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\newcommand{\eqdef}{\overset{\mathrm{def}}{=\joinrel=}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defn}{Definizione}

\theoremstyle{theorem}
\newtheorem{teo}{Teorema}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{oss}{Osservazione}

\title{Analisi complessa}
\date{}

\makeindex

\begin{document}

\maketitle

\begin{defn}[Logaritmo principale]
	\begin{flalign*}
	Log_{\theta_0}: \C^* \setminus \R_{\le 0} &\to \R \\
	z &\mapsto \log(|z|)+i\arg(z)
	\end{flalign*}
\end{defn}

\begin{defn}[Funzioni trigonometriche e iperboliche]
	$$ \cos(z) \eqdef \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \qquad \sin(z) \eqdef \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} $$
	$$ \cosh(z) \eqdef \frac{e^{z}+e^{-z}}{2} \qquad \sinh(z) \eqdef \frac{e^{z}-e^{-z}}{2}$$
\end{defn}

\begin{defn}[Olomorfia]
	Sia $D \subseteq \C$ un aperto, sia $f: D \to \C$ una funzione, sia $z_0 \in D$. $f$ si dice olomorfa in $z_0$ con derivata $f'(z_0)=d \in \C$ se vale uno dei seguenti fatti equivalenti:
	\begin{enumerate}
	\item $$ \lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} = d $$
	\item $ \exists \varphi: D \to \C $ continua in $z_0$, con $\varphi(z_0)=d$ e t.c. $f(z) = f(z_0) + \varphi(z) \cdot (z-z_0)$
	\item $ \exists \tilde \varphi: D \to \C $ continua in $z_0$, con $\tilde \varphi(z_0)=0$ e t.c. $f(z) = f(z_0) + d\cdot (z-z_0) + \tilde \varphi(z) \cdot (z-z_0)$
	\item $ \exists r: D \to \C $ t.c. $f(z) = f(z_0)+d\cdot (z-z_0)+r(z)$ e $\lim_{z \to z_0} \frac{r(z)}{|z-z_0|}=0$
	\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{teo}[Cauchy-Riemann]
	Sia $D \subseteq \C$ un aperto, siano $u: D \to \R$, $v: D \to \R$ funzioni, sia $f = u+iv$, sia $z_0 \in D$. Allora le seguenti sono equivalenti:
	\begin{enumerate}
	\item $f$ è olomorfa in $z_0$
	\item $f$ è differenziabile in senso reale in $z_0$ e vale: \begin{enumerate}
		\item $$ \frac{\partial u}{\partial x}(z_0) = \frac{\partial v}{\partial y}(z_0) $$
		\item $$ \frac{\partial u}{\partial y}(z_0) = -\frac{\partial v}{\partial x}(z_0)$$
	\end{enumerate}
	\item $f$ è differenziabile in senso reale in $z_0$ e la matrice Jacobiana in $z_0$ è della forma:
	$$ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} $$
	\end{enumerate}
	In tal caso $f'(z_0) = a+ib = \frac{\partial u}{\partial x}(z_0) + i \frac{\partial v}{\partial x}(z_0)$.
\end{teo}

\begin{defn}[Funzione intera]
	Una funzione definita su tutto $\C$ a valori complessi e olomorfa ovunque si dice intera.
\end{defn}

\begin{teo}
	Sia $D \subseteq \C$ un aperto connesso, sia $f: D \to \C$ olomorfa. Se $Re(f)$ (o $Im(f)$) è costante su $D$, allora $f$ è costante su $D$.
\end{teo}

\begin{teo}[Funzione inversa]
	Sia $D \subseteq \C$ un aperto, sia $f: D \to \C$ olomorfa, sia $z_0 \in D$ e supponiamo $f'(z_0) \not= 0$. Allora esistono $U \subseteq D$, $V \subseteq f(D)$ aperti di $\C$ con $V=f(U)$ e $f|_U$ è invertibile con inversa olomorfa $g$. Inoltre, per ogni $z \in U$ vale $g'(f(z))=\frac{1}{f'(z)}$.
\end{teo}

\begin{defn}[Funzione armonica]
	Sia $D \subseteq \R^2$ aperto, $f: D \to \R$ di classe $C^2$. $f$ si dice armonica se 
	$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$$
\end{defn}

\begin{teo}
	Sia $D \subseteq \C$ aperto, sia $u: D \to \R$, sia $v: D \to \R$, sia $f = u+iv$. Allora se $f$ è olomorfa su $D$, $u$ e $v$ sono armoniche.
\end{teo}

\begin{defn}[Funzioni coniugate armoniche]
	Nelle ipotesi e notazioni del teorema precedente, $u$ e $v$ si dicono coniugate armoniche.
\end{defn}

\begin{teo}
	Sia $D \subseteq \C$ aperto semplicemente connesso, sia $u: D \to \R$ armonica e di classe $C^2$. Allora esiste $f: D \to \C$ olomorfa con $Re(f)=u$. Inoltre $f$ è univocamente determinata a meno di somma per costanti immaginarie.
\end{teo}

\begin{teo}
	Sia $D \subseteq \C$ aperto, sia $u: D \to \R$, sia $v: D \to \R$. Supponiamo che $f=u+iv$ sia olomorfa su $D$. Allora le curve di livello di $u$ e $v$ sono ortogonali fra loro nei punti $z$ in cui $f'(z) \not= 0$.
\end{teo}

\begin{teo}
	Le funzioni olomorfe sono conformi (preservano gli angoli) e distorcono in modo localmente uniforme in tutte le direzioni.
\end{teo}

\begin{defn}[Forma differenziale complessa]
	Una forma differenziale complessa continua è una applicazione continua
	$$ \omega: D \to End_\R(\C) $$
	dove $D \subseteq \C$ è un aperto.
\end{defn}

\begin{defn}
	$$ dx(z) \eqdef Re(z) \qquad dy(z)\eqdef Im(z) \qquad dz \eqdef dx+idy \qquad d\overline z \eqdef dx-idy$$
	Supponendo $D \subseteq \C$ aperto e $f: D \to \C$ di classe $C^1$ dal punto di vista reale:
	$$ df \eqdef \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy $$
	$$ \frac{\partial f}{\partial z} \eqdef \frac{1}{2} \left ( \frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y} \right ) \qquad \frac{\partial f}{\partial \overline z} \eqdef \frac{1}{2} \left ( \frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y} \right )$$
\end{defn}

\begin{oss}
	$f$ olomorfa $\iff \frac{\partial f}{\partial \overline z} = 0 \iff df$ è proporzionale a $dz$ \\
	In tal caso $df = f' dz$. 
\end{oss}

\begin{defn}
	Sia $\omega$ una forma differenziale complessa su un aperto $D \subseteq \C$. Allora $\omega$ si dice esatta se $\omega = df$ per una $f: D \to \C$ differenziabile in senso reale. $\omega$ si dice chiusa se ogni punto di $D$ ammette un intorno in cui è esatta.
\end{defn}

\begin{defn}[Integrazione complessa]
	Siano $u: [a,b] \to \R$, $v: [a,b] \to \R$ integrabili. Sia $f = u+iv$. Allora $f$ si dice integrabile e si scrive:
	$$ \int_a^b f(t) dt \eqdef \int_a^b u(t) dt + i \int_a^b v(t) dt $$
\end{defn}

\begin{teo}
	Sia $f: [a,b] \to \C$ continua. Allora $|f|$ è integrabile e vale:
	$$ \left | \int_a^b f(t) dt \right | \le \int_a^b |f(t)| dt $$
\end{teo}

\begin{defn}[Integrale di 1-forme lungo curve]
	Sia $\omega = P dx+ Q dy$ forma differenziale su un aperto $D \subseteq \C$ e sia $\gamma: [a,b] \to D$ curva di classe $C^1$. $\gamma(t) = x(t)+iy(t)$ con $x$ e $y$ funzioni reali. Allora:
	$$ \int_\gamma \omega \eqdef \int_a^b \left ( P(\gamma(t)x'(t)+Q(\gamma(t))y'(t) \right ) dt$$
	(la definizione è analoga se $\gamma$ è solo $C^1$ a tratti).
\end{defn}

\begin{teo}[Cauchy e corollari]
	Sia $D \subseteq \C$ aperto, sia $f: D \to \C$ continua su $D$ e olomorfa su $D$ meno, al più, sui punti di una retta o su un numero finito di punti, allora $f(z)dz$ è chiusa. 
\end{teo}

\begin{defn}[Primitiva]
	Sia $D \subseteq \C$ aperto e sia $f: D \to \C$ olomorfa. Si dice primitiva di $f$ una funzione $F: D \to \C$ differenziabile con $dF = f(z) dz$.
\end{defn}

\begin{oss}
	Qualunque primitiva di una funzione olomorfa è olomorfa.
\end{oss}

\begin{defn}
	Sia $\gamma: [a,b] \to \C$ una curva chiusa $C^1$ a tratti e sia $z_0 \in \C \setminus \gamma([a,b])$. Si dice indice di $\gamma$ rispetto a $z_0$ il numero (intero):
	$$ I(\gamma,z_0) \eqdef \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{dz}{z-z_0}$$
\end{defn}

\begin{teo}
	Nelle ipotesi e notazioni della definizione precedente, la funzione $z \mapsto I(\gamma,z)$ è costante sulle componenti connesse di $\C \setminus \gamma([a,b])$. Se $z$ è in una componente esterna a $\gamma$, allora $I(\gamma,z)=0$.
\end{teo}

\begin{teo}[Cauchy-Hadamard]
	Data una serie di potenze $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n (z-z_0)^n$, il suo raggio di convergenza è dato dalla formula
	$$ R = \frac{1}{\limsup_{n\to +\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$$
	Inoltre se esiste, eventualmente infinito, il limite di $\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$, allora
	$$ R = \frac{1}{\lim_{n\to +\infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} }$$
\end{teo}

\begin{teo}
	Data una serie di potenze $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n (z-z_0)^n$ con raggio di convergenza $R$, detta $f: B_R(z_0) \to \C$ la funzione corrispondente, vale: $f$ è olomorfa, tutte le sue derivate sono olomorfe e coincidono con le serie derivate (che hanno raggio di convergenza $R$). In particolare la serie data è uguale alla serie di Taylor di $f$ centrata in $z_0$.
\end{teo}

\begin{teo}
	Sia $D \subseteq \C$ aperto, sia $f: D \to \C$ olomorfa, sia $z_0 \in D$. Allora $f$ ammette uno sviluppo in serie di potenze centrato in $z_0$ che converge uniformemente a $f$ in ogni palla chiusa centrata in $z_0$ e contenuta in $D$.
\end{teo}

\begin{defn}[Funzione analitica]
	Sia $D \subseteq \C$ aperto, sia $f: D \to \C$, sia $z_0 \in D$. $f$ si dice analitica in $z_0$ se ammette uno sviluppo in serie di potenze convergente a $f$ in un intorno di $z_0$.
\end{defn}

\begin{teo}
	Siano $D \subseteq \C$ aperto, $f: D \to \C$. Allora:
	$$ f \text{ olomorfa in } D \iff f \text{ analitica in } D \iff f dz \text{ chiusa in } D$$
\end{teo}

\begin{teo}[Stima delle derivate]
	Siano $D \subseteq \C$ aperto, $f: D \to \C$ olomorfa, $z_0 \in D$, $r>0$, $\overline{B_r(z_0)} \subset D$, allora:
	$$ |f^{(n)}(z_0)| \le \frac{n!}{r^n} \max_{z \in \partial B_r(z_0)} |f(z)| $$
\end{teo}

\begin{teo}[Formula integrale di Cauchy]
	Siano $D \subseteq \C$ aperto, $f: D \to \C$ olomorfa, $\gamma: [a,b] \to D$ curva chiusa $C^1$ a tratti e contraibile, $z_0 \in D \setminus \gamma([a,b])$. Allora:
	$$ f^{(n)}(z_0) \cdot I(\gamma,z_0) = \frac{n!}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz$$
\end{teo}

\begin{teo}[Liouville]
	Ogni funzione intera e limitata è costante.
\end{teo}

\begin{teo}
	Sia $D \subseteq \C$ aperto. Siano $f: D \to \C$ e $g: D \to \C$ olomorfe. Se $\{z \in \C : f(z)=g(z) \}$ possiede un punto di accumulazione, allora $f \equiv g$.
\end{teo}

\begin{teo}
	Sia $D \subseteq \C$ aperto semplicemente connesso, sia $f: D \to \C$ olomorfa e mai nulla. Allora esistono $h: D \to \C$ e $H: D \to \C$ olomorfe e tali che $f(z)=e^{h(z)}$ e $f(z)=H(z)^n$.
\end{teo}

\begin{teo}[Mappa aperta]
	Sia $D \subseteq \C$ aperto, sia $f: D \to \C$ olomorfa non costante. Allora $f$ è aperta.
\end{teo}

\begin{teo}[Principio del massimo modulo]
	Sia $D \subseteq \C$ aperto connesso, sia $f: D \to \C$ olomorfa. Se esiste in $D$ un punto di massimo locale per $|f(z)|$, allora $f$ è costante. In particolare, dato $K \subseteq D$ compatto, il massimo di $|f(z)|$ è assunto su $\partial K$ e, se $f$ è non costante, mai in $K^\circ$.
\end{teo}

\begin{teo}
	Sia $f: B_1(0) \to \overline{B_1(0)}$ olomorfa. Supponiamo $f(0)=0$. Allora $|f(z)| \le |z|$ e $|f'(0)| \le 1$. Inoltre, se esiste $z_0 \in B_1(0) \setminus \{0\}$ t.c. $|f(z_0)|=|z_0|$ o se $|f'(0)|=1$, allora esiste $\alpha \in S^1$ t.c. $f(z)=\alpha z$.
\end{teo}

\begin{teo}
	Siano $0 \le r < R \le +\infty$, sia $z_0 \in \C$, sia $C_{r,R}(z_0)=\{z \in \C : |z| \in (r,R)\}$, sia $f: C_{r,R}(z_0) \to \C$ olomorfa. Allora $f$ ammette un unico sviluppo di Laurent centrato in $z_0$ e convergente alla funzione. Inoltre, se $\rho \in (r,R)$ e se $\gamma_{z_0,\rho}: [0,2\pi] \to \C$ è la curva $\gamma_{z_0,\rho}(t) = z_0 + \rho e^{it}$, allora l'n-esimo termine dello sviluppo di Laurent è:
	$$ a_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma{z_0,\rho}} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1} } dz$$
\end{teo}

\begin{defn}(Singolarità isolata)
	Sia $z_0 \in \C$. Si dice che $z_0$ è una singolarità isolata per la funzione $f$ se quest'ultima è olomorfa in un intorno di $z_0$ (tolto eventualmente il punto).
\end{defn}

\begin{defn}(Parte principale)
	Si dice parte principale di una serie di Laurent la serie comprendente i soli termini con esponente negativo.
\end{defn}

\begin{defn}
	Sia $z_0 \in \C$ e sia $f$ una funzione olomorfa in un intorno di $z_0$ (tolto eventualmente il punto). $z_0$ si dice singolarità eliminabile se $f$ si estende a una funzione olomorfa definita in $dom(f) \cup \{z_0\}$. $z_0$ si dice singolarità polare (polo) se esiste $m$ intero per cui $(z-z_0)^m f(z)$ ha una singolarità eliminabile in $z_0$. $z_0$ si dice singolarità essenziale altrimenti.
\end{defn}

\begin{defn}
	Sia $D \subseteq \C$ aperto e sia $S \subseteq D$ un insieme di punti isolati in $\C$. $f: D \setminus S \to \C$ si dice meromorfa su $D$ se è olomorfa su $D \setminus S$ e ogni punto di $S$ non è una singolarità essenziale.
\end{defn}

\begin{teo}(Picard)
	Sia $D \subseteq \C$ aperto, sia $z_0 \in D$ singolarità essenziale, sia $f: D\setminus \{z_0\} \to \C$ olomorfa. Allora $f$ assume ogni valore di $\C$ tranne al più uno. Inoltre se un valore sta nell'immagine, viene assunto infinite volte.
\end{teo}

\begin{defn}(Residuo) \label{residuo}
	Sia $D \subseteq \C$ un aperto, $z_0 \in D$, $f: D \setminus \{z_0\} \to \C$ olomorfa. Si dice residuo di $f$ in $z_0$ il coefficiente del termine $(z-z_0)^{-1}$ nello sviluppo di Laurent di $f$ e si indica con $Res_{z_0}(f)$.
\end{defn}

\begin{teo}[dei residui]
	Sia $D \subseteq \C$ aperto, sia $\gamma: [a,b] \to D$ curva chiusa $C^1$ a tratti e contraibile in $D$, siano $z_1,...,z_n \in D \setminus \gamma([a,b])$, sia $f: D \setminus \{z_1,...,z_n\} \to \C$ olomorfa. Allora:
	$$ \int_\gamma f(z) dz = 2\pi i \sum_{i=1}^n Res_{z_i}(f) \cdot I(\gamma,z_i) $$
\end{teo}

\begin{teo}[Residuo di poli di ordine 1]
	Nelle ipotesi della definizione \ref{residuo} e supponendo $f=\frac{p}{q}$ con $p$ e $q$ olomorfe in $D$, $p(z_0) \not= 0$ e $z_0$ zero di ordine 1 per $q$, vale:
	$$ Res_{z_0}(f) = \frac{p(z_0)}{q'(z_0)}$$
\end{teo}

\begin{teo}[Residuo di poli di ordine qualunque]
	Nelle ipotesi della definizione \ref{residuo} e supponendo $f=(z-z_0)^{-m}g(z)$ con $g$ olomorfa in $D$ e $g(z_0) \not= 0$, vale:
	$$ Res_{z_0}(f) = \frac{1}{(m-1)!}g^{(m-1)}(z_0) $$
\end{teo}

\begin{teo}[Calcolo di integrali trigonometrici]
	Sia $R=\frac{p}{q}$ un rapporto di polinomi a coefficienti complessi in due variabili. Supponiamo che $q$ non abbia zeri che soddisfano $x^2+y^2=1$ e sia
	$$ F(z) = \frac{1}{iz} R\left( \frac{1}{2} \left ( z+\frac{1}{z} \right ), \frac{1}{2i} \left ( z-\frac{1}{z} \right ) \right)$$
	definita su $\C$ meno un numero finito di punti. Allora:
	$$ \int_0^{2\pi} R\left (\cos(t),\sin(t)\right )dt = \int_{S^1} F(z) dz = 2\pi i \sum_{z \in B_1(0)} Res_{z}(F) $$
\end{teo}

\begin{teo}
	Sia $f$ una funzione meromorfa in un intorno del semipiano complesso dove la parte immaginaria è $\ge 0$, senza poli su $\R$ e con $\lim_{|z|\to \infty} f(z) = 0$. Si supponga che $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{ix}$ converga, allora:
	$$ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{ix} = 2\pi i \sum_{Im(z)>0} Res_{z}(f(z)e^{iz})$$
\end{teo}

\begin{teo}[Residuio della derivata logaritmica]
	Sia $U \subseteq \C$ aperto e sia $f$ meromorfa su $U$ e non nulla. Sia $z_0 \in \C$ un polo per $f$ di ordine $m$. Allora:
	$$ Res_{z_0}\left (\frac{f'}{f} \right ) = m $$
\end{teo}

\begin{defn}[Indicatore logaritmico]
	Sia $U \subseteq \C$ aperto e sia $f$ meromorfa su $U$. Sia $\gamma: [a,b] \to U$ una curva chiusa, $C^1$ a tratti e contraibile. Sia $\alpha \in \C$. Si dice indicatore logaritmico di $f(z)-\alpha$ il numero
	$$ \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma}\frac{f'(z)}{f(z)-\alpha} dz = I(f^\circ \gamma,\alpha) $$
\end{defn}

\begin{teo}
	Siano $U \subseteq \C$ aperto, $f: U \to \C$ olomorfa, $z_0 \in U$ con $f(z_0)=\alpha \in \C$, sia $m$ l'ordine di $z_0$ come radice di $f(z)-\alpha$. Allora esistono $r>0$ e $r'>0$ tali che l'equazione $f(z)=\beta$ ammette esattamente $m$ radici (e tutte semplici) tra gli $z \in B_r(z_0)\setminus\{z_0\}$, per ogni $\beta \in B_{r'}(\alpha)\setminus \{\alpha\}$.
\end{teo}

\begin{teo}[Rouché]
	Sia $U \subseteq \C$ aperto, $f: U \to \C$  e $f:U \to \C$ olomorfe, $\gamma: [a,b] \to U$ curva chiusa, $C^1$ a tratti e contraibile in $U$. Si supponga che $|g(z)-f(z)|<|f(z)|$ per ogni $z$ nell'immagine di $\gamma$. Allora:
	$$ \sum_{z \in U} ord_z(f)\cdot I(\gamma,z) = \sum_{z \in U} ord_z(g)\cdot I(\gamma,z)$$
\end{teo}

\begin{defn}
	Sia $\hat {\C}$ la sfera di Riemann $\C \cup \{\infty\}$. Una funzione $f: \hat \C \to \C$ si dice meromorfa se $f|_\C(z)$ e $f|_\C(1/z)$ lo sono (intendendo $1/\infty=0$).
\end{defn}

\begin{defn}[Residuo all'infinito]
	Sia $U \subseteq \C$ un intorno di $\infty$ (un aperto tale che esiste $R>0$ tale che $\C \setminus \overline{B_R(0)} \subseteq U$) e sia $f$ una funzione meromorfa su $U$. Allora si definisce:
	$$ Res_\infty(f) \eqdef Res_0\left (-\frac{1}{z^2} \cdot f\left (\frac{1}{z} \right) \right) $$
\end{defn}

\begin{teo}
	Sia $U \subseteq \hat \C$ aperto, sia $K \subseteq U$ compatto. Si supponga che $\partial K$ si possa parametrizzare come unione finita di curve $C^1$ a tratti, semplici, a 2 a 2 disgiunte. Sia $\Gamma$ una tale parametrizzazione, percorsa ``in modo da tenere la parte interna di $K$ a sinistra". Sia $f$ una funzione meromorfa su $U$ senza poli su $\partial K$. Allora $f$ ha un numero finito di poli $z_1,...,z_n$ e vale:
	$$ \int_\Gamma f(z) dz = 2\pi i \sum_{i=1}^n Res_{z_i}(f)$$
\end{teo}

\end{document}
