From 0fbceefdaf0b2076668755ee73658851dbe02a25 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Leonardo Robol Date: Wed, 17 Mar 2010 19:32:49 +0100 Subject: [PATCH] Chiarite alcune slide togliendo testo in eccesso. --- Slide/slide.tex | 138 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----------------- 1 file changed, 96 insertions(+), 42 deletions(-) diff --git a/Slide/slide.tex b/Slide/slide.tex index a775f2f..cfadbd3 100644 --- a/Slide/slide.tex +++ b/Slide/slide.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \usepackage[italian]{babel} \usepackage{default} \usepackage{iwona} -% \usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsmath} @@ -198,14 +198,34 @@ %$h_0$ è un \emph{lowpass filter}, perché elimina le alte frequenze lasciando invariate quelle %basse, mentre $h_1$ è un \emph{highpass filter} perché mantiene le alte frequenze eliminando %quelle basse. +% +% Osserviamo che per ogni $\omega$ e per ogni $h$, $h * {e^{in\omega}} = H(\omega)e^{in\omega}$ e quindi +% $e^{inw}$ è un autovettore per il filtro. Il suo autovalore $H(\omega)$ viene detto +% \emph{frequency response} del filtro alla frequenza $\omega$. - Osserviamo che per ogni $\omega$ e per ogni $h$, $h * {e^{in\omega}} = H(\omega)e^{in\omega}$ e quindi - $e^{inw}$ è un autovettore per il filtro. Il suo autovalore $H(\omega)$ viene detto - \emph{frequency response} del filtro alla frequenza $\omega$. + Sia $x(n) = e^{in\omega}$. Questo è un autovettore per il filtro: + \[ + h * \{e^{in\omega}\} = \sum_{i=0}^{N} h(i)e^{i(n-i)\omega} = + e^{in\omega} \underbrace{\sum_{i=0}^{N} e^{-i\omega}}_{\textrm{autovalore } H(\omega)} + \] \vskip 10pt - Nell'esempio precedente abbiamo + \uncover<2-> { + Consideriamo un segnale generico $x(n)$, e la sua trasformata di Fourier $X(\omega)$. + + La trasformata di Fourier $Y(\omega)$ del segnale $y(n)$ ottenuto dopo l'applicazione del filtro + sarà + \[ + Y(\omega) = X(\omega) H(\omega) + \] + } +\end{frame} + + +\begin{frame} \frametitle{Lowpass e Highpass} + +% Nell'esempio precedente abbiamo \begin{figure} \subfigure{ \begin{tikzpicture}[domain=0:1.57, samples=150,scale=1.5] @@ -226,35 +246,19 @@ \caption{Frequency response di $h_0$ ed $h_1$} \end{figure} -\end{frame} -\begin{frame} \frametitle{Lowpass e Highpass} - Il filtro $h_0$ si dice \emph{lowpass} perché lascia invariati i segnali + \begin{description} + \item[$H_0(\omega)$] Il filtro $h_0$ si dice \emph{lowpass} perché lascia invariati i segnali a bassa frequenza, mentre elimina quelli ad alta frequenza. - Analogamente $h_1$ si dice \emph{highpass}. - - \vskip 25pt - - Consideriamo un segnale generico $x(n)$, e la sua trasformata di Fourier $X(\omega)$. - La trasformata di Fourier $Y(\omega)$ del segnale $y(n)$ ottenuto dopo l'applicazione del filtro - sarà - \[ - Y(\omega) = X(\omega) H(\omega) - \] - - \vskip 25pt + \item[$H_1(\omega)$] Analogamente $h_1$ si dice \emph{highpass}. + \end{description} - Il filtro \textbf{amplifica ogni frequenza del segnale} di un coefficiente $H(\omega)$. \end{frame} \subsection{Upsampling e downsampling} \begin{frame} \frametitle{Downsampling} - In seguito ci troveremo molto spesso nella condizione di avere "troppa informazione", - ovvero di avere gruppi di segnali che contengono informazioni ridondanti. \\[15pt] - - Per ovviare a questo trasformeremo i segnali $x(n)$ in degli altri segnali $y(n)$ - tramite un'operazione di \emph{downsampling}: + \begin{de} Diremo che $y(n)$ è il \emph{downsampling} di $x(n)$ e lo indicheremo con $y(n) = \downsample{k}x(n)$ se @@ -262,8 +266,14 @@ y(n) = x(kn) \quad \textrm{dove } k \in \N \] \end{de} - In questo modo scarteremo una parte dell'informazione (a seconda del $k$ scelto, solitamente - avremo $k = 2$). \\[5pt] + + \begin{example} + Applichiamo il downsampling ad un numero finito di samples: + Se $x = (1, 5, 3, 2, 6, 4, 8) = x(0) \ldots x(6)$ si ha + \[ + \downsample{3}x = (1, 2, 8) \qquad \downsample{2}x = (1,3,6,8) + \] + \end{example} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Upsampling} @@ -333,16 +343,21 @@ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Perché una filterbank?} - Potremmo chiederci: - \begin{quote} - Qual'è la relazione fra le wavelet e le filterbank? - \end{quote} \\[15pt] - - La risposta breve è che le filterbank (in realtà delle opportune - filterbank) sono l'equivalete discreto della trasformata wavelet. \\[15pt] - - Cominciamo a considerare - un esempio, la \emph{filterbank di Haar}. + + Le filterbank ci permettono di scomporre (e ricomporre un segnale). Questo ci è utile per: + + \vskip 20pt + + \begin{description} + \item[Analisi] Vorremmo avere il segnale in una forma che metta in evidenza + la decomposizione in frequenze del segnale e contemporaneamente la localizzazione + temporale; + + \vskip 25pt + + \item[Compressione] Vorremmo scomporre il segnale in piccole componenti più idonee ad + essere compresse (con dati simili fra loro); + \end{description} \end{frame} @@ -417,19 +432,19 @@ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{La sintesi} - Osserviamo cosa succede ora se consideriamo +% Osserviamo cosa succede ora se consideriamo \begin{eqnarray*} r(n) &=& f_0 * z_0(n) + f_1 * z_1(n) = \\ &=& \frac{f_0}{2} * (\tilde{y_0}(n) + e^{in\pi}\tilde{y_0}(n)) + \frac{f_1}{2} * (\tilde{y_1}(n) + e^{in\pi}\tilde{y_1}(n)) = \\ &=& \frac{f_0}{2} * H_0(\omega)(e^{in\omega} + e^{in(\omega + \pi)}) + \frac{f_1}{2} * H_1(\omega)(e^{in\omega} + e^{in(\omega + \pi)}) - \end{eqnarray*} + \end{eqnarray*} \vskip 10pt e sviluppando in funzione del segnale iniziale $e^{in\omega}$ si ottiene che $r(n)$ si può scrivere come (consideriamo $-\omega = \omega + \pi$) + % Fare un riqadro \[ \frac{(F_0(\omega)H_0(\omega) + F_1(\omega)H_1(\omega))e^{in\omega} + (F_0(-\omega)H_0(\omega) + F_1(-\omega)H_1(\omega))e^{-in\omega}}{2} \] - \normalsize - e quindi $r(n)$ è combinazione lineare di $\{e^{in\omega}\}$ e di $\{e^{in(\omega + \pi)}\}$. + % e quindi $r(n)$ è combinazione lineare di $\{e^{in\omega}\}$ e di $\{e^{in(\omega + \pi)}\}$. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{La sintesi} @@ -454,6 +469,45 @@ \begin{frame} \frametitle{Il caso di Haar} Ricordando i filtri $h_0, h_1, f_0, f_1$ che avevamo scelto all'inizio, calcoliamo le relative response function. + + \uncover<2-> { + Consideriamo un generico filtro $h$ + si ha + \[ + y(n) = \sum_{k=0}^{N} h(k)x(n-k) = \sum_{k=0}^{N} h(k)e^{i(n-k)\omega} = e^{in\omega}\underbrace{\sum_{k=0}^{N} h(k)e^{-ik\omega}}_{H_0(\omega)} + \] + } + \uncover<3> { + Applicando il procedimento ad $h_0, h_1, f_0, f_1$ si ottiene: + \[ + H_0(\omega) = \frac 1 2 ( 1 + e^{-i\omega} ) \qquad H_1(\omega) = \frac 1 2 (1 - e^{-i\omega}) + \] + \[ + F_0(\omega) = 1 + e^{-i\omega} \qquad F_1(\omega) = -1 + e^{-i\omega} + \] + } +\end{frame} + +\begin{frame} \frametitle{Il caso di Haar} + Valutando le equazioni della PR condition si ottiene: + \[ + \left\{ \begin{array}{l} + F_0(\omega)H_0(\omega) + F_1(\omega)H_1(\omega) = e^{-i\omega} \\ + F_0(\omega+\pi)H_0(\omega) + F_1(\omega+\pi)H_1(\omega) = 0 + \end{array} + \right. + \] + La Filterbank di Haar ci permette quindi di decomporre e ricomporre esattamente un segnale + con un ritardo di $1$ sample. \\ + \uncover<2> { + \begin{example} + Consideriamo il vettore $x = (6,4,5,2,3)$ ed applichiamoci i filtri $h_0$ e $h_1$: + \[ + h_0 * x = (3,5,4.5.3.5,2.5,1.5) \qquad h1 * x = (3,-1,0.5,-1.5,0.5,-1.5) + \] + + \end{example} + } \end{frame} -- 2.1.4