Estesa la parte di Bini, ma ancora con errori e imprecisioni. Corretta

diff --git a/AppVibrazioni.tex b/AppVibrazioni.tex
index 5fd00fc..1f867ce 100644
--- a/AppVibrazioni.tex
+++ b/AppVibrazioni.tex
@@ -262,4 +262,42 @@ e possiamo ancora una volta ottenere un'espressione ``quasi'' esplicita della $v
 \[
  v''(x_i) = \frac{1}{h^2} ( v_{i+1} + v_{i-1} - 2v_i ) - \frac{h^2}{24}[v^{(4)}(\xi_i) + v^{(4)}(\eta_i)]
 \]
+Nel nostro modello $h$ è destinato ad essere piccolo, perché $h = \frac{1}{n+1}$ e intuitivamente $n$ deve essere un
+numero grande se vogliamo approssimare bene il problema continuo. Abbiamo quindi che $h^2 \to 0$ quando $n \to \infty$
+e vorremmo poter dire che possiamo trascurare il termine con le derivate quarte.
+Se così fosse avremmo infatti ricondotto il nostro problema ad un problema di autovalori.

+Possiamo riscrivere infatti le relazione in questo modo
+\[
+ Av - \frac{h^2}{24} \tau = \lambda v
+\]
+dove $v = \trasp{( v_1 \ldots v_n )}$ e
+\[
+ A = \left[ \begin{array}{cccccc}
+             -2 & 1 &  & & & \\
+              1 & -2 & 1 & & & \\
+              & \ddots & \ddots & \ddots & & \\
+              & & 1 & -2 & 1&   \\
+              & & & 1 & -2 \\
+            \end{array} \right]
+\]
+e dove $\tau$ è un opportuno vettore che contiene i termini del tipo $\tau_i = v^{(4)}(\xi_i) + v^{(4)}(\eta_i)$.
+Osserviamo che possiamo dare una maggiorazione alla norma di $\tau$ perché essendo la derivata quarta di $v$ continua
+su un compatto è limitata, e quindi $\forall i \: |\tau_i | \leq M$ per un opportuno $M$.
+
+Ricordiamo il Teorema~\ref{te:BauerFike}; questo dice che presa una norma assoluta ed $A$ diagonalizzabile ed $F$
+una matrice di perturbazione per ogni autovalore $\lambda$ di $A + F$ esiste un autovalore $\mu$ di $A$
+tale che $||\lambda - \mu|| \leq \cond{T}||F||$ dove $T$ è il cambio di base che diagonalizza $A$.
+Se poniamo $F = -\frac{h^2}{24}\tau \trasp v$ dove $v$ è un autovettore di $v$ è tale che
+$Av - \frac{h^2}{24}\tau = \lambda v$ allora si ha
+\[
+ (A - \frac{h^2}{24} \tau \trasp v) v = \lambda v
+\]
+e quindi esiste $\mu$ autovalore di $A$ tale che\footnote{Osserviamo che, essendo $A$ reale simmetrica
+il cambio di base che la diagonalizza è ortogonale e quindi ha condizionamento $1$.} $||\lambda - \mu|| \leq ||F||
+= \frac{h^2}{24} \cdot \frac{||\tau\trasp v||}{\trasp vv} \leq \frac{h^2}{24\trasp vv} \sqrt{\rs{\trasp \tau v\trasp v\tau}}
+= ||\tau|| \frac{h^2}{24 \trasp vv}$; questo si ottiene osservando che la norma di una matrice diade $v\trasp v$
+è data dalla norma du $v$.
+
+Vogliamo ora mostrare che $\frac{||\tau||}{||v||}$ è limitato superiormente da una costante, in modo
+da provare la convergenza della nostra approssimazione.
diff --git a/Bibliografia.tex b/Bibliografia.tex
index c2b56f6..5000a66 100644
--- a/Bibliografia.tex
+++ b/Bibliografia.tex
@@ -10,7 +10,7 @@
  SIAM}

  \bibitem{demmel}{%
-  Demmel,
+  James W. Demmel,
   \emph{Applied Numeric Linear Algebra},
   SIAM
  }
diff --git a/capitolo1.tex b/capitolo1.tex
index 57e0d29..55c8be3 100644
--- a/capitolo1.tex
+++ b/capitolo1.tex
@@ -61,7 +61,7 @@ portare quindi ad errori non trascurabili.
 \subsection{Il caso di una matrice diagonalizzabile}
 Cominciamo ad analizzare un caso relativamente semplice, ovvero quello dove $A$ è una matrice diagonalizzabile,
 per cui dimostreremo un risultato detto
-\begin{te}[di Bauer - Fike]
+\begin{te}[di Bauer - Fike] \label{te:BauerFike}
  Se $A \in \mat{\R}{n}$ è una matrice diagonalizzabile tramite il cambio di base $V^{-1}$ ed $\eta$ è
  un autovalore della matrice perturbata $A + \delta A$ allora esiste un autovalore $\lambda$ di $A$ tale che
  \[
@@ -89,7 +89,7 @@ Possiamo distinguere due casi:
   \]
   Consideriamo dunque una norma matriciale indotta tale che data una matrice $D$ diagonale si abbia
   $||D|| = \max_{i = 1 \ldots n}\{|d_{ii}|\}$\footnote{la norma $1$, $2$ e $\infty$ soddisfano questo
-  requisito,  ad esempio} ed effettuiamo le seguenti maggiorazioni
+  requisito,  ad esempio; questo tipo di norma è detta \emph{assoluta}.} ed effettuiamo le seguenti maggiorazioni
   \[
    ||y|| \leq ||(A -\eta I)^{-1}|| \cdot || \delta A || \cdot ||y||
   \]
diff --git a/capitolo3.tex b/capitolo3.tex
index cba2bc6..0a78ff7 100644
--- a/capitolo3.tex
+++ b/capitolo3.tex
@@ -274,4 +274,5 @@ avremmo invece una dimensione di $15 KB$! Ovviamente l'immagine risultante dareb
 ma si potrebbe pensare di trovare un punto d'incontro fra dimensione e qualità\footnote{e magari di raffinare anche
 il metodo di compressione, ma questo lo vedremo in seguito}.

-% TODO: Inserire un esempio di immagine compressa tramite SVD magari con varie opzioni per il rango
\ No newline at end of file
+% TODO: Inserire un esempio di immagine compressa tramite SVD magari con varie opzioni per il rango
+