Agginta la lezione del 9 ottobre sul metodo di Sturm

diff --git a/CalcoloScientifico.tex b/CalcoloScientifico.tex
index bd49397..665b5fe 100644
--- a/CalcoloScientifico.tex
+++ b/CalcoloScientifico.tex
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 \usepackage{graphicx}
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 \usepackage{multirow}
+\usepackage{enumerate}

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 %% Ci piace, a causa del carattere usato (pxfonts)
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 \mainmatter

+%% Introduzione e calcolo del polinomio caratteristico
 \include{capitolo1}

+%% Metodi per il calcolo di autovalori di matrici Hermitiante
+%% tridiagonali
+\include{capitolo2}
+
 \end{document}
diff --git a/capitolo1.tex b/capitolo1.tex
index 5da2183..fb6140c 100644
--- a/capitolo1.tex
+++ b/capitolo1.tex
@@ -1,7 +1,10 @@
-\chapter{Calcolo degli autovalori}
-In questo capitolo ci occuperemo di metodi per il calcolo degli autovalori di una matrice data. Questo
-problema, come vedremo, ha molti risvolti pratici ed applicazioni, e risulterà essere di interesse anche
-nel calcolo delle soluzioni di sistemi lineari.
+\chapter{Il polinomio caratteristico}
+In questo capitolo ci occuperemo di descrivere le forme normali tipicamente usate per
+calcolare agevolmente gli autovalori di una matrice. Descriveremo dei metodi efficienti
+per valutare in un punto il polinomio caratteristico, che potranno essere usati
+nei capitolo seguenti per implementare gli algoritmi di calcolo effettivo. \\
+Premetteremo a questo una breve esposizione degli utilizzi pratici più comuni dei
+metodi che verranno in seguito esposti.

 \section{Esempi pratici di utilizzo}
 Prima di cominciare ad analizzare in dettaglio l'argomento presentiamo due applicazioni pratiche
@@ -374,7 +377,7 @@ e quindi anche $p_{k-2}(\xi)$ deve essere nullo. Ripetendo questa considerazione
 deve essere nullo, ma $p_0(\xi) = 1$ (il polinomio costante) che è assurdo.
 In definitiva per ogni $k \neq j$ si ha che $\spe{A_k} \cap \spe{A_j} = \emptyset$.

-\subsection{L'equazione secolare}
+\subsection{L'equazione secolare} \label{sec:eqsecolare}
 Una domanda che sorge spontanea dopo queste considerazioni è: ``Che relazione possiamo trovare
 fra gli autovalori di due minori $A_k$ e $A_{k-1}$ di una matrice $A$?''. \\
 Il polinomio come scritto nella sezione precedente ci permette solamente di notare che
@@ -647,3 +650,9 @@ Nel caso, ad esempio, di una matrice hermitiana tridiagonale, si può osservare
 estremali le condizioni di convergenza del metodo di Newton sono soddisfatte e quindi possiamo ottenere
 la soluzione con poche operazioni aritmetiche osservando che sia $p$ che $p'$ si possono calcolare
 con poco sforzo dalle loro relazioni ricorrenti a tre termini (viste nella Sezione~\ref{subsec:hermdiag}).
+
+\begin{os}
+ Consideriamo $p_n(x)$ polinomio caratteristico; possiamo osservare facilmente che se $x \to -\infty$ allora
+ $p_n(x) \to \infty$. In generale, infatti, la parte principale del polinomio è $(-1)^{n} z^n$, che va all'infinito
+ sia nel caso $n$ pari sia nel caso $n$ dispari.
+\end{os}
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new file mode 100644
index 0000000..f4f399f
--- /dev/null
+++ b/capitolo2.tex
@@ -0,0 +1,78 @@
+\chapter{Il calcolo degli autovalori}
+
+In questo capitolo ci occuperemo di presentare i metodi principalmente usati nel calcolo
+effettivo degli autovalori di matrici Hermitiane tridiagonali e in forma di Hessenberg.
+
+\section{Il metodo di Sturm}
+Introdurremo ora un metodo efficiente per il calcolo di singoli autovalori di una matrice
+hermitiana in forma tridiagonale. Per tutta la sezione tratteremo il caso di una matrice
+reale per semplicità, ma il caso complesso è risolubile in modo analogo.
+
+Abbiamo visto nella Sezione~\ref{sec:eqsecolare} un metodo efficiente per valutare il polinomio
+caratteristico di una matrice di questo tipo con costo $O(n)$. Possiamo affinare la nostra osservazione
+notando che anche la valutazione di tutti i polinomi $p_k$ in un punto $x$ fissato continua
+ad avere un costo $O(n)$. \\
+Consideriamo, data una matrice $T_n$ in forma tridiagonale hermitiana, la seguente funzione
+\[
+\begin{array}{cccl}
+ f: & \R  & \longto & \{ 0 , \ldots , n \}  \\
+ & x & \longmapsto &  \sharp \{ \ \textrm{cambi di segno nel vettore} \ (p_0(x) , \ldots , p_n(x)) \ \}
+\end{array}
+\]
+Perché $f$ sia ben definita conveniamo che se $p_j(x) = 0$ allora il suo segno è lo stesso di $p_{j-1}(x)$.
+Questa è una buona definizione perché $p_0(x) = 1$ e quindi non è mai $0$.
+\begin{os}
+ Dalla definizione di $f$ si deduce che se il suo valore di cambia in un punto, allora in quel punto ci deve
+ essere uno zero di (almeno) uno dei polinomi $p_j(x)$.
+\end{os}
+Osserviamo cosa succede quando un polinomio ``interno'', ovvero un $p_j$ con $j \in 1 \ldots n-1$ ha uno
+zero in $\bar x$.
+Innanzitutto sappiamo da quanto visto nel capitolo precedente che $p_{j-1}(x) \neq 0 \neq p_{j+1}(x)$; è
+possibile però affinare questa affermazione osservando meglio la relazione ricorrente a tre termini:
+\[
+ p_{j+1}(x) = (\alpha_{j+1} - x) p_j(x) - \beta_j^2 p_{j-1}(x)
+\]
+Se $p_j(x) = 0$ si ottiene che $p_{j-1}(x) \cdot p_{j+1}(x) < 0$, e quindi anche in un intorno di $\bar x$.
+Ricordando le definizione di $f$ si osserva che il segno di $p_j(x)$ è quindi indifferente ai fini del numero
+di cambiamenti di segno. In particolare $f$ non cambia segno in $\bar x$.
+Evidentemente $p_0(x)$ non può cambiare segno, quindi ci rimane da verificare cosa succede quando cambia segno
+$p_n(x)$. \\
+Ricordiamo alcune particolarità dei polinomi $p_n$ viste precedentemente
+\begin{enumerate}[(i)]
+ \item Ogni $p_j$ ha limite a $-\infty$ uguale a $+\infty$;
+ \item Gli zeri di $p_{j-1}$ separano gli zeri di $p_j$, nel senso visto alla fine del precedente capitolo
+ (Sezione~\ref{sec:eqsecolare});
+ \item Tutti gli zeri di un polinomio di una matrice hermitiana tridiagonale sono semplici;
+\end{enumerate}
+Osserviamo quindi che per ogni radice di $p_n$ si ha che il segno della sua derivata e quello di $p_{n-1}$ sono
+opposti. La condizione di semplicità sugli zeri ci assicura che la derivata sarà infatti diversa da $0$ in
+$\bar x$ e quindi $p_n'(\bar x) p_{n-1}(\bar x) < 0$. In particolare la costanza locale del segno della derivata
+intorno allo $0$ ci assicura anche la constanza di quello di $p_{j-1}$ e quindi il \emph{cambio di valore di $f$}.
+In sintesi $f$ agisce come una sorta di ``contatore di zeri''. Dato infatti un qualsiasi intervallo $[a,b]$ si verifica,
+usando le considerazioni precedenti che
+\[
+ f(b) - f(a) = \sharp \{ \ \text{zeri del polinomio caratteristico in } [a,b) \  \}
+\]
+
+Possiamo dunque applicare questa considerazione per applicare il metodo di bisezione per calcolare
+uno specifico autovalore di $T_n$. Queste proprietà di $f$ ci permettono di calcolare infatti singolarmente
+l'$i$-esimo autovalore di $T_n$ (ordinati con l'ordinamento di $\R$) senza bisogno di calcoare tutti gli altri.
+Ricordando la diseguaglianza di Hirsch ($||\lambda|| \leq ||T_n||$) e supponendo di aver fissato $i$ possiamo
+applicare il seguente procedimento.
+
+Cominciamo col calcolare $f(0)$; il suo valore ci dirà quanti autovalori ci sono prima dello $0$, e quindi
+nell'intervallo $[-||T_n||, 0)$. Se il nostro autovalore sta lì (ovvero $i \leq f(0)$) allora calcoliamo
+$f(-\frac{||T_n||}{2})$ e ripetiamo il procedimento; in caso contrario procediamo analogamente con $f(\frac{||T_n||}{2})$. \\
+Iterando un numero sufficiente di volte questo procedimento otterremo alla fine il valore desiderato.
+
+Osserviamo che il procedimento può essere applicatoa ad una qualsiasi matrice hermitiana, a patto
+di portarla in forma tridiagonale (che è sempre possibile tramite matrici unitarie).
+Ricordando le stime dei costi computazionali fatte in precedenza ci rendiamo conto che il costo principale è
+quello della riduzione ($O(n^3)$) rispetto a quello del calcolo dell'autovalore ($O(n^2)$).
+Se si volessero calcolare tutti gli autovalori il costo rimarrebbe ancora dell'ordine di $n^3$. Nonostante questo
+esistono metodi (che vedremo in seguito) che permettono di calcolare tutti gli autovalori con una complessità di
+$O(n^2)$ e che quindi saranno più interessanti per il calcolo dello spettro completo della matrice. \\
+Il metodo di Sturm, comunque, trova delle applicazioni anche in questo ultimo caso nell'ambito del calcolo parallelo,
+dove altri algoritmi non possono essere implementati. Si può osservare invece che, una volta ottenuta la fattorizzazione,
+non sia difficile implementare il metodo di Sturm dividendo fra i vari processori gli autovalori da calcolare.
+