Appello Gennaio 2022

• Definizione e caratterizzazione algebrica direzioni ammissibili e di crescita + considerazioni varie su Lemma di farkas e la mutua esclusività dei due problemi
• Formulazione in PL problema di flusso di costo minimo, variante se volessi minimizzare il flusso su ogni singolo arco
• Trovare i piani di taglio di Gomory su un esempio pratico

• Cosa succede nell’algoritmo del simplesso primale se $A_N \xi<=0$ e collegamento con il teorema fondamentale della PL.
• Data un’istanza del problema del flusso di costo minimo come stabilire se esistono flussi ammissibili.
• Modello PLI per il problema ddl commesso viaggiatore.

• Direzione di crescita del simplesso duale
• Esercizio di modellazione con annessa una domanda sul flusso che non ricordo precisamente, ma era scrivere come problema lineare uno dei problemi di flusso
• L’algoritmo del rilassamento del TSP

• Mi ha chiesto il teorema forte della dualità e un esercizio di branch and bound TSP

??/2023

• Teorema forte della dualità
• Caratterizzazione dell’ottimalità per il problema dei cammini minimi
• Piani di taglio di Gomory

• Caratterizzazione algebrica delle direzioni di ammissibilità e di crescita
• (DR) ha soluzione, che posso dire della soluzione duale?
• Esempio geometrico di soluzione primale unica e duale degenere
• Formulazione di TSP in PLI con rilassamento MST
• Caratterizzazione dell’ottimalità per il problema dei cammini minimi
• Se so che $3x_1+6x_2+9x_3<=13$ è un piano di taglio, allora posso dire che anche $x_1+2x_2+3x_3<=4$ è un piano di taglio?

• Cosa si può dire se $A_N \xi \leq 0$?
• Formulazione di CSP in PLI con rilassamento
• Discutere l’ottimalità di CSP al variare del parametro L
• Discutere l’esistenza di una soluzione ammissibile per CSP (trovare un algoritmo: cammini minimi con costi=lunghezze)

• Verificare mediante scarti complementari se una soluzione del duale è ottima
• Relazione tra flusso massimo e taglio minimo
• Esempio di grafo con più tagli di capacità minima
• Rilassamento convessificato di un problema di programmazione lineare intera

• Caratterizzazione direzioni ammissibili e di crescita
• Piani di taglio di Gomory
• E’ possibile che il problema di flusso massimo sia vuoto? Può essere che il valore del flusso massimo sia zero? Quando è possibile?

• Esegui un’iterazione del simplesso duale
• Definisci piani di taglio di Gomory e trovane uno per il problema precedente
• Dato un grafo, esibire dei bilanci, costi e capacità tali che il problema di flusso di costo minimo ammetta più di una soluzione (e dire quante)

• Dato il problema $\max(x_1+2x_2)$ soggetto ai vincoli : $$x_2 \leq 4,~x_1 \leq 2,~x_1-2x_2 \leq 10,~2x_1 + x_2 \leq 4,~-x_1 \leq -4,$$ come decidere da $B = {4,5}$ quale algoritmo utilizzare ?
• Dimostrare che $y(\theta)$ è una direzione di decrescita nell’algoritmo del simplesso duale
• Flusso massimo - taglio minimo con dimostrazione
• Data una rete, fornire un algoritmo per trovare il cammino minimo dal nodo $s$ al nodo $t$ supponendo che ogni nodo costi $T$, con tempi di percorrenza degli archi $t_{ij} , t_{i’ j’}$ (??)

• Modello PL del problema di flusso di costo minimo
• Un flusso ammissibile è di costo minimo se e solo se non esistono cicli amumentanti negativi
• Modellazione di un problema di cammino minimo “doppio”, con due coppie sorgente-destinazione
• Come cambia il modello se impongo che i cammini (da $s1$ a $t1$, da $s2$ a $t2$) non abbiano archi in comune?