Ancora wavelet nelle slide.
Leonardo Robol [2010-03-19 16:32]
Ancora wavelet nelle slide.
diff --git a/Slide/slide.tex b/Slide/slide.tex
index ed392af..3998a44 100644
--- a/Slide/slide.tex
+++ b/Slide/slide.tex
@@ -7,6 +7,7 @@
\usepackage{default}
% \usepackage{iwona}
\usepackage[T1]{fontenc}
+% \usepackage{rotate}
\usepackage{amsmath}
@@ -581,7 +582,7 @@
%
%
-\section{Wavelet}
+\section{Wavelets}
\subsection{Refinement function}
\begin{frame} \frametitle{Refinement equation}
Cerheremo ora di estendere l'esempio precedente ad un procedimento generale per
@@ -650,6 +651,126 @@
Trovare condizione necessarie e sufficienti per la convergenza della successione $\Phi_k(t)$.
\end{problema}
+ \vskip 10pt
+
+ La condizione che si può trovare sugli autovalori della matrice $2(\downsample{2})HH^{t}$, dove
+ $H$ è la matrice di dimensione infinita associata al filtro $ h = (h_0 \ldots h_n) $.
+
+ \vskip 10pt
+
+ La successione $\{\Phi_k(t)\}_k$ converge se e solo se tutti gli autovalori di questa matrice sono
+ tutti minori di $1$.
+%
+% \begin{example}
+% Se $ h = \frac 1 4 (1, 2, 1)$. Possiamo scrivere un pezzo della matrice $H$ (gli elementi rossi stanno
+% sulla diagonale):
+% \[
+% H = \left[ \begin{array}{ccccc}
+% & \alert 1 & & & \\
+% & 2 & \alert 1 & & \\
+% & 1 & 2 & \alert 1 &
+% \end{array} \right]
+% \]
+% \end{example}
+\end{frame}
+
+\begin{frame} \frametitle{Un altro punto di vista}
+ Scegliamo una funzione $\Phi(t) \in L^2(\R)$ e i seguenti sottospazi:
+
+ \vskip 5pt
+
+ \begin{description}
+ \item[$V_0$] il sottospazio di $L^2(\R)$ generato degli shift di $\Phi$, ovvero dall'insieme
+ $\{ \Phi(t-k) \: | \: k \in \Z \}$.
+ \item[$V_1$] il sottospazio di $L^2(\R)$ generato dagli shift di $\Phi(2t)$.
+\only<1> { \item[$\vdots$] }
+ \item[$V_j$] il sottospazio di $L^2(\R)$ generato dagli shift di $\Phi(2^j t)$.
+\only<1> { \item[$\vdots$] }
+ \end{description}
+ \uncover<2-> {
+ \vskip 15pt
+ Valgono le seguenti proprietà:
+ \vskip 10pt
+ \begin{description}
+ \item[Invarianza per shift] $f(t) \in V_j \iff f(t - \frac 1 j) \in V_j$;
+ \item[Downsampling] $f(t) \in V_j \iff f(2t) \in V_{j+1}$;
+ \item[Refinement equation] $V_j \subseteq V_{j+1} \iff \textrm{esistono } a_1 \ldots a_k \: | \: \Phi(t) = \sum_{i=0}^{N} a_i \Phi(2t - i)$;
+ \end{description}
+ }
+\end{frame}
+
+\begin{frame} \frametitle{Due possibili scelte:}
+
+ \vskip 15pt
+
+ \begin{columns}
+ \column{0.5\linewidth}
+ \textbf{Trovare $\Phi(t)$ partendo dal filtro}
+
+ Possiamo assumere di aver fissato il filtro
+ $h(0) \ldots h(k)$ e trovare $\Phi(t)$ con
+ il metodo iterativo esposto prima.
+
+ \[
+ \left\{ \begin{array}{lcl}
+ \Phi_0(t) &=& \chi_{[0,1]}(t) \\
+ \Phi_{j+1}(t) &=& \sum_{k=0}^{N} h_k \Phi(2t - k)
+ \end{array} \right.
+ \]
+
+ \column{0.5\linewidth}
+ \textbf{Trovare il filtro partendo da $\Phi(t)$}
+
+ Possiamo scegliere $\Phi(t)$ in modo che i
+ sottospazi $V_j$ siano uno contenuto nell'altro
+ e poi porre i coefficienti del filtro $h(0) \ldots h(k)$ come
+ il doppio degli $a_i$ in
+ \[
+ \Phi(t) = \sum_{i=0}^{N} a_i \Phi(2t-i)
+ \]
+ \end{columns}
\end{frame}
+
+\begin{frame} \frametitle{Valutazione dell'errore}
+ Sia $f \in L^2(\R)$. Supponiamo di scrivere un'approssimazione di $f$ come
+ \[
+ \tilde f = \sum_{i} a_i \Phi(2^j t - i) \in V_j
+ \]
+ \`E possibile dare una maggiorazione dell'errore in funzione di $j$?
+
+ \vskip 10pt
+
+ \begin{teo}
+ Per ogni $f \in L^2(\R)$ esistono dei coefficienti $\{a_{jk}\}$ tali
+ che
+ \[
+ || f - \sum_{-\infty}^{\infty} a_jk \Phi(2^jt - k) || \leq C2^{-jp} ||f^{(p)}(t)||
+ \]
+ \end{teo}
+
+ dove $p$ è la molteplicità dello zero di $H(e^{i\omega})$ per $\omega = \pi$.
+\end{frame}
+
+\begin{frame} \frametitle{Spazi wavelet}
+ Abbiamo costruito una struttura di spazi contenuti uno dentro l'altro
+ \[
+ V_0 \subseteq V_1 \subseteq \ldots \subseteq V_j \subseteq \ldots
+ \]
+
+ \vskip 10pt
+
+ Ricordiamo che lo scopo della decomposizione wavelet è \textbf{separare i dettagli dalla base del segnale}.
+
+ \begin{example}
+ Sia $f \in L^2(\R)$ e $f_j$ la sua proiezione ortogonale su $V_j$. Possiamo scrivere:
+ \[
+ f_j(t) = f_0(t) + \underbrace{(f_1(t) - f_0(t))}_{d_1(t)} + \ldots + \underbrace{(f_j(t) - f_{j-1}(t))}_{d_j(t)}
+ \]
+ In questo modo abbiamo scritto $f_j$ come una successione di approssimazioni sempre migliori.
+ \end{example}
+\end{frame}
+
+
+
\end{document}