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\title{Testi degli esercizi di \\ Elementi di Teoria degli Insiemi}

\date{\today}

\makeindex


\begin{document}

\maketitle

\subsection*{Lezione del 26/02}
\begin{es}
	La coppia ordinata definita come $(a,b):=\{ \{a\},\{a,b\} \}$ è tale che $(a,b)=(c,d)$ se e solo se $a=c,b=d$
\end{es}

\subsection*{Lezione del 09/03}

\begin{es}
	I seguenti sono equivalenti
	\begin{enumerate}
		\item Assioma di scelta: se $\langle A_i | i \in I \rangle $ è una sequenza di insiemi non vuoti, allora $\prod_{i \in I} A_i \not= \emptyset$.
        \item Se $\mathcal{F}$ è una famiglia non vuota di insiemi non vuoti, allora esiste una funzione di scelta $f$ con $Dom(f)=\mathcal{F}$. Funzione di scelta significa che $\forall A \in \mathcal{F} : f(A) \in A$.
        \item Ogni funzione suriettiva $f$ ha inversa destra, ovvero ammette una \\ $g:Im(f)\rightarrow Dom(f)$ tale che $f\circ g$ è la funzione identica di $Im(f)$.
        \item $ \forall <A_{i,j}|(i,j) \in I \times J>$
        	$$ \bigcap_{i \in I} \bigcup_{j \in J} A_{i,j} = \bigcup_{f:I \rightarrow J} \bigcap_{i \in I} A_{i,j} $$
	\end{enumerate}
\end{es}

\subsection*{Lezione del 12/03}

\begin{es}
	Siano $A,A',B,B'$ insiemi tali che $|A|=|A'|,|B|=|B'|$. Allora valgono
	\begin{enumerate}
	\item Se $A\cap B=A'\cap B'=\emptyset$ allora $|A\cup B|=|A'\cup B'|$.
	\item $|A\times B|=|A'\times B'|$.
	\item $|B^A|=|B'^{A'}|$.
	\item $|\p(A)|=|\p(A')|$
	\end{enumerate}
\end{es}

\begin{es}
	Dati $A,B,C$ tre insiemi, mostrare che vale

	\begin{enumerate}
	\item $\left|\left(A^B\right)^C\right|=\left|A^{B\times C}\right|$
	\item Supponendo $B \cap C = \emptyset$, $\left|A^B\times A^C \right| = \left|A^{B\cup C} \right| $
	\end{enumerate}
\end{es}

\begin{es}
	\begin{enumerate}
	\item Dimostrare (senza AC) che se $A\subset\N$ è infinito, allora $|A|=|\N|$.
	\item Dimostrare che se esiste $f:\N\to A$ surgettiva, $A$ è finito oppure $|A|=|\N|$.
	\item Dimostrare che se $A$ è infinito, allora $|A|\ge|\N|$.
	\end{enumerate}
\end{es}

\subsection*{Lezione del 15/03}

\begin{es}
	Se $A,B$ sono infiniti e $A\Delta B$ è finito, allora $|A|=|B|$.  
\end{es}

\begin{es}
  Mostrare che per ogni relazione $R$ vale $|\Dom R|,|\Imm R|\le|R|$.
\end{es}

\begin{es}
	Sia $V$ uno spazio vettoriale reale con $\dim_\R(V)=\aleph_0$. Quanto vale $|V|$?
\end{es}

\begin{es}
	Sia $A=\{f:\R\to\R\st f\text{ monotona}\}$. Quanto vale $|A|$?
\end{es}

\begin{es}
	Dati tre insiemi $A,B,C$ tali che $|A|=|B|$, dimostrare che $\left| [A]^{|C|} \right|=\left| [B]^{|C|} \right|$ dove $[A]^{|C|}:=\{ S\subset A\st |S|=|C| \}$ 
\end{es}

\begin{es}
	Sia $A\subset\R$ numerabile, allora $\R\setminus A$ è denso in $\R$.
\end{es}

\subsection*{Lezione del 16/03}

\begin{es}
	$\forall A$  $\forall B$  $\exists Fun(A,B)$.
\end{es}

\subsection*{Lezione del 19/03}

\begin{es}
	La somma sui naturali è commutativa e associativa.
\end{es}

\begin{es}
	Il prodotto sui naturali è commutativo e associativo.
\end{es}

\begin{es}
	Sui naturali vale la proprietà distributiva $x \cdot (y+z) = (x \cdot y) + (x \cdot z)$.
\end{es}

\begin{es}
	Sia $<$ l'ordinamento sui naturali dato da $x<y \Leftrightarrow \exists z \in \omega \setminus \{0\} : x+z=y$. Esso è un ordine totale.
\end{es}

\begin{es}
	$x \in y \in \omega \Rightarrow x \in \omega$
\end{es}

\begin{es}
	$\forall x,y,z \in \omega : x \in y \in z \Rightarrow x \in z$
\end{es}

\begin{es}
	Mostrare che $(\omega,\in)$ è totalmente ordinato.
\end{es}

\begin{es}
	Dimostrare che se $ x\in y$ allora $\hat{x} \in \hat{y}$.
\end{es}

\begin{es}
	Dati $m,n\in\omega$, mostrare che $n\in m\iff n\subsetneq m$.
\end{es}

\begin{es}
	Dimostrare che se $|k|=|n|$ allora $k=n$.
\end{es}

\subsection*{Lezione del 22/03}

\begin{es}
	Dimostrare che se $A$ è infinito allora $A$ è equipotente ad una sua parte propria.(AC)
\end{es}

\begin{es}
	Dimostrare che se $A$ e $B$ sono finiti allora anche $A \cap B $, $A \cup B$, $A \smallsetminus B$, $P(A)$, $A \times B$ e $f(A)$ sono finiti.
\end{es}

\begin{es}
	Dimostrare che se $\mathcal{F}$ è una famiglia finita di insiemi finiti allora $\bigcup \mathcal{F}$ è finito.
\end{es}

\begin{es}
	Dimostrare che se $A$ e $B$ sono finiti allora $A \cup B$ è finito e se $\mid A'  \mid $ =  $ \mid A \mid$ e $\mid B'\mid$ = $\mid B \mid$ allora $\mid A\cup B \mid $ = $ \mid A' \cup B' \mid$ .
\end{es}

\begin{es}
	Verificare che $(\omega , , +, \cdot , 0)$ soddisfa tutti gli assiomi PA (aritmetica di Peano).
\end{es}

\begin{es}
	$\forall n \in \omega$, $n+1=\hat{n}$ e $\nexists m\in \omega$ tale che $n<m<n+1$.
\end{es}

\subsection*{Lezione del 23/03}

\begin{es}
	Dato un insieme $A$, mostrare che $\bigcup_{n\in\omega}\text{Fun}(n,A)$ è un insieme.
\end{es}

\begin{es}
	Trovare un sottoinseieme $A\subset\Q$ isomorfo (come ordinamento) a $\omega^2$.
\end{es}

\begin{es}
	Sia $(A,<_A)$ totalmente ordinato numerabile denso, senza massimo e minimo. Allora $A\cong\Q$.
\end{es}

\subsection*{Lezione del 26/03}

\begin{es}
	Sia $(A,<)$ insieme totalmente ordinato finito. Allora $(A,<)\cong (n,\in)$ con $n \in \omega$, $|n|=|A|$; in particolare $A$ è bene ordinato.
\end{es}

\begin{es}
	Mostrare che $(\omega,\in)$ è un buon ordine.
\end{es}

\begin{es}
	Mostrare che $(\omega,\in)$ è il più piccolo insieme bene ordinato infinito. Ovvero, che per ogni $(A,<)$ bene ordinato infinito, ho una mappa $f:\omega\to A$ che rispetta l'ordine. (senza AC)
\end{es}

\begin{es}
   Sia $(A,<)$ un insieme ordinato. Dimostrare che se ogni suo segmento iniziale $S$ diverso da $A$ è generato da un $a_S \in A$, allora $<$ è un buon ordine.
\end{es}

\begin{es}
   Siano $A_1\subseteq A_2\subseteq\dots$ una famiglia numerabile di insiemi totalmente ordinati. Allora $\bigcup_n A_n$ è totalmente ordinato.
\end{es}

\begin{es}
	Dimostrare che se $\langle A_i\mid i\in I \rangle$ è una catena di buoni ordini tale che ($i<j\implies A_i$ è segmento iniziale di $A_j$) allora $\bigcup_i A_i$ è ben ordinato.
\end{es}

\subsection*{Lezione del 29/03}

\begin{es}
	Definite $\oplus,\otimes$ tra buoni ordini,
	\begin{enumerate}
		\item trovare controesempi alla commutatività di $\oplus$ e $\otimes$;
		\item mostrare che $\oplus$ e $\otimes$ sono associative;
		\item dire quale delle due proprietà distributive vale (quella a destra o quella a sinistra).
	\end{enumerate}
\end{es}

\begin{es}
	Siano $A,B\subset\R$ bene ordinati (tramite l'ordine indotto). Mostrare che $A+B=\{a+b\st a\in A,b\in B\}$ è bene ordinato.
\end{es}

\subsection*{Lezione del 06/04}

\begin{es}
	Sia $(A,<)$ bene ordinato e sia $\psi: A \to A$ che conserva l'ordine, allora $\psi(a) \ge a$ per ogni $a \in A$.
\end{es}	

\begin{es}
	Sia $(A,<)$ bene ordinato e sia $a \in A$, allora $A \not\cong A_a$.
\end{es}

\begin{es}
	Sia $(A,<)$ bene ordinato e siano $a,a' \in A$ con $A_a \cong A_{a'}$, allora $a=a'$.
\end{es}

\begin{es}
	Siano $(A,<_A)$ e $(B,<_B)$ bene ordinati e sia $a \in A$. Sia $\psi:A \to B$ un isomorfismo. Mostrare che $\psi|_{A_{a}}$ è un isomorfismo tra $A_a$ e $B_{\psi(a)}$.
\end{es}

\subsection*{Lezione del 09/04}

\begin{es}
	Ogni insieme bene ordinato $(A,<)$ finito è isomorfo ad un unico $(n,\in)$ con $n \in \omega$.
\end{es}

\begin{es}
	$(\omega, \in)$ è il più piccolo buon ordine infinito, cioè:
	\begin{enumerate}
		\item il suo tipo d'ordine è maggiore del tipo d'ordine di ogni buon ordine finito;
		\item se $(A,<)$ è un buon ordine infinito, allora $ot(\omega, \in) \le ot(A,<)$.
	\end{enumerate}
\end{es}

\begin{es}
	Sia $\alpha$ un ordinale. Sia $x \in \alpha$, allora $x$ è un ordinale.
\end{es}

\begin{es}
	Se $\alpha$ e $\beta$ sono ordinali, allora $\alpha \in \beta \iff \alpha \subsetneq \beta$.
\end{es}

\begin{es}
	Se $\beta$ è un ordinale, allora $\gamma = \beta \cup \{\beta\}$ è il minimo degli ordinali maggiori di $\beta$.
\end{es}

\begin{es}
	L'ordinale $\alpha$ ha massimo se e solo se esiste un ordinale $\beta$ con $\alpha=\beta \cup \{\beta\}$.
\end{es}

\begin{es}
	Se $X$ è un insieme di ordinali, allora $\bigcup X$ è un ordinale. Inoltre $\bigcup X = \sup X$
\end{es}

\begin{es}
	Se $X \not= \emptyset$ è un insieme di ordinali, allora $\bigcap X$ è un ordinale. Inoltre $\bigcap X \in X$ e $\bigcap X = \min X$.
\end{es}

\begin{es}
	La collezione degli ordinali con $\in$ è bene ordinato, cioè:
	\begin{enumerate}
		\item $\forall \alpha \text{ ordinale} : \alpha \not\in \alpha$;
		\item $\forall \alpha, \beta \text{ ordinali} : \alpha \in \beta \Rightarrow \beta \not\in \alpha$;
		\item $\forall \alpha, \beta, \gamma \text{ ordinali}: \alpha \in \beta \in \gamma \Rightarrow \alpha \in \gamma$;
		\item $\forall \alpha, \beta \text{ ordinali}: \alpha \in \beta \vee \beta \in \alpha \vee \alpha = \beta$;
		\item se $X \not= \emptyset$ è un insieme di ordinali, allora ha minimo.
	\end{enumerate}
\end{es}

\begin{es}
	Se $X$ è un insieme transitivo di ordinali, allora $X$ stesso è un ordinale.
\end{es}

\subsection*{Lezione del 12/04}

\begin{es}
	La classe dei singoletti $\textbf{SING}=\{x : |x|=1\}$ non è un insieme.
\end{es}

\begin{es}
	La classe dei buoni ordini non è un insieme.
\end{es}

\subsection*{Lezione del 13/04}

\begin{es}
	Gli ordinali diversi da $\emptyset$ sono di due tipi:
	\begin{enumerate}
	\item gli ordinali $\alpha$ aventi massimo e della forma $\alpha=\beta+1$ con $\beta$ ordinale;
	\item gli ordinali $\lambda$ che non hanno massimo e sono tali che $\lambda = \bigcup_{\gamma < \lambda} \gamma$.
	\end{enumerate}
\end{es}

\begin{es}
	Dimostrare per induzione transfinita che $0+\alpha = \alpha$ per ogni $\alpha$ ordinale.
\end{es}

\begin{es}
	Dimostrare per induzione transfinita che $\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$ per ogni $\alpha,\beta,\gamma$ ordinali.
\end{es}

\subsection*{Lezione del 16/04}

\begin{es}
	Usando il lemma di Zorn, dimostrare il teorema di Zermelo.
\end{es}

\begin{es}
	Usando il lemma di Zorn, dimostrare l'assioma della scelta.
\end{es}

\subsection*{Lezione del 19/04}

\begin{es}
	Usando il lemma di Zorn, dimostrare che, se $A$ è un insieme infinito, allora $|A\times\{1,2\}|=|A|$.
\end{es}

\begin{es}
	Siano $\alpha$ e $\beta$ ordinali e sia $\lambda$ un ordinale limite. Allora
	$$ \alpha\cdot \beta^\lambda = \bigcup_{\eta<\lambda} \left ( \alpha \cdot \beta^\eta \right )$$
\end{es}

\subsection*{Lezione del 20/04}

\begin{es}
	Dimostrare che l'insieme di Cantor $\mathcal C$ ha cardinalità del continuo.
\end{es}

\begin{es}
	Sia $\textbf{F}: \textbf{A} \to \textbf{B}$ una funzione classe iniettiva con $\textbf{A}$ classe propria. Mostrare che anche $\textbf{B}$ è una classe propria.
\end{es}

\begin{es}
	Sia $G$ un gruppo. Sia $X\subseteq G$ un sottoinsieme non vuoto. Sia $\langle X \rangle$ il gruppo generato da $X$, ovvero il più piccolo gruppo contenuto in $G$ contenente $X$. Allora $$\langle X \rangle = \bigcup_{n=0}^{+\infty} X_n$$, dove $X_0 = X$ e $$ X_{n+1} = X_n \cup \{y^{-1} | y \in X_n\} \cup \{y_1\cdot ... \cdot y_k | k \in \N \wedge y_1,...,y_k \in X_n\} $$.
\end{es}

\begin{es}
	Sia $G$ un gruppo. Sia $X\subseteq G$ un sottoinsieme non vuoto. Sia $\langle X \rangle$ il gruppo generato da $X$. Supponiamo $|X| = \aleph_0$. Mostrare che allora $|\langle X \rangle| = \aleph_0$.
\end{es}

\begin{es}
	Sia $G$ un gruppo. Sia $X\subseteq G$ un sottoinsieme non vuoto. Sia $\langle X \rangle$ il gruppo generato da $X$. Supponiamo $|X| = \mathfrak{c}$. Mostrare che allora $|\langle X \rangle| = \mathfrak{c}$.
\end{es}

\subsection*{Lezione del 23/04}

\begin{es}
	Mostrare che per ogni ordinale $\alpha$ vale $\alpha \le \aleph_\alpha$.
\end{es}

\subsection*{Lezione del 26/04}

\begin{es}
	L'operazione di somma tra cardinali è ben definita, ovvero, per ogni coppia di cardinali $\kappa$ e $\mu$ esistono $A$ e $B$ disgiunti con $|A|=\kappa$ e $|B|=\mu$; inoltre, presa comunque un'altra coppia di insiemi $C$ e $D$ con la stessa proprietà, vale $|A\cup B| = |C \cup D|$. 
\end{es}

\begin{es}
	L'operazione di prodotto tra cardinali è ben definita, ovvero, per ogni coppia di cardinali $\kappa$ e $\mu$, e per ogni coppia di insiemi $A$ e $B$ con $|A|=\kappa$ e $|B|=\mu$, vale $|A \times B| = |\kappa \times \mu|$.
\end{es}

\begin{es}
	L'operazione di esponenziazione tra cardinali è ben definita, ovvero, per ogni coppia di cardinali $\kappa$ e $\mu$, e per ogni coppia di insiemi $A$ e $B$ con $|A|=\kappa$ e $|B|=\mu$, vale $|Fun(B,A)| = |Fun(\mu,\kappa)|$.
\end{es}

\begin{es}
	Dati $\mu$ e $\kappa$ cardinali infiniti con $\mu \le \kappa$, mostrare $|[\kappa]^\mu| = \kappa^\mu$.
\end{es}

\begin{es}
	Siano $\alpha$, $\gamma$, $\gamma'$ ordinali, con $\gamma < \gamma'$. Mostrare le seguenti proprietà:
	\begin{enumerate}
	\item $\alpha+\gamma < \alpha + \gamma'$;
	\item $\gamma+\alpha \le \gamma' + \alpha$ e può valere l'uguale;
	\item $(\alpha \ge 1) \Rightarrow (\alpha \cdot \gamma < \alpha \cdot \gamma')$;
	\item $\gamma \cdot \alpha \le \gamma' \cdot \alpha$ e può valere l'uguale.
	\end{enumerate}
\end{es}

\subsection*{Lezione del 27/04}

\begin{es}
	Siano $\alpha$ e $\beta$ due ordinali infiniti. Mostrare che allora $|\alpha^\beta| = max\{|\alpha|,|\beta|\}$.
\end{es}

\begin{es}
	La forma normale di Cantor è unica.
\end{es}

\begin{es}
	L'operazione di somma infinita tra cardinali è ben definita, ovvero, data una sequenza $\langle \kappa_i | i \in I \rangle$ di cardinali e due sequenze $\langle A_i | i \in I \rangle$ e $\langle B_i | i \in I \rangle$ di insiemi con $|A_i|=|B_i|=k_i $ $\forall i \in I$ e $A_i \cap A_j = B_i \cap B_j = \emptyset$ $\forall i,j \in I, i \not= j$, vale: $$ \left | \bigcup_{i\in I} A_i \right | = \left | \bigcup_{i \in I} B_i \right |$$.
\end{es}

\begin{es}
	Siano $\kappa$ un cardinale e $I$ un insieme. Mostrare che allora valgono i seguenti fatti (intendendo le operazioni di somma e prodotto infiniti tra cardinali):
	\begin{enumerate}
	\item $\sum_{i \in I} \kappa = \kappa \cdot |I|$;
	\item $\prod_{i \in I} \kappa = \kappa^{|I|}$.
	\end{enumerate}
\end{es}

\subsection*{Lezione del 03/05}

\begin{es}
	Mostrare che esiste una successione $\langle \kappa_i : i \in I\rangle$ non decrescente di cardinali infiniti, dove $I$ è un ordinale infinito e $$ \prod_{i \in I} \kappa_i \not= \left (\bigcup_{i \in I} \kappa_i \right )^{|I|}$$.
\end{es}

\begin{es}
	Mostrare che esiste una successione $\langle \kappa_i : i \in \nu \rangle$ di cardinali infiniti, dove $\nu$ è un cardinale infinito e $$ \prod_{i \in \nu} \kappa_i \not= \left (\bigcup_{i \in \nu} \kappa_i \right )^\nu$$.
\end{es}

\begin{es}
	Mostrare che se $\langle \kappa_i : i \in I \rangle$ e $\langle \mu_i : i \in I \rangle$ sono successioni di cardinali infiniti con $\kappa_i < \mu_i$ $\forall i \in I$, allora $$ \sum_{i \in I} \kappa_i \le \prod_{i \in I} \mu_i $$.
\end{es}

\begin{es}
	Mostrare che se $\langle \kappa_i : i \in I \rangle$ è una successione di cardinali infiniti, allora $$ \sum_{i \in I} \kappa_i \le \prod_{i \in I} \kappa_i $$.
\end{es}

\subsection*{Lezione del 04/05}

\begin{es}
	Sia $\kappa$ un cardinale. Mostrare che $\kappa$ è un limite forte se e solo se $\exists \lambda$ cardinale limite tale che $\kappa = \beth_\lambda$.
\end{es}

\begin{es}
	Mostrare che esistono cardinali $\kappa$ con la proprietà $\beth_\kappa = \kappa$.
\end{es}

\begin{es}
	Mostrare che se $\kappa$ è un cardinale fortemente inaccessibile, allora $\beth_\kappa = \kappa$.
\end{es}

\subsection*{Lezione del 07/05}

\begin{es}
	Sia $(X,<)$ totalmente ordinato. Allora $Cof(X,<)$ è un cardinale regolare, ovvero $Cof(Cof(X,<))=Cof(X,<)$.
\end{es}

\subsection*{Lezione del 09/05}

\begin{es}
	Sia $\approx$ la relazione di equivalenza su $\R$ t.c. $ r \approx r' \iff r-r' \in \Q$. Mostrare $|\R /\approx| = \mathfrak c$.
\end{es}

\begin{es}
	Sia $\mu : \mathcal P(X) \to [0,1]$ una probabilità $\sigma$-additiva tale che è singoletti abbiano misura nulla. Sia $Y$ equipotente a $X$. Mostrare che allora esiste una probabilità $\mu': \mathcal P(Y) \to [0,1]$ con le stesse proprietà.
\end{es}

\subsection*{Lezione del 10/05}

\begin{es}
	Sia $\kappa$ un cardinale limite, sia $\nu$ un cardinale e sia $\langle \alpha_i : i < \nu \rangle$ una successione di ordinali illimitata in $\kappa$. Mostrare che allora anche la successione $\langle |\alpha_i| : i < \nu \rangle$ è illimitata in $\kappa$.
\end{es}

\begin{es}
	Siano $\kappa, \nu$ cardinali con $\nu < Cof(\kappa)$. Mostrare che vale
	$$ \kappa^\nu = \bigcup_{\mu<\kappa} \mu^\nu $$.
\end{es}

\subsection*{Lezione del 11/05}

\begin{es}
	Sia $V_\alpha$ un insieme della gerarchia di Von Neumann con $\alpha$ ordinale. Mostrare $\alpha \subseteq V_\alpha$ e $\alpha \not\in V_\alpha$.
\end{es}

\begin{es}
	Sia $V_{\omega+\alpha}$ un insieme della gerarchia di Von Neumann con $\alpha$ ordinale. Mostrare $|V_{\omega+\alpha}|=\beth_\alpha$.
\end{es}

\begin{es}
	Sia $\alpha$ un ordinale. Allora i seguenti sono equivalenti:
	\begin{enumerate}
	\item se $\beta<\alpha$ è un ordinale, allora $\beta \cdot \alpha = \alpha$;
	\item se $\beta,\gamma<\alpha$ sono ordinali, allora $\beta \cdot \gamma < \alpha$; 
	\item esiste $\delta$ ordinale tale che $\alpha=\omega^{(\omega^\delta)}$.
	\end{enumerate}
\end{es}

\subsection*{Lezione del 14/05}

\begin{es}
	Sia $\alpha$ ordinale. Mostrare $\rho(\alpha)=\alpha$.
\end{es}

\begin{es}
	Per ogni $x$ insieme, mostrare $\rho(x)=\sup\{\rho(y)+1 | y \in x\}$.
\end{es}

\begin{es}
	Per ogni $x,A$ insiemi, mostrare $x \in TC(A) \iff $ esiste una sequenza finita $x=x_0 \in x_1 \in ... \in x_n =A$.
\end{es}

\begin{es}
	Dimostrare $(X, \in) \models $ estensionalità $\iff X$ è transitivo.
\end{es}

\begin{es}
	Sia $V_\alpha$ un insieme della gerarchia di Von Neumann e si supponga $b \subseteq a \in V_\alpha$. Allora $b \in V_\alpha$.
\end{es}

\subsection*{Lezione del 16/05}

\begin{es}
	Siano $A,B$ insiemi con $|A|=|B|$ e sia $\mu \le |A|,|B|$ un cardinale. Mostrare $|[A]^\mu|=|[B]^\mu|$.
\end{es}

\begin{es}
	Trovare una $f: \aleph_{\omega_1} \to \aleph_{\omega_1}$ crescente e continua con esattamente $\aleph_1$ punti fissi.
\end{es}

\subsection*{Lezione del 17/05}

\begin{es}
	Sia $n \ge 1$ intero e sia $f: \omega_1 \cdot n \to \omega_1 \cdot n$ crescente e continua. Mostrare che $f$ ha $\aleph_1$ punti fissi più piccoli di $\omega_1$.
\end{es}

\end{document}
