From 126f5175b46512a6e14974e1883080dc237ff409 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Leonardo Robol Date: Fri, 6 Nov 2009 16:57:14 +0100 Subject: [PATCH] Qualche piccola correzione --- capitolo3.tex | 6 +++--- 1 file changed, 3 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/capitolo3.tex b/capitolo3.tex index c97f62c..d844e6f 100644 --- a/capitolo3.tex +++ b/capitolo3.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\chapter{Decomposizione in valori singolari} +\chapter{Decomposizione in valori singolari} \label{ch:svd} In questa sezione ci occuperemo di un tipo di fattorizzazione basato sulle proprietà spettrali, e quindi differente dalle fattorizzazioni viste fino ad ora (come la QR o la LU). Cominceremo esponendo un caso concreto in cui @@ -236,7 +236,7 @@ che probabilmente avremo circa $4$ cifre decimali corrette (nella migliore delle la precisione di macchina (ad esempio portarla a $10^{-32}$) potrebbe essere una soluzione ma appesantirebbe molto l'esecuzione dell'algoritmo. -Consideriamo dunque la \svd di $A = U\Sigma\trasp V$. +Consideriamo dunque la \svd\ di $A = U\Sigma\trasp V$. Possiamo supporre che $\sigma_n$ sia molto piccolo e che questo causi il cattivo condizionamento (ricordiamo che $\cond{A} = \frac{\sigma_1}{\sigma_n}$). Possiamo pensare di troncare la matrice $\Sigma$ sostituendola con una matrice $\hat \Sigma$ identica ad eslusione del posto @@ -266,7 +266,7 @@ $A = U\Sigma\trasp V$ e pensare di limitarci ad una matrice di rango $k$ e quind con $i > k$. In questo modo potremo rappresentare l'immagine considerando solo le prime $k$ colonne di $U$, le prime $k$ righe di $V$ e i $\sigma_1 \ldots \sigma_k$. Per fare un esempio pratico supponiamo $n = 1024$, ovvero un'immagine da 1 Megapixel. Questa occuperebbe in memoria -(suppoendo che sia in bianco e nero a 256 colori) $1 MB$. Decidendo di comprimerla con una matrice di rango $15$ +(supponendo che sia in bianco e nero a 256 colori) $1 MB$. Decidendo di comprimerla con una matrice di rango $15$ avremmo invece una dimensione di $15 KB$! Ovviamente l'immagine risultante darebbe solamente un'idea di quella originale, ma si potrebbe pensare di trovare un punto d'incontro fra dimensione e qualità\footnote{e magari di raffinare anche il metodo di compressione, ma questo lo vedremo in seguito}. \ No newline at end of file -- 2.1.4