diff --git a/CalcoloScientifico.tex b/CalcoloScientifico.tex
index 852f813..47c63cc 100644
--- a/CalcoloScientifico.tex
+++ b/CalcoloScientifico.tex
@@ -36,7 +36,7 @@
%% Ci piace, a causa del carattere usato (pxfonts)
%% avere un'interlinea piuttosto abbondante
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-\linespread{1.2}
+\linespread{1.1}
%%
%% Qui di seguito si trovano le definizioni
diff --git a/capitoli/capitolo1.tex b/capitoli/capitolo1.tex
index 97fe52c..eebeca5 100644
--- a/capitoli/capitolo1.tex
+++ b/capitoli/capitolo1.tex
@@ -4,7 +4,7 @@ calcolare agevolmente gli autovalori di una matrice. Descriveremo dei metodi eff
per valutare in un punto il polinomio caratteristico, che potranno essere usati
nei capitolo seguenti per implementare gli algoritmi di calcolo effettivo. \\
Premetteremo a questo una breve esposizione degli utilizzi pratici più comuni dei
-metodi che verranno in seguito esposti.
+metodi che verranno esposti.
\section{Esempi pratici di utilizzo}
Prima di cominciare ad analizzare in dettaglio l'argomento presentiamo due applicazioni pratiche
@@ -42,7 +42,7 @@ quando a piccole variazioni dei dati iniziali corrispondono piccole variazioni d
\subsection{Equazioni differenziali}
Un altro caso in cui il calcolo di autovalori ci permetterà di risolvere un problema comune sarà quello delle
-equazioni differenziali. Non abbiamo ancora gli strumenti per approfondire questo argomento, ma possiamo anticipare
+equazioni differenziali. Non abbiamo ancora gli strumenti per approfondire questo argomento ma possiamo anticipare
che i metodi per il calcolo di autovalori ci permetteranno sia di arrivare alla soluzione (in qualche caso) che
di stimare l'effetto di una perturbazione dei dati iniziali (in altri casi).
@@ -55,7 +55,7 @@ I suoi autovalori sono tutti $0$ ed hanno moleplicità algebrica $n$ e molteplic
capisce facilmente notando che la matrice $F$ è in forma di Jordan}. \\
Se noi perturbiamo la matrice sottraendole la matrice $\eps e_1 \trasp{e_n}$ otteniamo la matrice di Frobenius
associata al polinoio $z^n + \eps$. Da quanto abbiamo osservato nella Sezione~\ref{subsec:esempi:eqalgebriche} sappiamo che
-gli autovalori di quest'ultima sono le radici $n$-esime dell'unità moltiplicate per $||\eps||^{\frac{1}{n}}$;
+gli autovalori di quest'ultima sono le radici $n$-esime dell'unità moltiplicate per $\|\eps\|^{\frac{1}{n}}$;
possiamo osservare che al crescere di $n$ anche se $\eps$ è piccolo questo numero può diventare piuttosto grande, e
portare quindi ad errori non trascurabili.
\subsection{Il caso di una matrice diagonalizzabile}
@@ -65,7 +65,7 @@ per cui dimostreremo un risultato detto
Se $A \in \mat{\R}{n}$ è una matrice diagonalizzabile tramite il cambio di base $V^{-1}$ ed $\eta$ è
un autovalore della matrice perturbata $A + \delta A$ allora esiste un autovalore $\lambda$ di $A$ tale che
\[
- ||\lambda - \eta|| \leq ||\delta A || \cdot \cond{V}
+ \|\lambda - \eta\| \leq \|\delta A \| \cdot \cond{V}
\]
\end{te}
\begin{proof}
@@ -88,38 +88,38 @@ Possiamo distinguere due casi:
y = -(A - \eta I)^{-1}( \delta A y )
\]
Consideriamo dunque una norma matriciale indotta tale che data una matrice $D$ diagonale si abbia
- $||D|| = \max_{i = 1 \ldots n}\{|d_{ii}|\}$\footnote{la norma $1$, $2$ e $\infty$ soddisfano questo
+ $\|D\| = \max_{i = 1 \ldots n}\{|d_{ii}|\}$\footnote{la norma $1$, $2$ e $\infty$ soddisfano questo
requisito, ad esempio; questo tipo di norma è detta \emph{assoluta}.} ed effettuiamo le seguenti maggiorazioni
\[
- ||y|| \leq ||(A -\eta I)^{-1}|| \cdot || \delta A || \cdot ||y||
+ \|y\| \leq \|(A -\eta I)^{-1}\| \cdot \| \delta A \| \cdot \|y\|
\]
che si verifica solo se (ricordando che essendo $y$ un autovettore
- $y \neq 0$ e quindi $||y|| \neq 0$)
+ $y \neq 0$ e quindi $\|y\| \neq 0$)
\[
- 1 \leq ||V|| \cdot ||( D -\eta I)^{-1}|| \cdot ||V^{-1}|| \cdot || \delta A ||
- \leq \frac{\cond{V} \cdot ||\delta A ||}{\min_{i = 1 \ldots n}\{ \lambda_i - \eta\}}
+ 1 \leq \|V\| \cdot \|( D -\eta I)^{-1}\| \cdot \|V^{-1}\| \cdot \| \delta A \|
+ \leq \frac{\cond{V} \cdot \|\delta A \|}{\min_{i = 1 \ldots n}\{ \lambda_i - \eta\}}
\]
da cui si ottiene che esiste un $j \in 1 \ldots n$ tale che
\[
- ||\lambda_j - \eta|| \leq ||\delta A || \cdot \cond{V}
+ \|\lambda_j - \eta\| \leq \|\delta A \| \cdot \cond{V}
\]
\end{description}
\`E evidente quindi che in entrambi i casi è valida la diseguaglianza della tesi (nel primo caso si ha addirittura
- che $||\lambda - \eta|| = 0$), e quindi il teorema è provato.
+ che $\|\lambda - \eta\| = 0$), e quindi il teorema è provato.
\end{proof}
\begin{os}
- Dobbiamo fare attenzione al fatto che questa maggiorazione ottenuta dal precedente teorema è in valore
- assoluto, e quindi non ci dice nulla sull'errore relativo. Saremo certi di ottenere un buon
+ Dobbiamo fare attenzione al fatto che questa maggiorazione ottenuta dal precedente teorema è in \emph{valore
+ assoluto}, e quindi non ci dice nulla sull'errore relativo. Saremo certi di ottenere un buon
condizionamento solo nel caso in cui gli autovalori trovati non siano troppo ``piccoli''.
\end{os}
Data questa maggiorazione dell'errore ci possiamo chiedere come fare a minimizzare l'unico fattore
su cui possiamo avere un ``controllo'', ovvero $\cond{V}$. Dalle proprietà delle norme matriciali
-indotte sappiamo che $\forall V \ \cond{V} \geq 1$. \\
-Inoltre possiamo osservare che se $V$ è una matrice unitaria allora $\cond{V}$ vale esattamente $1$. \\
+indotte sappiamo che $\forall V \ \cond{V} \geq 1$, e
+possiamo osservare che se $V$ è una matrice unitaria allora $\cond{V}$ vale esattamente $1$. \\
Sembra quindi opportuno, quando possibile, cercare di rendere diagonale la matrice $A$ tramite un cambio
-di base unitario. Quando è possibile farlo? \\
+di base unitario. \\
Grazie alla forma normale di Schur possiamo dare una caratterizzazione completa delle matrici per cui questo
è possibile. Si può infatti provare che data $A \in \mat{\C}{n}$ questa è diagonalizzabile mediante
matrici unitarie se e solo se $A$ è normale, ovvero $A\herm{A} = \herm{A}A$.
@@ -135,7 +135,8 @@ matrici unitarie se e solo se $A$ è normale, ovvero $A\herm{A} = \herm{A}A$.
\end{description}
Nel caso della ricerca degli autovalori la prima classe di metodi non può essere applicata, in quanto
il problema è equivalente a trovare le radici del polinomio caratteristico, problema che \emph{non può
-essere risolto tramite una formula}.
+essere risolto tramite una formula}\footnote{A parte il caso in cui la matrice ha ordine $n$ con $n \leq 4$,
+che però non è un caso interessante per l'algebra lineare numerica.}.
\end{os}
Siamo quindi consci che la nostra unica opportunità per arrivare alla soluzione sarà eseguire una
@@ -152,10 +153,10 @@ Consideriamo ad esempio il caso di un autovalore con molteplicità algebrica e g
\begin{pr}
Data una matrice $A \in \mat{\C}{n}$, una matrice di perturbazione $\eps F$, un autovalore
- $\lambda \in \spe{A}$ ed $\eta$ un autovalore della matrice perturbata $A + \eps F$ si ha che,
+ $\lambda \in \spe{A}$ e $\eta$ un autovalore della matrice perturbata $A + \eps F$ si ha che,
dati $y, w$ autovettori destro e sinistro di modulo $1$ relativi a $\lambda$
\[
- ||\eta - \lambda|| \leq \frac{1}{\herm{w}y} \cdot ||\eps F||
+ \|\eta - \lambda\| \leq \frac{1}{\herm{w}y} \cdot \|\eps F\|
\]
\end{pr}
\begin{proof}
@@ -182,10 +183,10 @@ $\lambda$ e quindi, moltiplicando tutto per $u$
\herm{u}Aw + Fy & = \lambda \herm{u} w + \xi \herm{w} y \\
Fy & = \xi \herm{u} y
\end{align*}
-Ricordando infine che, a meno di termini di ordine maggiore di $1$, $||\eps \xi|| = ||\lambda - \eta||$ e
-che $||u|| = ||y|| = 1$ si ottiene
+Ricordando infine che, a meno di termini di ordine maggiore di $1$, $\|\eps \xi\| = \|\lambda - \eta\|$ e
+che $\|u\| = \|y\| = 1$ si ottiene
\[
- ||\lambda - \eta|| = ||\eps \xi|| \leq || \eps F|| \cdot \frac{1}{\herm{u}y}
+ \|\lambda - \eta\| = \|\eps \xi\| \leq \| \eps F\| \cdot \frac{1}{\herm{u}y}
\]
che è la tesi.
\end{proof}
@@ -193,7 +194,8 @@ che è la tesi.
%% 1 ottobre 2009
\section{Operazioni preliminari}
In questa sezione vorremmo introdurre delle operazioni preliminari da compiere prima di applicare
-un qualsiasi metodo per il calcolo effettivo degli autovalori. \\
+un qualsiasi metodo per il calcolo effettivo degli autovalori. Vedremo in seguito come non convenga,
+generalmente, applicare i metodi per il calcolo degli autovalori a matrici generali. \\
\subsection{Matrici di Householder}
I metodi che solitamente vengono usati accettano infatti in input solo matrici particolari, più
precisamente
@@ -236,17 +238,17 @@ tale che
QA\herm{Q} = T \qquad \textrm{oppure} \qquad QA\herm{Q} = H
\]
Si osserva subito che sia $Q$ che $T$ sono unitarie e quindi una condizione necessaria per il verificarsi
-della prima eventualità è che anche $A$ sia hermitiana\footnote{in quanto la stiamo trasformando per congruenza,
+della prima equazione è che anche $A$ sia hermitiana\footnote{in quanto la stiamo trasformando per congruenza,
che conserva l'hermitianità}
\begin{de}[Matrici di Householder]
Una matrice $P$ si dice \emph{matrice elementare di Householder} se esistono $\sigma \in \R \setminus \{0\}$
- e $u \in \R^n$ tali che $P = I - \sigma u \herm{u}$ e $\sigma = \frac{2}{||u||_2}$.
+ e $u \in \R^n$ tali che $P = I - \sigma u \herm{u}$ e $\sigma = \frac{2}{\|u\|_2}$.
\end{de}
Sia $P$ una matrice di Householder. Allora valgono le seguenti:
\begin{description}
- \item[$P$ è Hermitiana] Se abbiamo $P = I -\sigma u \herm{u}$ allora $p_{ij} = u_i\con{u_j}$, e quindi
+ \item[$P$ è hermitiana] Se abbiamo $P = I -\sigma u \herm{u}$ allora $p_{ij} = u_i\con{u_j}$, e quindi
$\con{p_{ji}} = \con{u_j\con{u_i}} = u_i\con{u_j} = p_{ij}$.
\item[$P$ è unitaria] Se consideriamo che $P$ è hermitiana abbiamo che $P\herm{P} = P^2 =
(I - \sigma u \herm{u})^2 = I -2\sigma u \herm u + \sigma^2 \herm u u u \herm u = I$.
@@ -563,10 +565,10 @@ e quindi le radici del polinomio sono le radici della funzione
\[
g(\xi) = \alpha_n - \xi- \sum_{j=1}^{n} \frac{w_i^2}{\lambda_j^{(n-1)} - \xi}
\]
-Questa equazione ($g(\xi) = 0$) è detta \emph{equazione secolare}. Le ragione del nome curioso non
-sono note, anche se esistono due teorie principali. Una sostiene che l'appellativo deriva dall'usanza
+Questa equazione ($g(\xi) = 0$) è detta \emph{equazione secolare}. Le ragioni del nome curioso non
+sono note, anche se esistono due teorie: una sostiene che l'appellativo derivi dall'usanza
diffusa nei primi del novecento di chiamare \emph{polinomio secolare} il polinomio caratteristico
-di una matrice, mentre l'altra sostiene che invece il nome sia dovuto ad una sua utilità
+di una matrice, mentre l'altra sostiene che il nome sia dovuto ad una sua utilità
in alcune teorie di descrizione del moto di pianeti (che tipicamente hanno tempi piuttosto lunghi). \\
Ricordando che annullare $g$ è la stessa cosa che annullare $p_n$ possiamo tracciare un grafico
qualitativo di $g$ (come si vede in Figura~\ref{fig:eqsecolare}) e notare che ad ogni asintoto verticale
@@ -617,7 +619,7 @@ per poter cominciare l'iterazione. Notiamo però che presi gli autovalori di $A_
che $\lambda_i^{(n-1)} < \lambda_j^{(n-1)}
\iff i < j$ si ha che ogni autovalore di $A$ sta fra $\lambda_i$ ed un $\lambda_{i+1}$, ad eccezione degli
autovalori estremali. Anche in quel caso è facile trovare dei limiti su cui applicare la bisezione, considerando
-la diseguaglianza di Hirsch: $|\lambda| \leq ||A||$ (dalla definizione di norma matriciale).
+la diseguaglianza di Hirsch: $|\lambda| \leq \|A\|$ (dalla definizione di norma matriciale).
\begin{os}
Tutto questo procedimento ci fornirebbe un metodo per calcolare gli autovalori di $A$ a patto di conoscere
quelli di $A_{n-1}$, e quindi il problema non sembra (per ora) semplificato di molto. Prossimamente il teorema
diff --git a/capitoli/capitolo2.tex b/capitoli/capitolo2.tex
index 80efbbd..5304654 100644
--- a/capitoli/capitolo2.tex
+++ b/capitoli/capitolo2.tex
@@ -1,4 +1,4 @@
-chapter{Il calcolo degli autovalori}
+\chapter{Il calcolo degli autovalori}
In questo capitolo ci occuperemo di presentare i metodi principalmente usati nel calcolo
effettivo degli autovalori di matrici Hermitiane tridiagonali e in forma di Hessenberg.
@@ -84,7 +84,7 @@ di Householder. Cominceremo ricordando alcuni risultati riguardo la fattorizzazi
analizzare il metodo e le sue implementazioni.
\subsection{La fattorizzazione QR}
-\'E noto che ogni matrice $A \in \mat{\C}{n}$ si può fattorizzare nel seguente modo
+\`E noto che ogni matrice $A \in \mat{\C}{n}$ si può fattorizzare nel seguente modo
\[
A = QR
\]
diff --git a/varie/introduzione.tex b/varie/introduzione.tex
index 5c40723..260c179 100644
--- a/varie/introduzione.tex
+++ b/varie/introduzione.tex
@@ -15,7 +15,7 @@ liberi di spedirmi qualsiasi patch e/o qualsiasi critica e commento all'indirizz
\verb-leo@robol.it- oppure \verb-robol@poisson.phc.unipi.it-.
\section{Struttura del documento}
-Questi appunti si dividono in due parti
+Questi appunti si dividono in tre parti:
\begin{description}
\item[Parte I -- Teoria] In questa parte sono riportate le lezioni del prof.~Gemignani che espongono
i concetti teorici principali del corso. Saranno generalmente (abbastanza) rigorose e precise;