diff --git a/Slide/slide.tex b/Slide/slide.tex
index a775f2f..cfadbd3 100644
--- a/Slide/slide.tex
+++ b/Slide/slide.tex
@@ -6,7 +6,7 @@
\usepackage[italian]{babel}
\usepackage{default}
\usepackage{iwona}
-% \usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
@@ -198,14 +198,34 @@
%$h_0$ è un \emph{lowpass filter}, perché elimina le alte frequenze lasciando invariate quelle
%basse, mentre $h_1$ è un \emph{highpass filter} perché mantiene le alte frequenze eliminando
%quelle basse.
+%
+% Osserviamo che per ogni $\omega$ e per ogni $h$, $h * {e^{in\omega}} = H(\omega)e^{in\omega}$ e quindi
+% $e^{inw}$ è un autovettore per il filtro. Il suo autovalore $H(\omega)$ viene detto
+% \emph{frequency response} del filtro alla frequenza $\omega$.
- Osserviamo che per ogni $\omega$ e per ogni $h$, $h * {e^{in\omega}} = H(\omega)e^{in\omega}$ e quindi
- $e^{inw}$ è un autovettore per il filtro. Il suo autovalore $H(\omega)$ viene detto
- \emph{frequency response} del filtro alla frequenza $\omega$.
+ Sia $x(n) = e^{in\omega}$. Questo è un autovettore per il filtro:
+ \[
+ h * \{e^{in\omega}\} = \sum_{i=0}^{N} h(i)e^{i(n-i)\omega} =
+ e^{in\omega} \underbrace{\sum_{i=0}^{N} e^{-i\omega}}_{\textrm{autovalore } H(\omega)}
+ \]
\vskip 10pt
- Nell'esempio precedente abbiamo
+ \uncover<2-> {
+ Consideriamo un segnale generico $x(n)$, e la sua trasformata di Fourier $X(\omega)$.
+
+ La trasformata di Fourier $Y(\omega)$ del segnale $y(n)$ ottenuto dopo l'applicazione del filtro
+ sarà
+ \[
+ Y(\omega) = X(\omega) H(\omega)
+ \]
+ }
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame} \frametitle{Lowpass e Highpass}
+
+% Nell'esempio precedente abbiamo
\begin{figure}
\subfigure{
\begin{tikzpicture}[domain=0:1.57, samples=150,scale=1.5]
@@ -226,35 +246,19 @@
\caption{Frequency response di $h_0$ ed $h_1$}
\end{figure}
-\end{frame}
-\begin{frame} \frametitle{Lowpass e Highpass}
- Il filtro $h_0$ si dice \emph{lowpass} perché lascia invariati i segnali
+ \begin{description}
+ \item[$H_0(\omega)$] Il filtro $h_0$ si dice \emph{lowpass} perché lascia invariati i segnali
a bassa frequenza, mentre elimina quelli ad alta frequenza.
- Analogamente $h_1$ si dice \emph{highpass}.
-
- \vskip 25pt
-
- Consideriamo un segnale generico $x(n)$, e la sua trasformata di Fourier $X(\omega)$.
- La trasformata di Fourier $Y(\omega)$ del segnale $y(n)$ ottenuto dopo l'applicazione del filtro
- sarà
- \[
- Y(\omega) = X(\omega) H(\omega)
- \]
-
- \vskip 25pt
+ \item[$H_1(\omega)$] Analogamente $h_1$ si dice \emph{highpass}.
+ \end{description}
- Il filtro \textbf{amplifica ogni frequenza del segnale} di un coefficiente $H(\omega)$.
\end{frame}
\subsection{Upsampling e downsampling}
\begin{frame} \frametitle{Downsampling}
- In seguito ci troveremo molto spesso nella condizione di avere "troppa informazione",
- ovvero di avere gruppi di segnali che contengono informazioni ridondanti. \\[15pt]
-
- Per ovviare a questo trasformeremo i segnali $x(n)$ in degli altri segnali $y(n)$
- tramite un'operazione di \emph{downsampling}:
+
\begin{de}
Diremo che $y(n)$ è il \emph{downsampling} di $x(n)$ e lo indicheremo con
$y(n) = \downsample{k}x(n)$ se
@@ -262,8 +266,14 @@
y(n) = x(kn) \quad \textrm{dove } k \in \N
\]
\end{de}
- In questo modo scarteremo una parte dell'informazione (a seconda del $k$ scelto, solitamente
- avremo $k = 2$). \\[5pt]
+
+ \begin{example}
+ Applichiamo il downsampling ad un numero finito di samples:
+ Se $x = (1, 5, 3, 2, 6, 4, 8) = x(0) \ldots x(6)$ si ha
+ \[
+ \downsample{3}x = (1, 2, 8) \qquad \downsample{2}x = (1,3,6,8)
+ \]
+ \end{example}
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{Upsampling}
@@ -333,16 +343,21 @@
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{Perché una filterbank?}
- Potremmo chiederci:
- \begin{quote}
- Qual'è la relazione fra le wavelet e le filterbank?
- \end{quote} \\[15pt]
-
- La risposta breve è che le filterbank (in realtà delle opportune
- filterbank) sono l'equivalete discreto della trasformata wavelet. \\[15pt]
-
- Cominciamo a considerare
- un esempio, la \emph{filterbank di Haar}.
+
+ Le filterbank ci permettono di scomporre (e ricomporre un segnale). Questo ci è utile per:
+
+ \vskip 20pt
+
+ \begin{description}
+ \item[Analisi] Vorremmo avere il segnale in una forma che metta in evidenza
+ la decomposizione in frequenze del segnale e contemporaneamente la localizzazione
+ temporale;
+
+ \vskip 25pt
+
+ \item[Compressione] Vorremmo scomporre il segnale in piccole componenti più idonee ad
+ essere compresse (con dati simili fra loro);
+ \end{description}
\end{frame}
@@ -417,19 +432,19 @@
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{La sintesi}
- Osserviamo cosa succede ora se consideriamo
+% Osserviamo cosa succede ora se consideriamo
\begin{eqnarray*}
r(n) &=& f_0 * z_0(n) + f_1 * z_1(n) = \\
&=& \frac{f_0}{2} * (\tilde{y_0}(n) + e^{in\pi}\tilde{y_0}(n)) + \frac{f_1}{2} * (\tilde{y_1}(n) + e^{in\pi}\tilde{y_1}(n)) = \\
&=& \frac{f_0}{2} * H_0(\omega)(e^{in\omega} + e^{in(\omega + \pi)}) + \frac{f_1}{2} * H_1(\omega)(e^{in\omega} + e^{in(\omega + \pi)})
- \end{eqnarray*}
+ \end{eqnarray*} \vskip 10pt
e sviluppando in funzione del segnale iniziale $e^{in\omega}$ si ottiene che $r(n)$ si può scrivere come
(consideriamo $-\omega = \omega + \pi$)
+ % Fare un riqadro
\[
\frac{(F_0(\omega)H_0(\omega) + F_1(\omega)H_1(\omega))e^{in\omega} + (F_0(-\omega)H_0(\omega) + F_1(-\omega)H_1(\omega))e^{-in\omega}}{2}
\]
- \normalsize
- e quindi $r(n)$ è combinazione lineare di $\{e^{in\omega}\}$ e di $\{e^{in(\omega + \pi)}\}$.
+ % e quindi $r(n)$ è combinazione lineare di $\{e^{in\omega}\}$ e di $\{e^{in(\omega + \pi)}\}$.
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{La sintesi}
@@ -454,6 +469,45 @@
\begin{frame} \frametitle{Il caso di Haar}
Ricordando i filtri $h_0, h_1, f_0, f_1$ che avevamo scelto all'inizio, calcoliamo le relative
response function.
+
+ \uncover<2-> {
+ Consideriamo un generico filtro $h$
+ si ha
+ \[
+ y(n) = \sum_{k=0}^{N} h(k)x(n-k) = \sum_{k=0}^{N} h(k)e^{i(n-k)\omega} = e^{in\omega}\underbrace{\sum_{k=0}^{N} h(k)e^{-ik\omega}}_{H_0(\omega)}
+ \]
+ }
+ \uncover<3> {
+ Applicando il procedimento ad $h_0, h_1, f_0, f_1$ si ottiene:
+ \[
+ H_0(\omega) = \frac 1 2 ( 1 + e^{-i\omega} ) \qquad H_1(\omega) = \frac 1 2 (1 - e^{-i\omega})
+ \]
+ \[
+ F_0(\omega) = 1 + e^{-i\omega} \qquad F_1(\omega) = -1 + e^{-i\omega}
+ \]
+ }
+\end{frame}
+
+\begin{frame} \frametitle{Il caso di Haar}
+ Valutando le equazioni della PR condition si ottiene:
+ \[
+ \left\{ \begin{array}{l}
+ F_0(\omega)H_0(\omega) + F_1(\omega)H_1(\omega) = e^{-i\omega} \\
+ F_0(\omega+\pi)H_0(\omega) + F_1(\omega+\pi)H_1(\omega) = 0
+ \end{array}
+ \right.
+ \]
+ La Filterbank di Haar ci permette quindi di decomporre e ricomporre esattamente un segnale
+ con un ritardo di $1$ sample. \\
+ \uncover<2> {
+ \begin{example}
+ Consideriamo il vettore $x = (6,4,5,2,3)$ ed applichiamoci i filtri $h_0$ e $h_1$:
+ \[
+ h_0 * x = (3,5,4.5.3.5,2.5,1.5) \qquad h1 * x = (3,-1,0.5,-1.5,0.5,-1.5)
+ \]
+
+ \end{example}
+ }
\end{frame}