Lezione di Gemignani del 20 novembre

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index 47462a6..3f4c06f 100644
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@@ -5,7 +5,7 @@ iterativi specifici per alcune classi di matrici particolarmente interessanti; q
 solitamente sistemi troppo grandi per essere risolti tramite metodi diretti e in cui la convergenza
 dei metodo classici (Jacobi e Gauss Seidel) è quasi assente.

-\section{Il metodo del gradiente coniugato}
+\section{Sitemi lineari con matrici definite positive}

 \subsection{Metodo del gradiente}
 Supponiamo di avere una matrice $A \in \mat{\R}{n}$ definita positiva ed un sistema lineare
@@ -239,4 +239,104 @@ un costo complessivo del metodo del gradiente coniugato di $O(n^2\log(n))$.
 % di matrici, come ad esempio le matrici elementari e le matrici con nugoli di autovalori appiccicati.


+\subsection{Matrici di Toeplitz tridiagonali simmetriche}
+Vorremmo ora mostrare un'analisi di un caso paricolare, ovvero dei sistemi lineari con
+una matrice di Toeplitz simmetrica tridiagonale. \\
+Questo è ad esempio il caso che discretizza il problema differenziale $\triangle u = f$ nel caso di
+$u$ in una variabile reale. Le conclusione che otteremo su questo caso particolare ci permetteranno poi
+di analizzare anche i casi in più variabili.
+
+Supponiamo ora di avere una qualsiasi matrice $T$ tridiagonale simmetrica di Toeplitz di dimensione $n$; chiamiamo $a$ gli
+elementi sulla diagonale e $b$ quelli sulla sotto e sopradiagonale\footnote{in effetti queste due scelte
+individuano completamente la matrice di cui stiamo parlando.}. \\
+Siamo interessati a studiare le proprietà spettrali di questa matrice per poter dare una stima
+del suo condizionamento in norma 2, che come abbiamo visto influenza la convergenza del metodo del
+gradiente coniugato.
+
+Osserviamo ceh se $\lambda$ è un autovalore per $T$ allora la matrice $T - \lambda I$ deve essere singolare
+e in particolare deve esistere una soluzione non banale del sistema lineare
+\[
+ (T - \lambda I)x = 0  \iff  \left[ \begin{array}{ccccc}
+         a - \lambda & b &  & & \\
+         b & a -\lambda & b &  & \\
+         & \ddots & \ddots & \ddots & \\
+         & & b & a - \lambda & b \\
+         & & & b & a
+        \end{array} \right]
+ \left[ \begin{array}{c}
+         x_1 \\
+         x_2 \\
+         \vdots \\
+         x_{n-1} \\
+         x_n
+        \end{array} \right] =
+\left[ \begin{array}{c}
+        0 \\
+        0 \\
+        \vdots \\
+        0 \\
+        0
+       \end{array} \right]
+\]
+Preso un qualsiasi $j$ compreso fra $2$ e $n-1$ possiamo scrivere la relazione sopra come
+\[
+ bx_{j-1} + (a- \lambda)x_j + bx_{j+1} = 0
+\]
+Ponendo $x_0 = x_{n+1} = 0$ la relazione vale anche per $j = 1$ e $j=n$. Apparentemente non abbiamo
+chiarito molto e trovare una soluzione esplicita sembra complicato. Possiamo però provare a porre
+$x_j = x^{j}$, e vedere se riusciamo a trovare una soluzione particolare di questo tipo. Sostituendo
+nelle relazioni sopra (per $j$ fra $2$ e $n-1$) si ottiene
+\[
+ bx^{j-1} + (a- \lambda)x^j + bx^{j+1} = 0
+\]
+e ricordando che l'autovettore non può essere nullo e quindi $x^j \neq 0$ per ogni $j$, questa è soddisfatta
+se e solo se
+\[
+ b + (a-\lambda)x + bx^2 = 0 \iff 1 + \frac{a - \lambda}{b} + x^2 = 0
+\]
+Passiamo ora ad analizzare il caso che ci interessa, ovvero $a = 2$ e $b = 1$\footnote{ovvero la matrice che discretizza
+il problema differenziale di Laplace.}; per il terzo teorema di Gerschgorin sappiamo che $|\lambda - 2| < 2$ e
+quindi
+\[
+ \left| \frac{a - \lambda}{b} \right|< 2
+\]
+Possiamo allora porre $\frac{a - \lambda}{b} = -2 \cos\theta$ per $\theta \in (0,\pi)$ e otteniamo l'equazione
+\[
+ 1 - 2x\cdot\cos \theta + x^2 = 0
+\]
+Risolvendola otteniamo
+\[
+  x_{1,2} = \cos \theta \pm \sqrt{\cos^2\theta - 1} = \cos \theta \pm i \cdot \sin \theta = e^{\pm i \theta}
+\]
+Abbiamo quindi ottenuto due soluzioni che andrebbe bene per tutte le $j = 2, \ldots, n-1$ ma nessuna delle due
+soddisfa le condizione per $j = 0$ e $j = n$. Osserviamo però che una qualsiasi combinazione lineare
+$\alpha x_1 + \beta x_2$ soddisfa le condizione interne, e cerchiamo quindi di determinare $\alpha$ e $\beta$
+in modo che anche le condizioni al contorno siano soddisfatte. Si ottiene
+\[
+ x_0 = 0 = \alpha + \beta
+\]
+e quindi $\beta = -\alpha$; ponendo poi $j = n+1$ si ottiene
+\[
+ x_{n+1} = 0 = \alpha e^{i\cdot(n+1) \theta} - \alpha e^{-i \cdot (n+1) \theta} = \alpha( 2 i \sin ((n+1)\theta) )
+\]
+e quindi $\theta_k = \frac{k\pi}{n+1}$ con $k = 1, \ldots, n$. Abbiamo trovato quindi $n$ autovettori distinti
+e siamo in grado di calcolare i relativi autovalori ricordando che
+\[
+ \frac{a - \lambda_k}{b} = -2 \cos \theta_k = -2 \cos (\frac{k\pi}{n+1}) \Rightarrow \lambda_k = a + 2b\cos \theta_k
+\]
+Se costruiamo la matrice degli autovettori
+\[
+ U = \left[ \begin{array}{c|c|c|c}
+             \multirow{3}{*}{$x_1$} & \multirow{3}{*}{$x_2$} & \multirow{3}{*}{$\ldots$} & \multirow{3}{*}{$x_n$} \\
+             & & & \\
+             & & &
+            \end{array} \right]
+\]
+possiamo osservare che $\trasp UU = D$ con $D = \gamma I$. Abbiamo quindi che $U$ è quasi unitaria, in particolare
+$\frac{1}{\gamma} U$ lo è. Inoltre possiamo osservare che gli elementi di $U$ non dipendono da $a$ e da $b$ e che
+$u_{ij} = sin(\frac{ij\pi}{n+1}}) = u_{ji}$ e quindi $U$ è simmetrica. In altre parole abbiamo una decomposizione
+spettrale $T = UDU$ dove tutta l'informazione sulla matrice è contenuta nella parte diagonale.
+
+Osserviamo infine che $D = \diag{a + 2b\cos(\theta_1) , \ldots, a + 2b \cos(\theta_n)}$ e quindi l'autovalore più
+piccolo è $a + 2b\cos(\theta_1)$.