Introduzione

In matematica, solitamente, affermazioni molto semplici non hanno mai risposte altrettanto semplici. A volte può pure capitare che ciò che sembra intuitivo è errato. Un esempio di ciò è che un gruppo è il prodotto tra un suo sottogruppo normale e il suo quoziente, non sempre è possibile trovare la copia del quoziente nel gruppo stesso, Per esempio in \( Q_8 \). Similmente accade per la seguente affermazione:

Siano \( S, N, T \) 3 gruppi. \[ S \times T \cong N \times T \Rightarrow S \cong T. \]

Questa affermazione in generale è falsa. Tuttavia se assumiamo che i 3 gruppi siano finiti, il teorema diventa sorprendentemente vero. Da ora in poi con gruppi sottointenderò gruppi finiti.

Teorema

Siano \(Y_1, Y_2, Z_1, Z_2\) 4 gruppi tali per cui:

  1. \( Z_1 \cong Z_2 \)
  2. \(Y_1 \times Z_1 \cong Y_2 \times Z_2\)

Allora \( Y_1 \cong Y_2\)

Lemma 1

Siano \(X, A, B\) gruppi. Definiamo con \(h(A,B)\) il numero degli omomorfismi da \(A\) in \(B\).

\[ h(X, A\times B) = h(X,A)\cdot h(X,B) \] Infatti è facile verificare che esiste una funzione inieittiva che va da \(h(X,A\times B)\rightarrow h(X,A)\times h(X,B)\) e una iniettiva dall'altro lato. Essendo finiti vi è una bigezione. \begin{align*} \hline \end{align*}

Lemma 2

denotiamo con \(h'(B,A)\) gli omomorfismi iniettivi da \(B\) in \(A\).\\ Allora per ogni \(A,X\) gruppi si ha:

\[ h(X,A)=\sum_{N\lhd X} h'(X/N, A) \] questo è dovuto al fatto che, per il primo teorema di omomorfismo, per ogni omomorfismo esiste ed è unico un omomorfismo iniettivo dal quoziente per il kernel.

Dimostrazione

Dato l'isomorfismo abbiamo che, per ogni gruppo finito \( X \),

\[ h(X,Y_1)\cdot h(X,Z_1)=h(X, Y_1\times Z_1) = h(X, Y_2\times Z_2)=h(X, Y_2)\cdot h(X,Z_2). \]

Il primo uguale deriva dal lemma 1. Il secondo dall'isomorfismo dei prodotti diretti.

Abbiamo dunque, dall'isomorfismo tra \( Z_2 \) e \( Z_1 \), che \( h(X,Z_1)=h(X, Z_2) \).

Da ciò otteniamo che \( h(X,Y_1)=h(X,Y_2) \).

Ora applichiamo il lemma 2 per ottenere che:

\[ \sum_{N \lhd X} h'(X/N, Y_1)=h(X,Y_1)=h(X,Y_2)=\sum_{N \lhd X} h'(X/N, Y_2) \]

Induttivamente sulla dimensione, supponiamo che \( h'(H,Y_1)=h'(H,Y_2) \) con

\[ \forall \, |H|<|X| \Rightarrow h(X,Y_1)-h'(X,Y_1)=\sum_{\{e\} \neq N \lhd X} h'(X/N,Y_1) \] \[ =\sum_{\{e\} \neq N \lhd X} h'(X/N,Y_2)=h(X,Y_2)-h'(X,Y_2) \]

L'uguale in mezzo per induzione e i due estremi per la formula precedente. Ma allora da questo otteniamo, dato che \( h(X,Y_1)=h(X,Y_2) \),

\[ h'(X,Y_1)=h'(X,Y_2) \]

Infine poniamo \( X=Y_1 \), che dalla formula ci dice che \( 0 \neq h'(Y_1, Y_1)=h'(Y_1, Y_2) \Rightarrow Y_1 \hookrightarrow Y_2 \) e dunque, per cardinalità, \( Y_1 \cong Y_2 \).