From 027c46669d70a41bfeca5d117171f52b5442445a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Leonardo Robol Date: Sun, 15 Nov 2009 09:31:23 +0100 Subject: [PATCH] Estesa la parte di Bini, ma ancora con errori e imprecisioni. Corretta la bibliografia. --- AppVibrazioni.tex | 38 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ Bibliografia.tex | 2 +- capitolo1.tex | 4 ++-- capitolo3.tex | 3 ++- 4 files changed, 43 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/AppVibrazioni.tex b/AppVibrazioni.tex index 5fd00fc..1f867ce 100644 --- a/AppVibrazioni.tex +++ b/AppVibrazioni.tex @@ -262,4 +262,42 @@ e possiamo ancora una volta ottenere un'espressione ``quasi'' esplicita della $v \[ v''(x_i) = \frac{1}{h^2} ( v_{i+1} + v_{i-1} - 2v_i ) - \frac{h^2}{24}[v^{(4)}(\xi_i) + v^{(4)}(\eta_i)] \] +Nel nostro modello $h$ è destinato ad essere piccolo, perché $h = \frac{1}{n+1}$ e intuitivamente $n$ deve essere un +numero grande se vogliamo approssimare bene il problema continuo. Abbiamo quindi che $h^2 \to 0$ quando $n \to \infty$ +e vorremmo poter dire che possiamo trascurare il termine con le derivate quarte. +Se così fosse avremmo infatti ricondotto il nostro problema ad un problema di autovalori. +Possiamo riscrivere infatti le relazione in questo modo +\[ + Av - \frac{h^2}{24} \tau = \lambda v +\] +dove $v = \trasp{( v_1 \ldots v_n )}$ e +\[ + A = \left[ \begin{array}{cccccc} + -2 & 1 & & & & \\ + 1 & -2 & 1 & & & \\ + & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ + & & 1 & -2 & 1& \\ + & & & 1 & -2 \\ + \end{array} \right] +\] +e dove $\tau$ è un opportuno vettore che contiene i termini del tipo $\tau_i = v^{(4)}(\xi_i) + v^{(4)}(\eta_i)$. +Osserviamo che possiamo dare una maggiorazione alla norma di $\tau$ perché essendo la derivata quarta di $v$ continua +su un compatto è limitata, e quindi $\forall i \: |\tau_i | \leq M$ per un opportuno $M$. + +Ricordiamo il Teorema~\ref{te:BauerFike}; questo dice che presa una norma assoluta ed $A$ diagonalizzabile ed $F$ +una matrice di perturbazione per ogni autovalore $\lambda$ di $A + F$ esiste un autovalore $\mu$ di $A$ +tale che $||\lambda - \mu|| \leq \cond{T}||F||$ dove $T$ è il cambio di base che diagonalizza $A$. +Se poniamo $F = -\frac{h^2}{24}\tau \trasp v$ dove $v$ è un autovettore di $v$ è tale che +$Av - \frac{h^2}{24}\tau = \lambda v$ allora si ha +\[ + (A - \frac{h^2}{24} \tau \trasp v) v = \lambda v +\] +e quindi esiste $\mu$ autovalore di $A$ tale che\footnote{Osserviamo che, essendo $A$ reale simmetrica +il cambio di base che la diagonalizza è ortogonale e quindi ha condizionamento $1$.} $||\lambda - \mu|| \leq ||F|| += \frac{h^2}{24} \cdot \frac{||\tau\trasp v||}{\trasp vv} \leq \frac{h^2}{24\trasp vv} \sqrt{\rs{\trasp \tau v\trasp v\tau}} += ||\tau|| \frac{h^2}{24 \trasp vv}$; questo si ottiene osservando che la norma di una matrice diade $v\trasp v$ +è data dalla norma du $v$. + +Vogliamo ora mostrare che $\frac{||\tau||}{||v||}$ è limitato superiormente da una costante, in modo +da provare la convergenza della nostra approssimazione. diff --git a/Bibliografia.tex b/Bibliografia.tex index c2b56f6..5000a66 100644 --- a/Bibliografia.tex +++ b/Bibliografia.tex @@ -10,7 +10,7 @@ SIAM} \bibitem{demmel}{% - Demmel, + James W. Demmel, \emph{Applied Numeric Linear Algebra}, SIAM } diff --git a/capitolo1.tex b/capitolo1.tex index 57e0d29..55c8be3 100644 --- a/capitolo1.tex +++ b/capitolo1.tex @@ -61,7 +61,7 @@ portare quindi ad errori non trascurabili. \subsection{Il caso di una matrice diagonalizzabile} Cominciamo ad analizzare un caso relativamente semplice, ovvero quello dove $A$ è una matrice diagonalizzabile, per cui dimostreremo un risultato detto -\begin{te}[di Bauer - Fike] +\begin{te}[di Bauer - Fike] \label{te:BauerFike} Se $A \in \mat{\R}{n}$ è una matrice diagonalizzabile tramite il cambio di base $V^{-1}$ ed $\eta$ è un autovalore della matrice perturbata $A + \delta A$ allora esiste un autovalore $\lambda$ di $A$ tale che \[ @@ -89,7 +89,7 @@ Possiamo distinguere due casi: \] Consideriamo dunque una norma matriciale indotta tale che data una matrice $D$ diagonale si abbia $||D|| = \max_{i = 1 \ldots n}\{|d_{ii}|\}$\footnote{la norma $1$, $2$ e $\infty$ soddisfano questo - requisito, ad esempio} ed effettuiamo le seguenti maggiorazioni + requisito, ad esempio; questo tipo di norma è detta \emph{assoluta}.} ed effettuiamo le seguenti maggiorazioni \[ ||y|| \leq ||(A -\eta I)^{-1}|| \cdot || \delta A || \cdot ||y|| \] diff --git a/capitolo3.tex b/capitolo3.tex index cba2bc6..0a78ff7 100644 --- a/capitolo3.tex +++ b/capitolo3.tex @@ -274,4 +274,5 @@ avremmo invece una dimensione di $15 KB$! Ovviamente l'immagine risultante dareb ma si potrebbe pensare di trovare un punto d'incontro fra dimensione e qualità\footnote{e magari di raffinare anche il metodo di compressione, ma questo lo vedremo in seguito}. -% TODO: Inserire un esempio di immagine compressa tramite SVD magari con varie opzioni per il rango \ No newline at end of file +% TODO: Inserire un esempio di immagine compressa tramite SVD magari con varie opzioni per il rango + -- 2.1.4