Prime note sul problema generalizzato agli autovalori.

diff --git a/CalcoloScientifico.tex b/CalcoloScientifico.tex
index 7a19397..c677f07 100644
--- a/CalcoloScientifico.tex
+++ b/CalcoloScientifico.tex
@@ -275,6 +275,9 @@
 %% Matrici strutturate
 \include{capitolo5}

+%% Problema generalizzato agli autovalori, qualche nota
+\include{capitolo6}
+
 %% Comincia l'appendice, ovvero dove
 %% esponiamo gli algoritmi visti con Bini
 \part{Esercitazioni}
diff --git a/capitolo2.tex b/capitolo2.tex
index dd628a1..7e88f99 100644
--- a/capitolo2.tex
+++ b/capitolo2.tex
@@ -107,7 +107,7 @@ la successione definita nel seguente modo
  A_{k+1} & = R_k Q_k \quad \text{dove} \ Q_k R_k \ \text{è la fattorizzazione QR di} \ A_k
 \end{array} \right.
 \]
-\begin{os}
+\begin{os} \label{os:qr_simili_ak}
  Osserviamo che per ogni $k$ $A_{k+1}$ è simile ad $A_k$. Infatti $A_{k+1} = \herm{Q_k}Q_k R_k Q_k$.
  Per ogni $k$ la matrice $A_k$ è simile a $A_{k+1}$ tramite trasformazione unitaria, che preserva
  il condizionamento del problema di calcolo degli autovalori. Questa quindi è una ``buona'' successione
@@ -199,7 +199,7 @@ sono gli autovalori di $A$ e quindi abbiamo provato che il metodo converge.
  moltiplicati per un numero complesso e per il suo coniugato, lasciandoli invariati.
 \end{os}

-\subsection{Il costo computazionale}
+\subsection{Il costo computazionale} \label{subsec:qr_costo}
 Vorremmo ora valutare il costo computazionale di questo metodo. Consideriamo dapprima il caso di una matrice
 generale. Sappiamo che il costo di una fattorizzazione $QR$ è $O(n^3)$ e sperimentalmente si ottiene che il
 numero di passi per avere convergenza cresce linearmente con la dimensione. Questo ci permette di concludere
diff --git a/capitolo5.tex b/capitolo5.tex
index d5c1945..2f3a9ec 100644
--- a/capitolo5.tex
+++ b/capitolo5.tex
@@ -29,7 +29,8 @@ di sistemi lineari.
  $u\trasp u$;
 \end{description}

-\subsection{Il metodo di Lanczos}
+\section{Il metodo di Lanczos}
+\subsection{Un'alternativa al metodo di Householder}
 Introduciamo ora un metodo alternativo a quello di Householder per la tridiagonalizzazione di una
 matrice simmetrica. \\
 Osserviamo che se $A$ è una matrice simmetrica in $\mat{\R}{n}$, allora esiste una matrice $T \in \mat{\R}{n}$
@@ -129,4 +130,138 @@ matrice dei vettori che generano:
         \end{array} \right] = QR
 \]
 Si può mostrare che le prime $j$ colonne di $Q$ sono una base dello spazio $S$. Per farlo è sufficiente osservare
-che essendo $R$ triangolare superiore e $n \times j$ con $j < n$ deve avere le ultime $n - j$ righe nulle.
\ No newline at end of file
+che essendo $R$ triangolare superiore e $n \times j$ con $j < n$ deve avere le ultime $n - j$ righe nulle. \\
+Calcolando ora $\trasp Q A Q = (b_{ij})$ si ottiene un matrice $k\times k$ simmetrica. Osserviamo in particolare
+che se $i < j+1$ allora $b_{ij} = \trasp q_i A q_j$ e $Aq_j \in \Span{v, Av, \ldots , A^{j-1}v}$ per costruzione.
+In particolare $Aq_j$ è ortogonale a $q_i$ e quindi $b_{ij} = 0$. La simmetria della matrice ci permette
+di concludere che $B$ è tridiagonale, e si può verificare che è la matrice $k\times k$ generata dal metodo
+di Lanczos dopo $k-1$ iterazioni. \\
+A questo punto si può supporre di avere una buona approssimazione dell'autovalore di modulo massimo (anche se
+non c'è nessuna garanzia di averla davvero). Questa è di fatto l'unica applicazione del metodo di Lanczos,
+data la sua instabilità numerica.
+
+\section{Matrici con struttura di rango}\label{sec:struttura_di_rango}
+\subsection{Qualche esperimento con il metodo \qr}
+Abbiamo spesso incontrato durante il corso matrici diagonali con correzioni di rango 1,
+ovvero della forma $D + u\trasp u$. Queste
+sono molto interessanti perché si ritrovano in molti problemi computazionali e perché sono inverse
+di matrici tridiagonali. \\
+Ci domandiamo ora se esiste un metodo efficiente per applicare il Metodo~\qr\ a queste matrici.
+Sappiamo di poterle tridiagonalizzare con matrici di Householder con un costo computazionale $O(n^2)$, ma
+vogliamo provare ad applicare il \qr\ alla matrice piena senza dover necessariamente passare
+per il procedimento di tridiagonalizzazione\footnote{Abbiamo fatto notare nella Sezione~\ref{subsec:qr_costo} che
+in generale non è conveniente applicare il metodo ad una matrice piena; cercheremo però di trovare
+qualche via più breve per questa particolare classe di matrici.}. \\
+Possiamo osservare sperimentalmente che facendo qualche passo del metodo \qr\ (anche utilizzando lo shift)
+la struttura non viene completamente persa.
+
+Indichiamo con $\alpha_k$ il rango massimo delle sottomatrici quadrate strettamente contenute nella parte
+inferiore della matrice della $k$-esima iterazione del \qr, e con $\beta_k$, analogamente, il rango massimo
+di quelle superiori.
+
+\textbf{Esperimento 1}: Supponiamo di scegliere una matrice qualsiasi (complessa) e di applicare
+il metodo. Osserveremo che $\alpha_0 = \alpha_1 = \ldots = \alpha_k = 1$
+mentre $\beta_k$ cresce.
+
+\textbf{Esperimento 2}: Supponiamo ora di restringere la scelta ad una matrice con $D$ reale, ovvero
+$A = D + u\trasp u$ dove $D = \diag{\gamma_1, \ldots, \gamma_n}$ e i $\gamma_i$ sono tutti reali. Allora
+otterremo sperimentalmente $\alpha_i = 1$ e $\beta_i = 3$ per ogni $i \geq 2$.
+
+\textbf{Esperimento 3}: Analogamente a prima scegliamo $D$ complessa ma con elementi di modulo $1$\footnote{ovvero
+quella che abbiamo chiamato \emph{matrice di fase}.}. Otterremo ancora una volta $\alpha_i = 1$ e $\beta_i = 3 \:
+\forall i \geq 2$.
+
+Come mai i $\beta_k$ in questi ultimi due casi non crescono più di $3$? Cerchiamo di rispondere analizzando separatamente
+i vari casi.
+
+\subsection{Conservazione del rango nella parte triangolare inferiore}
+Ricordiamo dall'Osservazione~\ref{os:qr_simili_ak} che le matrici $A_k$ generate dal metodo \qr\ sono
+simili per trasformazione ortogonale. Se assumiamo che $R_k$ sia invertibile possiamo anche mostrare
+qualcosa di più
+\[
+ A_{k+1} = R_k Q_k + \alpha_k I = R_k Q_k R_k R_k^{-1} + \alpha_k R_k R_k^{-1} = R_k A_k R_k^{-1}
+\]
+e quindi $A_{k+1}$ è simile ad $A_k$ tramite una trasformazione con una matrice triangolare superiore
+$R_k$. Questo ci assicura che nella parte inferiore della matrice $A_{k+1}$ il rango venga conservato
+(nel senso degli $\alpha_k = 1$).
+
+%% TODO: Spiegare perché il rango si conserva, da fare quando anche io lo avrò capito.
+
+\subsection{Limitazione del rango nella parte triangolare superiore}
+Ci occuperemo ora di spiegare perché il rango di tutte le sottomatrici strettamente contenute nella
+parte triangolare superiore è limitato superiormente da $3$, sia nel caso in cui $D$ sia una matrice
+reale, sia in quello in cui sia una matrice di fase. Consideriamo il primo e osserviamo cosa succede
+al primo passo del metodo. Poniamo $A_0 = D + u\trasp v$; si ha che:
+\[
+ A_1 = \herm{Q_1} A_0 Q_1 = \herm{Q_1}(D+ u\trasp v)Q_1 = \herm{Q_1} DQ_1 + u_1\trasp{v_1}
+\]
+Ricordando che $D$ è reale si può concludere che $\herm{Q_1}DQ_1$ è hermitiana e diagonale;
+possiamo quindi scrivere il $k$-esimo passo del metodo in questo modo
+\[
+ A_{k+1} = H_{k+1} + u_{k+1}\trasp v_{k+1}
+\]
+dove $H_{k+1}$ è una matrice hermitiana. In particolare si ha $H_{k+1} = A_{k+1} - u_{k+1}\trasp v_{k+1}$.
+Da quanto visto prima sappiamo che il rango nella parte inferiore di $H_{k}$ non può superare $2$.
+Ricordando che $H_k$ è hermitiana si può concludere che il rango è al massimo $2$ nella parte superiore.
+Osservando nuovamente che $A_k = H_k + u_k\trasp v_k$ si ottiene che il rango di $A_k$ nella parte superiore
+non può superare $3$ e si ha quindi la tesi.
+
+La stessa cosa si può mostrare che quando la matrice diagonale $D$ è una matrice di fase. Ci sono due
+procedure possibile per effettuare la dimostrazione; una è scrivere $D = QR$ ed osservare che data
+l'hermitianità di $D$ si ottiene che $R$ deve forzatamente essere una matrice di fase. Questa via
+richiede però tediosi passaggi molto contosi che quindi non svolgeremo. Un'alternativa più elegante
+è utilizzare il \emph{Nullity theorem}, dimostrato attorno al 1960. Questo però non fa parte del
+programma del corso e quindi non seguiremo neanche questa via.
+
+\subsection{Metodo \qr\ per il calcolo delle radici dei polinomi}
+Il motivo principale (e storicamente il primo) per cui ci si è interessati a queste matrici
+è stato la ricerca delle radici dei polinomi tramite l'uso delle matrici Companion. \\
+Le matrici Companion hanno una struttura come la seguente:
+\[
+F = \left[ \begin{array}{cccc}
+            0 & \cdots & \cdots & \times \\
+            1 & \ddots & & \vdots \\
+	       &\ddots & 0 & \times \\
+              & & 1 & \times
+           \end{array} \right]
+\]
+La matrice $F$ si può scrivere come una matrice unitaria più una correzione di rango $1$ nel seguente modo
+\[
+F = Q + u\trasp e_n = \left[ \begin{array}{cccc}
+                              0 & & & 1 \\
+                              1 & \ddots & & \\
+                               & \ddots & \ddots & \\
+                               & & 1 & 0 \\
+                             \end{array} \right]
++ \left[ \begin{array}{cccc}
+                               \: &\:  &\:  & v_1 \\
+                               &  & & \vdots \\
+                               &  &  & \vdots \\
+                               & &  &  v_n \\
+                             \end{array} \right]
+\]
+e quindi sarebbe conveniente poter applicare delle ottimizzazioni al \qr\ sfruttando le osservazioni fatte
+sul rango delle matrici contenute nella parte inferiore e superiore della matrice che viene iterata.
+
+Supponendo di voler determinare le radici del polinomio $p(x) = p_0 + p_1x + \ldots + p_nx^n$ si ottiene
+la matrice
+\[
+F = \left[ \begin{array}{cccc}
+            0 & \cdots & \cdots & \frac{-p_0}{p_n}\\
+            1 & \ddots & & \vdots \\
+	       &\ddots & 0 & \vdots \\
+              & & 1 & \frac{p_{n-1}}{p_n}
+           \end{array} \right]
+\]
+In generale, affrontando il problema della ricerca degli autovalori, usiamo il teorema di Bauer-Fike (Teorema~\ref{te:BauerFike})
+per assicurarci di ottenere il risultato con una buona approssimazione. Questo però non è sempre sufficiente
+se $p_n$ è piccolo, perché la norma della matrice può crescere arbitrariamente. Come affrontare questo problema?
+
+Una soluzione può essere evitare di ricondursi ad un problema agli autovalori analizzando il seguente \emph{problema
+generalizzato agli autovalori}\footnote{In generale si dice \emph{problema generalizzato agli autovalori} un problema
+del tipo $\deter{A - \lambda B} = 0$. Se $B$ è invertibile questo può sempre essere ricondotto a trovare gli
+autovalori di $B^{-1}A$, ma non sempre è conveniente. }:
+\[
+ \deter{F - \lambda I} = 0 \iff \deter{p_n F - \lambda( I + p_n e_n\trasp e_n)} = 0
+\]
+Parleremo dei possibili metodi per analizzare questo problema nel Capitolo~\ref{cap:autovalori_generalizzato}.
\ No newline at end of file
diff --git a/capitolo6.tex b/capitolo6.tex
new file mode 100644
index 0000000..fa796d7
--- /dev/null
+++ b/capitolo6.tex
@@ -0,0 +1,32 @@
+\chapter{Problema generalizzato agli autovalori} \label{cap:autovalori_generalizzato}
+Vorremmo in questo capitolo analizzare\footnote{in realtà ci accontenteremo di dare uno sguardo
+al problema, perché non avremo tempo per approfondirlo veramente.} il problema generalizzato
+agli autovalori. In altre parole, date due matrici $A$ e $B$ vogliamo trovare i possibili
+$\lambda$ tali che
+\[
+ \deter{ A - \lambda B} = 0
+\]
+
+\section{Il caso delle matrici Companion}
+Ispirati dal problema visto alla fine della Sezione~\ref{sec:struttura_di_rango} analizziamo
+il problema nel caso con $A$ in forma di Hessenberg e $B$ triangolare superiore. \\
+Per cercare di non peggiorare il condizionamento del problema sarebbe preferibile lavorare
+unicamente con trasformazioni unitarie. Cerchiamo di generare una sequenza di matrici
+$A_k$ e $B_k$ tali che
+\[
+ \deter{A - \lambda B} = 0 \iff \deter{A_k - \lambda B_k} = 0 \quad \forall k \in \N
+\]
+Nel nostro caso vogliamo anche mantenere le proprietà di struttura della matrice, ovvero
+vorremmo che $A_k$ sia sempre in forma di Hessenberg e che $B_k$ sia sempre in forma
+triangolare superiore. Cerchiamo delle matrici unitarie $U_k$ e $Q_k$ in modo da definire
+la seguente successione
+\[
+ \left\{\begin{array}{lcl}
+         A_{k+1} &=& U_kA_kQ_k \\
+         B_{k+1} &=& U_kB_kQ_k
+        \end{array} \right.
+\]
+e scegliendo opportunamente le matrici in modo che $A_k$ e $B_k$ siano rispettivamente
+Hessenberg e triangolare superiore. \\
+Se queste condizioni sono soddisfatte allora $A_k - \lambda B_k$ è singolare solo se
+$a_{jj}^{(k)} - \lambda b_{jj}^{(k)} = 0$ per qualche $j$, ovvero solo se $\lambda = \frac{a_{jj}^{(k)}}{b_{jj}^{(k)}}$