Lezione di Gemignani del 18 novembre
Leonardo Robol [2009-11-20 15:33]
Lezione di Gemignani del 18 novembre
diff --git a/CalcoloScientifico.tex b/CalcoloScientifico.tex
index 8ab4b89..000b3a8 100644
--- a/CalcoloScientifico.tex
+++ b/CalcoloScientifico.tex
@@ -125,6 +125,7 @@
\newcommand{\svd}{\texttt{SVD}}
\newcommand{\tsvd}{\texttt{TSVD}}
\newcommand{\qr}{\texttt{QR}}
+\newcommand{\fft}{\textttt{FFT}}
\newcommand{\matlab}{\texttt{Matlab}}
\newcommand{\lapack}{\texttt{Lapack}}
\newcommand{\Span}[1]{<(#1)>}
diff --git a/capitolo4.tex b/capitolo4.tex
index 4151df3..4e24b15 100644
--- a/capitolo4.tex
+++ b/capitolo4.tex
@@ -191,3 +191,52 @@ Sottolineamo solo alcune problematiche che potrebbero nascere usando questo appr
fare accontentandosi di approssimazioni dell'inversa piuttosto vaghe, ma poco invasive (come ad esempio una matrice diagonale);
\end{enumerate}
+\subsection{Le matrici di Toeplitz}
+Molte delle matrici con cui avremo a che fare risolvendo sistemi lineari in pratica sono matrici di Toeplitz.
+\begin{de}
+ Sia $A$ una matrice $n \times n$; $A$ si dice di \emph{Toeplitz} se le sue diagonali sono costanti, ovvero se per
+ ogni $i,j$ e per ogni $k \in \Z$ per cui ha senso
+ \[
+ a_{ij} = a_{i+k,j+k}
+ \]
+\end{de}
+Queste matrici hanno una struttura molto particolare, ed esiste un modo piuttosto comodo di effettuare il
+prodotto matrice per vettore. Consideriamo il caso seguente con una matrice di Toeplitz triangolare inferiore
+\[
+ \left[ \begin{array}{cccc}
+ t_0 & & & \\
+ t_1 & \ddots & & \\
+ \vdots & \ddots & \ddots & \\
+ t_n & \cdots & t_1 & t_0 \\
+ \end{array} \right]
+ \left[ \begin{array}{c}
+ p_0 \\
+ p_1 \\
+ \vdots \\
+ p_n
+ \end{array} \right]
+= \left[ \begin{array}{l}
+ t_0p_0 \\
+ t_1p_0 + t_0p_1 \\
+ \vdots\\
+ t_np_0 + t_{n-1}p_1 + \ldots + t_0p_n
+ \end{array} \right]
+\]
+Si osserva che il vettore che si ottiene ha i coefficienti che sono quelli del prodotto di questi due polinomi
+\[
+ \left\{ \begin{array}{lll}
+ t(x) &=& t_0 + t_1 z + \ldots + t_n z^n \\
+ p(x) &=& p_0 + p_1 z + \ldots + p_n z^n
+ \end{array} \right.
+\]
+Possiamo quindi calcolare il prodotto matrice vettore nello stesso modo in cui calcoleremmo i coefficienti del
+polinomio prodotto, ovvero con la trasformata discreta di Fourier.
+
+Avremo quindi un costo delle moltiplicazione $O(n\log(n))$\footnote{utilizzando la \fft.} e quindi
+un costo complessivo del metodo del gradiente coniugato di $O(n^2\log(n)).
+
+% TODO: Inserire gli esempi delle applicazioni del metodo del gradiente a qualche caso particolare
+% di matrici, come ad esempio le matrici elementari e le matrici con nugoli di autovalori appiccicati.
+
+
+