Corretti indici nella dimostrazione del metodo QR per gli

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@@ -122,19 +122,19 @@ $A = XDX^{-1}$. Supponiamo ora che $X^{-1}$ ammetta fattorizzazione $ X^{-1} = L
 che $L$ sia triangolare inferiore con gli elementi delle diagonale uguali a $1$ e $U$ triangolare superiore}.
 \begin{pr} \label{pr:metpot:ak}
  Se si ha la successione di matrici $A_k$ come quella definita sopra, e per ogni $k$ si considera $Q_k R_k$
- la\footnote{al solito, sarebbe corretto dire \textbf{una} fattorizzazione} fattorizzazione QR di $A_k$, allora
+ la\footnote{al solito, sarebbe corretto dire \textbf{una} fattorizzazione.} fattorizzazione QR di $A_k$, allora
  \[
-  A^k = Q_0 Q_1 \ldots Q_k R_k \ldots R_1 R_0
+  A^k = Q_0 Q_1 \ldots Q_{k-1} R_{k-1} \ldots R_1 R_0
  \]
 \end{pr}
 \begin{proof}
- Proviamo la tesi per induzione su $k$. Se $k = 0$ si ha $A_0 = A = Q_0 R_0$ che è banalmente vero. Se considero
+ Proviamo la tesi per induzione su $k$. Se $k = 1$ si ha $A^1 = A = Q_0 R_0$ che è banalmente vero. Se considero
  la tesi vera per $k$. Considerando le seguenti uguaglianze
  \[ \begin{array}{ll}
   \displaystyle
   A^{k+1} = \prod_{i=1}^{k+1} Q_0 R_0 = Q_0 (\prod_{i=1}^{k} R_0 Q_0) R_0 = Q_0 (\prod_{i=1}^{k} A_1) R_0 = \\
   \displaystyle
-  = Q_0 (\prod_{i=1}^{k} Q_1 R_1) R_0 = Q_0 \prod_{i=1}^{k} Q_i \prod_{i=1}^{k} R_{k-i+1} R_0
+  = Q_0 (\prod_{i=1}^{k-1} Q_1 R_1) R_0 = Q_0 \prod_{i=1}^{k} Q_i \prod_{i=1}^{k} R_{k-i+1} R_0
  \end{array}
  \]
  si ottiene esattamente la tesi. Per quanto oscure possano sembrare provare a fare il calcolo con $k = 3$ o $4$
@@ -174,8 +174,8 @@ Due fattorizzazioni QR della stessa matrice devono forzatamente differire per un
 si ottengono le due relazioni
 \[
  \left\{ \begin{array}{l}
-          Q_0 \ldots Q_k = Q P_k S_k \\
-	  R_{k} \ldots R_0 = \herm{S_k}T_k R D^k U
+          Q_0 \ldots Q_{k-1} = Q P_k S_k \\
+	  R_{k-1} \ldots R_0 = \herm{S_k}T_k R D^k U
          \end{array} \right.
 \]
 Possiamo riscrivere ora $Q_k$ ed $R_k$ in modo da riuscire ad utilizzare queste relazioni\footnote{Si può
@@ -183,14 +183,14 @@ osservare quanto i passaggi di questa dimostrazione siano la cosa meno intuitiva
 questa è risultato di anni di affinamento e di ``pulizia'' }
 \[
  \left\{ \begin{array}{l}
-         Q_k = \herm{(Q_0 \ldots Q_{k-1})}(Q_0 \ldots Q_k) = \herm{S_{k-1}}\herm{P_{k-1}}\herm{Q}Q P_k S_k =
-         \herm{S_{k-1}}\herm{P_{k-1}}P_k S_k\\
-         R_k = (R_k \ldots R_0)(R_{k-1} \ldots R_0)^{-1} = \herm{S_k}T_k R D^{k} U U^{-1} D^{-k+1} R^{-1} T_{k-1}^{-1} S_{k-1}
+         Q_k = \herm{(Q_0 \ldots Q_{k-1})}(Q_0 \ldots Q_k) = \herm{S_{k}}\herm{P_{k}}\herm{Q}Q P_{k+1} S_{k+1} =
+         \herm{S_{k}}\herm{P_{k}}P_{k+1} S_{k+1}\\
+         R_k = (R_k \ldots R_0)(R_{k-1} \ldots R_0)^{-1} = \herm{S_{k+1}}T_{k+1} R D^{k+1} U U^{-1} D^{-k} R^{-1} T_{k}^{-1} S_{k}
         \end{array} \right.
 \]
-Dunque $Q_k R_k = A^{k} = \herm{S_{k-1}}\herm{P_{k-1}}P_k T_k R D R^{-1} T_{k-1}^{-1} S_{k-1}$ e ricordando che
+Dunque $Q_k R_k = A_k = \herm{S_{k}}\herm{P_{k}}P_{k+1} T_{k+1} R D R^{-1} T_{k}^{-1} S_{k}$ e ricordando che
 $T_k$ e $P_k$ al limite vanno all'identità se scriviamo la nostra uguaglianza per $k~\to~\infty$ otteniamo
-$S_{k-1} A^k \herm{S_{k-1}} = R D R^{-1}$. Possiamo quindi osservare che gli elementi sulla diagonale di $RDR^{-1}$
+$S_{k} A_k \herm{S_{k}} = R D R^{-1}$. Possiamo quindi osservare che gli elementi sulla diagonale di $RDR^{-1}$
 sono gli stessi di $D$ (grazie al fatto che $R$ è triangolare superiore). In particolare gli elementi diagonali
 sono gli autovalori di $A$ e quindi abbiamo provato che il metodo converge.
 \begin{os}