Aggiunto capitolo 5 e Metodo di Lanczos per l'approssimazione di

diff --git a/Bibliografia.tex b/Bibliografia.tex
index 5000a66..eca1a00 100644
--- a/Bibliografia.tex
+++ b/Bibliografia.tex
@@ -29,3 +29,4 @@
  October 26, 2006, \verb-http://sourceforge.net/projects/pgf-
  }
 \end{thebibliography}
+
diff --git a/CalcoloScientifico.tex b/CalcoloScientifico.tex
index 4a64577..7a19397 100644
--- a/CalcoloScientifico.tex
+++ b/CalcoloScientifico.tex
@@ -74,6 +74,8 @@
 \newcommand{\cond}[1]{\mathcal{K}(#1)}
 \newcommand{\spe}[1]{\mathrm{Sp}(#1)}
 \newcommand{\rs}[1]{\rho(#1)}
+\newcommand{\ray}[2]{\mathtt{R}(#1,#2)}
+\newcommand{\kryl}[3]{\mathtt{K}_{#3}(#1,#2)}


 %%
@@ -126,9 +128,11 @@
 \newcommand{\tsvd}{\texttt{TSVD}}
 \newcommand{\qr}{\texttt{QR}}
 \newcommand{\fft}{\texttt{FFT}}
+\newcommand{\dft}{\texttt{DFT}}
+\newcommand{\idft}{\texttt{IDFT}}
 \newcommand{\matlab}{\texttt{Matlab}}
 \newcommand{\lapack}{\texttt{Lapack}}
-\newcommand{\Span}[1]{<(#1)>}
+\newcommand{\Span}[1]{<#1>}
 \newcommand{\Ker}[1]{\mathrm{Ker}(#1)}
 \newcommand{\Exp}[1]{\mathrm{exp}{#1}}

@@ -155,7 +159,7 @@
 \lstset{frameround=trbl}
 \lstset{% general command to set parameter(s)
     basicstyle=\footnotesize,          % print whole listing small
-    keywordstyle=\color{keycolor}\bfseries\ttfamily\underbar,
+    keywordstyle=\color{keycolor}\bfseries\ttfamily,
                                 % underlined bold black keywords
     identifierstyle=,           % nothing happens
     commentstyle=\color{red!80}\ttfamily, % white comments
@@ -268,6 +272,9 @@
 %% Risoluzione dei sistemi lineari
 \include{capitolo4}

+%% Matrici strutturate
+\include{capitolo5}
+
 %% Comincia l'appendice, ovvero dove
 %% esponiamo gli algoritmi visti con Bini
 \part{Esercitazioni}
diff --git a/capitolo4.tex b/capitolo4.tex
index 9d9299d..6a68e56 100644
--- a/capitolo4.tex
+++ b/capitolo4.tex
@@ -191,7 +191,11 @@ Sottolineamo solo alcune problematiche che potrebbero nascere usando questo appr
  fare accontentandosi di approssimazioni dell'inversa piuttosto vaghe, ma poco invasive (come ad esempio una matrice diagonale);
 \end{enumerate}

-\subsection{Le matrici di Toeplitz}
+\section{Matrici strutturate}
+Uno dei punti cardine nell'applicazione dei metodi per la soluzione dei sistemi lineari sarà riuscire a
+sfruttare la struttura delle matrici con cui dovremo operare.
+
+\subsection{Le matrici di Toeplitz} \label{subsec:toeplitz}
 Molte delle matrici con cui avremo a che fare risolvendo sistemi lineari in pratica sono matrici di Toeplitz.
 \begin{de}
  Sia $A$ una matrice $n \times n$; $A$ si dice di \emph{Toeplitz} se le sue diagonali sono costanti, ovvero se per
diff --git a/capitolo5.tex b/capitolo5.tex
new file mode 100644
index 0000000..d5c1945
--- /dev/null
+++ b/capitolo5.tex
@@ -0,0 +1,132 @@
+\chapter{Calcolo degli autovalori di matrici strutturate}
+
+Abbiamo visto nell'analisi dei sistemi lineari vari metodi per utilizzare la struttura
+delle matrici per ottimizzare il procedimento e diminuire il costo computazionale. \\
+Questo in generale è più difficile nel calcolo degli autovalori. L'unica struttura che siamo finora
+riusciti a sfruttare per abbassare il costo è stata la tridiagonalità.
+
+\section{Strutture note}
+In generale si parla di matrice strutturata quando una matrice è individuata da un numero di
+parametri dell'ordine minore di $n^2$. \\
+Ricapitoliamo le strutture principali viste fino ad ora e i relativi vantaggi nella risoluzione
+di sistemi lineari.
+\begin{description}
+ \item[Matrici sparse] Parliamo di matrici sparse quando ci sono pochi elementi non nulli, ovvero un numero
+ con un ordine di grandezza strettamente inferiore a $n^2$. In questo caso riusciamo spesso ad ottimizzare
+ i metodi di moltiplicazione matrice per vettore e quindi possiamo trarre vantaggio dall'applicazione
+ di metodi iterativi;
+
+ \item[Van der Monde] Non abbiamo analizzato in dettaglio\footnote{ad eccezione delle matrici di Fourier per il calcolo
+ della \dft, dove si riesce a scendere ad un costo $O(n\log n)$.} queste matrici ma esiste un metodo (tramite un'opportuna
+ rappresentazione dell'inversa) per risolvere un sistema lineare con un costo $O(n^2)$.
+
+ \item[Toeplitz o H\"ankel] Abbiamo visto queste matrici nella Sezione~\ref{subsec:toeplitz} e tramite la
+ trasformata discreta di Fourier abbiamo mostrato che il costo del prodotto matrice vettore è molto basso.
+ Possiamo quindi ipotizzare di applicare dei metodi iterativi per risolvere il sistema.
+
+ \item[Diagonali con correzione di rango 1] Queste martici sono piuttosto interessanti e sono le prime di
+ cui ci occuperemo. Sono appunto composte dalla somma di una matrice diagonale $D$ con una matrice di rango $1$
+ $u\trasp u$;
+\end{description}
+
+\subsection{Il metodo di Lanczos}
+Introduciamo ora un metodo alternativo a quello di Householder per la tridiagonalizzazione di una
+matrice simmetrica. \\
+Osserviamo che se $A$ è una matrice simmetrica in $\mat{\R}{n}$, allora esiste una matrice $T \in \mat{\R}{n}$
+tridiagonale simmetrica e una matrice unitaria $Q$ tali che
+\[
+ A = QT\trasp Q
+\]
+e quindi anche
+\[
+ AQ = QT
+\]
+Osserviamo ora solo la prima colonna di quest'uguaglianza, ovvero $AQe_1 = Aq_1 = QTe_1$. Se scriviamo
+\[
+ T = \left[ \begin{array}{cccc}
+             \alpha_1 & \beta_1 & & \\
+             \beta_1  & \ddots  & \ddots & \\
+              & \ddots & \ddots & \beta_{n-1} \\
+              & & \beta_{n-1} & \alpha_n \\
+            \end{array} \right]
+\]
+Possiamo riscrivere la relazione come $Aq_1 = \alpha_1 q_1 + \beta_1 q_2$ e, una volta scelto $q_1$ vettore
+di norma $1$,
+si ha che $\trasp q_1 A q_1 = \alpha_1 \trasp q_1 q_1 + \beta_1 \trasp q_1 q_2 = \alpha_1$; possiamo quindi
+calcolare $\alpha_1$ da cui possiamo poi ricavare $\beta_1$ considerando che $\beta q_2 = Aq_1 - \alpha_1 q_1$
+e quindi
+\[
+\beta_1 = ||Aq_1 - \alpha_1 q_1||_2 \qquad \text{e} \qquad q_2 = \frac{Aq_1 - \alpha_1 q_1}{\beta_1}
+\]
+Ripetendo il procedimento con la seconda colonna (ora che conosciamo $q_2$) e poi continuando ancora si ottiene
+la regola generale
+\[
+ \alpha_i = \trasp q_i A q_i \qquad \beta_i = ||Aq_i - \alpha_i q_i||_2 \qquad q_{i+1} = \frac{Aq_i - \alpha_i q_i}{\beta_i}
+\]
+e si può quindi ricostruire tutta la matrice $Q$ e la matrice $T$.
+
+Il costo computazionale dominante nello svolgimento di queste operazioni è dato dai prodotti matrice vettore
+che costano generalmente $O(n^2)$ e portano quindi ad un costo complessivo del metodo di $O(n^3)$ (lo stesso
+costo del metodo di Householder). \\
+Questo metodo non viene però generalemente utilizzato per calcolare la tridiagonalizzazione. Il motivo è che
+non è numericamente stabile, ed in generale la matrice $Q$ ottenuta non è ortogonale.
+
+\begin{os}
+ A questo punto è naturale chiedersi che rapporto esiste fra la matrice calcolata con il metodo di Householder
+ e quella calcolata con il metodo di Lanczos, al variare del primo vettore $q_1$ scelto all'inizio. La risposta
+ che è possibile verificare è che scegliendo $q_1 = e_1$ le matrici differiscono per una matrice di fase.
+\end{os}
+
+Nonostante in generale il metodo non venga usato per la sua poca precisione esiste un particolare caso in cui
+risulta essere utile, ed è precisamente il seguente
+
+\subsection{Il quoziente di Rayleigh}
+Cominciamo con una definizione
+\begin{de}
+ Si dice \emph{quoziente di Rayleigh di $A$ e $x$} e si indica con $\ray{A}{x}$ lo scalare
+ \[
+  \ray{A}{x} = \frac{\trasp x A x}{\trasp xx}
+ \]
+\end{de}
+Si può osservare che il minimo del quoziente di Rayleigh su tutto $\R^n$ corrisponde al modulo dell'autovalore minimo
+e il massimo al modulo dell'autovalore massimo. \\
+Osserviamo poi che preso un generico sottospazio $k$-dimensionale $S \subseteq \R^n$ abbiamo che se
+\[
+ \lambda = \min_{x \in S} \ray{A}{x}
+\]
+allora $\lambda$ è l'autovalore di modulo minimo su un sottospazio di $\R^n$. Se $S$ è sufficientemente grande
+possiamo pensare di usare $\lambda$ come approssimazione di $\lambda_{min}$. \\
+Consideriamo $\{ q_1 , \ldots, q_k \}$ base del sottospazio $S$ e la matrice $Q$ con i vettori $q_i$ come colonne.
+Se prendiamo $x \in S$ allora
+\[
+x = \sum_{i=1}^{k} \alpha_i q_i
+\]
+e quindi se $\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_k)$ si ha $x = Q\alpha$.
+\[
+\frac{\trasp x A x}{\trasp xx} = \frac{\trasp \alpha \trasp Q A Q \alpha}{\trasp \alpha \trasp Q Q \alpha} =
+ \frac{\trasp \alpha \trasp Q A Q \alpha}{\trasp \alpha \alpha}
+\]
+In conclusione è sufficiente minimizzare $\ray{\trasp Q A Q}{x}$ su $\R^k$, ed essendo $\trasp Q A Q$ una matrice
+$k \times k$ questo procedimento può risultare sensibilmente più economico rispetto all'idea originale. \\
+\begin{de}
+ Data una matrice $A$ a coefficienti reali\footnote{definiamo il procedimento sui numeri reali solo per non appesantire
+ la notazione, ma non c'è nessuna restrizione ad usarlo sui complessi.} e $x$ un vettore di $\R^n$.
+ Si dice \emph{sottospazio di Krylov} di $A$ e $v$ di ordine $j$ e si indica con $\kryl{A}{v}{j}$ il sottospazio
+ \[
+  S = \Span{v, Av, \ldots, A^{j-1}v}
+ \]
+\end{de}
+Osserviamo che in generale $\dim{S} \leq j$. \\
+Siamo ora interessati ad utilizzare un sottospazio di Krylov come sottospazio $S$ con cui approssimare il nostro autovalore.
+Per farlo però dobbiamo trovare una base ortonormale di $S$; possiamo procedere calcolando la scomposizione \qr\ della
+matrice dei vettori che generano:
+\[
+ \left[ \begin{array}{c|c|c|c}
+         \multirow{4}{*}{$v$} & \multirow{4}{*}{$Av$} & \multirow{4}{*}{$\ldots$} & \multirow{4}{*}{$A^{j-1}v$} \\
+  & & & \\
+  & & &  \\
+  & & & \\
+        \end{array} \right] = QR
+\]
+Si può mostrare che le prime $j$ colonne di $Q$ sono una base dello spazio $S$. Per farlo è sufficiente osservare
+che essendo $R$ triangolare superiore e $n \times j$ con $j < n$ deve avere le ultime $n - j$ righe nulle.
\ No newline at end of file
diff --git a/title.tex b/title.tex
index ec54d64..2770825 100644
--- a/title.tex
+++ b/title.tex
@@ -36,7 +36,7 @@
   \includegraphics[scale=0.2]{camosci/camoscio_8.png}
  \caption{Una successione di camosci di 300 pixel di lato e di rango rispettivamente $100$, $50$, $25$, $15$ e $8$; le
  immagini sono state ridimensionate per stare nella pagina, e sono state realizzate con un programma
- identico a quello realizzato in laboratorio durante il corso.} \label{fig:camosci}
+ identico a quello realizzato in laboratorio durante il corso.}
 \end{center}
 \end{figure}