambda \in \C \setminus (\spe{D_1} \cup \spe{D_2})$. Sapendo che $p$
+è continuo possiamo però concludere che vale per tutto $\C$. \\
+Notiamo inoltre che $( I + \theta(\lambda I - D)^{-1}z\herm z)$ è una matrice elementare e quindi ha determinante\footnote{%
+Ricordiamo che in genearale una matrice elementare $I - \sigma u \herm v$ ha determinante $1 - \sigma \herm v u$}
+$1 - \theta (\lambda I - D)^{-1} \herm zz$; sviluppando ulteriormente si ottiene
+\[
+ p(\lambda) = \prod_{j=1}^{n} (\lambda - \hat d_j) ( 1 + \theta (\lambda I - D)^{-1} \herm zz )
+ = \prod_{j=1}^{n} (\lambda - \hat d_j) ( 1 + \theta \sum_{k=1}^{n} \frac{z_k^2}{\lambda - \hat d_k} )
+\]
+ed estendendo per continuità a tutto $\C$ si ottiene infine
+\[
+ p(\lambda) = \prod_{j=1}^n (\lambda - \hat d_j) + \theta\sum_{k=1}^n z_k \prod_{\substack{s=1 \\ s\neq k}}^n (\lambda - \hat d_s)
+\]
+che è una sorta di equazione secolare come quella che si era ottenuta partendo dalle relazioni ricorrenti a tre
+termini nella Sezione~\ref{sec:eqsecolare}.
+
+Siamo ora costretti a fare delle assunzioni sulla struttura di $z$ e di $\hat D$. In realtà ci renderemo conto
+in seguito che queste non sono restrittive perché nei casi in cui non saranno verificate ci troveremo con un
+problema semplificato, che potremo riportare a questo caso qua\footnote{Penso, perché in realtà non mi è ancora
+molto chiaro come si dovrebbe fare}. \\
+Assumiamo dunque che
+\begin{itemize}
+ \item $z_j \neq 0$ per ogni $j = 1 \ldots n$;
+ \item $\hat d_k \neq \hat d_j$ per ogni $k \neq j$, ovvero che tutti gli autovalori siano distinti;
+\end{itemize}
+A questo punto dalle relazioni precedenti ricaviamo che
+\[
+ p(\lambda) = 0 \iff 1 + \theta \sum_{j=1}^n \frac{z_j^2}{\lambda - \hat d_j} = 0
+\]
+e quindi gli autovalori delle matrici di ordine $\frac{n}{2}$ separano quelli della matrice grande, e si
+può applicare (ad esempio) il metodo di bisezione.