Finita la lezione del 12 ottobre anche se alcune cose andrebbero

diff --git a/AppPageRank.tex b/AppPageRank.tex
index 1133e67..5510c2c 100644
--- a/AppPageRank.tex
+++ b/AppPageRank.tex
@@ -70,4 +70,86 @@ La matrice di connessione $H$ associata a questo grafo è la seguente
 	     0 & 1 & 0
             \end{array} \right]
 \]
+\begin{os} \label{os:pageranknumcoll}
+ \`E facile verificare che valgono le seguenti uguaglianze
+ \[
+ \left\{ \begin{array}{ll}
+  \sharp \{ \text{collegamenti uscenti da} \ i \} & = \sum_{j=1}^{N} h_{ij} \\
+  \sharp \{ \text{collegamente che arrivano a} \ j \} & = \sum_{i=1}^{N} h_{ij}
+  \end{array} \right.
+ \]
+\end{os}
+In particolare sarebbe piuttosto immediato calcolare, partendo dalla matrice $H$, i valori
+del Page Rank con i metodi ipotizzati all'inizio del capitolo (per altro reputati incompleti)

+Siamo dunque interessati a calcolare il vettore $W$ dove $w_i$ è l'importanza della pagina $i$,
+in modo che rispetti le linee guide definite precedentemente.
+
+Chiamiamo $d_i$ il numero di link uscenti dalla pagina $i$
+(facilmente calcolabile come visto nell'Osservazione~\ref{os:pageranknumcoll}. Chiameremo inoltre
+$D$ la matrice con i $d_i$ sulla diagonale e nulla per i restanti valori.
+Introdotta questa notazione, secondo il nostro modello ogni componente di $W$ dovrebbe rispettare
+la seguente equazione
+\[
+ w_j = \sum_{i=1}^{N} w_i \frac{h_{ij}}{d_i}
+\]
+che rappresenta esattamente l'idea che l'importanza di ogni pagina è la somma delle importanze di quelle
+che la linkano, in cui ogni addendo è normalizzato sul numero di link uscenti\footnote{probabilmente l'equazione
+è molto più chiara di questa frase, ma non commentare mi sarebbe sembrato inopportuno}.
+\`E quindi chiaro come il nostro problema si sia trasformato in un problema di autovalori ed autovettori. In
+particolare, se poniamo $M = D^{-1}H$ la nostra richiesta si può scrivere nella forma più compatta
+$\trasp{W} = \trasp{W}M$, ovvero $\trasp{W}$ è un autovettore sinistro di $M$. Sorgono spontanee alcune
+domande a cui dobbiamo rispondere prima di procedere oltre.
+\begin{enumerate}[(a)]
+ \item \label{en:pagerank:a} Cosa succede se per qualche $i$ si ha $d_i = 0$? Stiamo tacitamente assumendo che $D$ sia invertibile
+ ma questo non è garantito a priori;
+ \item \label{en:pagerank:b} L'autovalore $1$ fa parte dello spettro delle matrice $M$? Se questo non fosse vero la nostra
+ richiesta non ammette soluzione, e quindi possiamo rinunciare in partenza alla nostra idea;
+ \item \label{en:pagerank:c} Se l'autovettore $W$ esiste, è unico? (a meno di multipli scalari, ovviamente). Se così non fosse
+ sorgerebbero dei seri problemi su come interpretare i risultati ottenuti;
+ \item \label{en:pagerank:d} Possiamo scegliere l'autovettore $W$ in modo che $w_i \geq 0$ per ogni $i$? Questo non è necessario,
+ a priori, ma sembrerebbe coerente fare in modo che delle votazioni siano numeri positivi;
+\end{enumerate}
+
+Cominciamo col rispondere alla domanda~(\ref{en:pagerank:a}). Ovviamente potrebbe benissimo succedere
+che per qualche $i$ $d_i = 0$. Questi ``nodi'' vengono chiamati \emph{dangling node}, ovvero ``nodi penzolanti'',
+che non portano a niente. Per risolvere questo problema si sostituisce la matrice $H$ con una matrice $\hat H$
+tale che se $h_ij = 0 \: \forall j$ allora $\hat h_{ij} = 1 \: \forall j$, e in caso contrario $h_{ij} = \hat h_{ij}$.
+Questa matrice risolve evidentemente il problema e cambia di poco il modello. Supporre che una determinata pagina
+non distribuisca la sua importanza a nessuno o la distribuisca in maniera analoga a tutti non è un gran cambiamento.
+
+La domanda~(\ref{en:pagerank:b}) ha invece una risposta immediata. Sì, l'autovalore $1$ fa parte dello spettro
+ed un autovettore (destro) a lui associato è quello composto di tutti $1$. La verifica è un banale conto.
+
+Per rispondere alle domande~(\ref{en:pagerank:c}) e (\ref{en:pagerank:d}) ci appoggiamo ad un risultato
+che non dimostreremo (in questa sede) ottenuto da Perron-Frobenius sulla Teoria delle Matrici non negative.
+\begin{te}[di Perron-Frobenius] \label{te:PerronFrobenius}
+ Se $A$ è irriducibile allora $\rs{A} > 0$ è un autovalore semplice e esistono $x,y$ autovettori destro e sinistro
+ con componenti strettamente positive.
+\end{te}
+\begin{os}
+ Sembrerebbe, a priori, che non siamo in grado di determinare il raggio spettrale di $A$. Consideriamo però
+ che $1$ è nell spettro e che $||A||_{\infty} = 1$ e ogni norma indotta supera il raggio spettrale. Si può
+ quindi concludere che $\rs{A} = 1$ e quindi possiamo applicare il Teorema~\ref{te:PerronFrobenius}.
+\end{os}
+Sfortunatamente si può osservare che, pur con tutte queste buone proprietà, in generale i metodi applicati
+per trovare l'autovettore (il metodo delle potenze) potrebbe non essere convergente, perché gli autovalori
+diversi da $1$ potrebbero ancora avere modulo $1$\footnote{Come visto nella teoria, la velocità di convergenza
+del metodo di iterazione è data dal rapporto fra il più grande autovalore diverso da quello di cui si sta cercando
+l'autovettore e l'autovalore in questione. In questo caso il rapporto potrebbe essere $1$, che darebbe una situazione
+di non convergenza}.
+Per superare questo problema si può, ancora una volta, modificare il modello. Consideriamo che il visitatore
+possa in ogni pagina, con probabilità $1-\gamma$, decidere di aprire una pagina a caso. Potremmo rappresentare
+questa nuova situazione sostituendo $M$ con la matrice
+\[
+ A = \gamma M + (1-\gamma) \left[ \begin{array}{c}
+                                   1 \\
+				   \vdots \\
+				   1
+                                  \end{array} \right] \left[ 1 \: \hdots \:  1 \right]
+\]
+%% TODO: Spiegare meglio la condizione di ciclicità
+ovvero con una combinazione convessa della matrice $M$ con la matrice di soli $1$. Il valore di $\gamma$ si può
+scegliere a piacimento; Google usa un valore $\gamma = 0.85$. In questo caso la matrice $A$ non ha elementi nulli
+e quindi è irriducibile e non è ciclica\footnote{La condizione di ciclicità è quella che crea problemi
+con gli autovalori di modulo uguale al raggio spettrale}.
\ No newline at end of file
diff --git a/CalcoloScientifico.tex b/CalcoloScientifico.tex
index d99a093..4fc8ec0 100644
--- a/CalcoloScientifico.tex
+++ b/CalcoloScientifico.tex
@@ -62,6 +62,7 @@
 %%
 \newcommand{\cond}[1]{\mathcal{K}(#1)}
 \newcommand{\spe}[1]{Sp(#1)}
+\newcommand{\rs}[1]{\rho(#1)}


 %%
@@ -139,7 +140,7 @@

 %% Rinnoviamo il comando section mark tentando di mantere i caratteri minuscoli
 %% per il nome della sezione.
-\renewcommand{\chaptermark}[1]{ \markboth{Capitolo~\thechapter\ -- #1}{} }
+\renewcommand{\chaptermark}[1]{ \markboth{\thechapter\ -- #1}{} }

 %% Resettiamo qualsiasi header presente
 \fancyhf{}