diff --git a/Slide/slide.tex b/Slide/slide.tex
index 6407839..be2cd5a 100644
--- a/Slide/slide.tex
+++ b/Slide/slide.tex
@@ -1,15 +1,15 @@
-\documentclass{beamer}
+\documentclass[mathserif,professionalfonts,compress,slidestop,10pt]{beamer}
\mode<presentation>
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[italian]{babel}
\usepackage{default}
-\usepackage[T1]{fontenc}
-\usepackage{libertine}
+% \usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{tikz}
+\usepackage{subfigure}
% Comandi miei, ovvero piccole cose matematiche che
% ci saranno utili in seguito.
@@ -18,7 +18,11 @@
\renewcommand{\hat}{\widehat}
% Il nostro tema
-\usetheme{CambridgeUS}
+% \usetheme{CambridgeUS}
+\usetheme{Antibes}
+\usecolortheme{dolphin}
+\beamertemplateshadingbackground{blue!10}{blue!2}
+\setbeamercovered{transparent=15}
% Chi siamo e cosa facciamo
\author{Leonardo Robol}
@@ -28,20 +32,25 @@
\begin{document}
% Pagina principale
-\begin{frame}
+\begin{frame}[plain]
\titlepage
\end{frame}
+\begin{frame} \frametitle{Outline}
+ \tableofcontents
+\end{frame}
+
%
% Teoremi
%
\theoremstyle{plain} \newtheorem{teo}{Teorema}
+\theoremstyle{remark} \newtheorem{de}{Definizione}
%
% Cominciamo a capire cosa ci interessa di un segnale e come lo vogliamo
% guardare.
%
-\section{Dominio del tempo e delle frequenze}
+\section{Manipolazione di segnali}
\subsection{Segnali analogici e segnali digitali}
% FRAME: Cosa sono i segnali
\begin{frame}\frametitle{Segnali}
@@ -64,18 +73,25 @@
\begin{frame} \frametitle{Shannon sampling theorem}
Quando un segnale viene campionato molta ``informazione'' viene scartata. Se però il segnale
- è \emph{band-limited} allora questo non crea nessun problema, come ci dice il seguente
+ è \emph{band-limited} allora questo non crea nessun problema, come ci dice il seguente teorema:
\begin{teo}
Ogni segnale analogico le cui frequenze non superano un dato $\omega_{max} \in \R_+$
può essere ricostruito dal suo campionamento $x(nT)$ se $\frac{1}{T} > \frac{\omega_{max}}{\pi}$.
\end{teo}
%% Commento allo shannon sampling theorem
+ \begin{de}
+ Il valore $\frac{\omega_{max}}{\pi}$ viene chiamato \emph{Nyquist period}.
+ \end{de}
\end{frame}
% FRAME: Aliasing
\begin{frame} \frametitle{Aliasing}
+ % Un po' di spettacolo
+ \transdissolve[duration=0.2]<2>
+ \transdissolve[duration=0.2]<3>
+
Cosa succede quando non è soddisfatta l'identità $T^{-1} > \omega_{max} \pi^{-1}$?
Osserviamo il seguente esempio:
@@ -83,7 +99,7 @@
\begin{itemize}
\only<1-> {\item Sia $x(t) = sin(\omega x)$. }
\uncover<2-> { \item Consideriamo il sampling $x(nT)$ con $T = \frac{3\pi}{2\omega}$. }
- \uncover<3-> { \item Si ottiene lo stesso sampling che per $\hat x(t) = \sin(\frac{\omega}{3}t)$, e quindi il segnale non può
+ \uncover<3-> { \item Si ottiene lo stesso sampling che per $\hat x_{alias}(t) = \sin(\frac{\omega}{3}t)$, e quindi il segnale non può
venire ricostruito. }
\end{itemize}
@@ -98,7 +114,7 @@
}
% Disegno i puntini del sampling
- \only<2->{
+ \visible<2->{
\foreach \x in {0,1.8849,...,7}
{\fill (\x, 0) circle (0.05cm);}
\foreach \x in {0.94,4.71,...,7}
@@ -108,7 +124,7 @@
}
% Disegno la funzione alias
- \only<3-> {
+ \visible<3-> {
\draw[color=red] plot[id=aliasedsignal] function {-1 * sin( 1.666667 * x)};
}
\end{tikzpicture}
@@ -116,14 +132,105 @@
\end{figure}
\end{frame}
-% FRAME: Cosa ci interessa di un segnale
-\begin{frame}\frametitle{Tempo e frequenza}
- Per analizzare un segnale abbiamo due scelte ovvie:
- \begin{itemize}
- \item Analizzarle come funzioni del tempo;
- \item Analizzarle come funziona della frequenza, considerandone la
- trasformata di fourier $\hat x(\omega)$;
- \end{itemize}
+% FRAME: Cosa sono i filtri
+\subsection{Filtri e FIR}
+\begin{frame} \frametitle{Filtri}
+ Supponiamo di avere il segnal campionato $x(nT)$; d'ora in poi
+ supporremo $T = 1$ per semplicità.
+
+ \begin{de}
+ Un \emph{filtro} è un'applicazione che manda $x(n)$ in un altro segnale $y(n)$.
+ Diremo che un filtro è
+ \begin{description}
+ \item[causale] se $y(n)$ è funzione unicamente di $x(n), x(n-1), \ldots$;
+ \item[FIR\footnote{che sta per finite impulse response.}] se $y(n)$ si può ottenere con un numero finito di
+ campioni di $x(n)$ per ogni $n$;
+ \end{description}
+ \end{de}
+
+ I filtri FIR e causali sono interessanti perché possono essere calcolati
+ in \emph{real--time}.
+
+\end{frame}
+
+% FRAME: Esempio di filtro
+\begin{frame} \frametitle{Esempio di filtro}
+ Sia $h \in \R^n$ e consideriamo il filtro:
+ \[
+ x(n) \longrightarrow y(n) = \sum_{i=1}^{n} h_{i} x(n - i)
+ \]
+ Questo è sia FIR che causale. Consideriamo i seguenti segnali:
+ \[
+ \left\{ \begin{array}{l}
+ x_1(n) = ( \ldots , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , \ldots ) \\
+ x_2(n) = ( \ldots , 1 , -1 , 1 , -1 , 1 , \ldots ) \\
+ \end{array} \right.
+ \]
+ ed i seguenti filtri:
+ \[
+ \left\{ \begin{array}{l}
+ h_0 = ( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ) \\
+ h_1 = ( \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ) \\
+ \end{array} \right.
+ \]
+
+ Si ottengono i seguenti output:
+ \[
+ h_0x_0 = x_0 \qquad h_1x_0 \equiv 0 \qquad h_0x_1 \equiv 0 \qquad h_1x_2 = x_2
+ \]
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame} \frametitle{Frequency response}
+ %$h_0$ è un \emph{lowpass filter}, perché elimina le alte frequenze lasciando invariate quelle
+ %basse, mentre $h_1$ è un \emph{highpass filter} perché mantiene le alte frequenze eliminando
+ %quelle basse.
+
+ Osserviamo che per ogni $\omega$ e per ogni $h$, $h * {e^{in\omega}} = H(\omega)e^{in\omega}$ e quindi
+ $e^{inw}$ è un autovettore per il filtro. Il suo autovalore $H(\omega)$ viene detto
+ \emph{frequency response} del filtro alla frequenza $\omega$.
+
+ \vskip 10pt
+
+ Nell'esempio precedente abbiamo
+ \begin{figure}
+ \subfigure{
+ \begin{tikzpicture}[domain=0:1.57, samples=150,scale=1.5]
+ \draw[->] (0,0) -- (1.9,0) node[anchor=west] {$\omega$};
+ \draw[->] (0,-0.1) -- (0,1.1) node[anchor=south] {$H_0(\omega)$};
+
+ \draw[color=blue] plot[id=h0resp] function {cos(x)};
+ \end{tikzpicture}
+ }
+ \subfigure {
+ \begin{tikzpicture}[domain=0:1.57, samples=150,scale=1.5]
+ \draw[->] (0,0) -- (1.9,0) node[anchor=west] {$\omega$};
+ \draw[->] (0,-0.1) -- (0,1.1) node[anchor=south] {$H_1(\omega)$};
+
+ \draw[color=blue] plot[id=h1resp] function {sin(x)};
+ \end{tikzpicture}
+ }
+
+ \caption{Frequency response di $h_0$ ed $h_1$}
+ \end{figure}
+\end{frame}
+
+\begin{frame} \frametitle{Lowpass e Highpass}
+ Il filtro $h_0$ si dice \emph{lowpass} perché lascia invariati i segnali
+ a bassa frequenza, mentre elimina quelli ad alta frequenza.
+
+ Analogamente $h_1$ si dice \emph{highpass}.
+
+ \vskip 25pt
+
+ Consideriamo un segnale generico $x(n)$, e la sua trasformata di Fourier $X(\omega)$.
+ La trasformata di Fourier del segnale $y(n)$ ottenuto dopo l'applicazione del filtro
+ sarà il prodotto di $X(\omega)$ e di $H(\omega)$\footnote{che in effetti è la trasformata
+ di Fourier del filtro considerato come funzione da $\R$ in $\R$.}.
+
+ \vskip 25pt
+
+ Il filtro \textbf{amplifica ogni frequenza del segnale} di un coefficiente $H(\omega)$.
\end{frame}