From 14749cfd025295dbe286331e2a0bbde05a3a8794 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Leonardo Robol <leo@robol.it>
Date: Mon, 22 Mar 2010 08:12:21 +0100
Subject: [PATCH] Correzioni varie.

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 Slide/slide.tex | 29 ++++++++++++++++++-----------
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index af81cb1..5f15559 100644
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+++ b/Slide/slide.tex
@@ -207,7 +207,7 @@
 
   Sia $x(n) = e^{in\omega}$. Questo è un autovettore per il filtro:
   \[
-    h * \{e^{in\omega}\} = \sum_{i=0}^{N} h(i)e^{i(n-i)\omega} = 
+    h * \{e^{in\omega}\} = \sum_{i=0}^{N} h_i e^{i(n-i)\omega} = 
     e^{in\omega} \underbrace{\sum_{i=0}^{N} e^{-i\omega}}_{\textrm{autovalore } H(\omega)}
   \] 
 
@@ -353,7 +353,7 @@
 	\begin{description}
 	  \item[Analisi] Vorremmo avere il segnale in una forma che metta in evidenza
 	  la decomposizione in frequenze del segnale e contemporaneamente la localizzazione
-	  temporale;
+	  temporale degli ``eventi'';
 
 	  \vskip 25pt
 
@@ -363,7 +363,7 @@
 
 \end{frame}
 
-\subsection{Un esempio significativo}
+\subsection{Analysis e Synthesis filter bank}
 
 \begin{frame}
 	\frametitle{}
@@ -653,13 +653,17 @@
 
   \vskip 10pt
 
-	La condizione che si può trovare sugli autovalori della matrice $2(\downsample{2})HH^{t}$, dove
-	$H$ è la matrice di dimensione infinita associata al filtro $ h = (h_0 \ldots h_n) $.
+	Si può trovare una condizione sugli autovalori della matrice $2(\downsample{2})HH^{t}$, dove
+	$H$ è la matrice di dimensione infinita associata al filtro $ h = (h_0 \ldots h_n) $, ovvero
 
 	\vskip 10pt
 
-	La successione $\{\Phi_k(t)\}_k$ converge se e solo se tutti gli autovalori di questa matrice sono
-	tutti minori di $1$. 
+  \begin{teo}
+    La successione $\Phi_k(t)$ converge $\iff$ tutti gli autovalori di $2(\downsample{2})HH^t$ sono
+    di modulo minore di $1$. 
+  \end{teo}
+
+
 %
 %	\begin{example}
 %	 Se $ h = \frac 1 4 (1, 2, 1)$. Possiamo scrivere un pezzo della matrice $H$ (gli elementi rossi stanno
@@ -744,7 +748,7 @@
     Per ogni $f \in L^2(\R)$ esistono dei coefficienti $\{a_{jk}\}$ tali
     che 
     \[
-      || f - \sum_{-\infty}^{\infty} a_jk \Phi(2^jt - k) || \leq C2^{-jp} ||f^{(p)}(t)||
+      || f - \sum_{-\infty}^{\infty} a_{jk} \Phi(2^jt - k) || \leq C2^{-jp} ||f^{(p)}(t)||
     \]
   \end{teo}
 
@@ -759,7 +763,7 @@
 
   \vskip 10pt
 
-  Ricordiamo che lo scopo della decomposizione wavelet è \textbf{separare i dettagli dalla base del segnale}.
+  Ricordiamo che lo scopo della decomposizione wavelet è \textbf{separare i dettagli del segnale dal resto}.
 
   \begin{example}
     Sia $f \in L^2(\R)$ e $f_j$ la sua proiezione ortogonale su $V_j$. Possiamo scrivere:
@@ -770,8 +774,11 @@
   \end{example}
 \end{frame}
 
-\begin{frame} \frametitle{Spazi wavelet}
-  Consideriamo ancora gli spazi $W_0, W_1, \ldots$; 
+\begin{frame} \frametitle{Spazi wavelet} 
+
+  Consideriamo per ogni $j$ lo spazio $W_j$ delle funzioni che stanno in $V_j$ ma non in $V_{j-1}$, ovvero
+  lo spazio dei dettagli $j$-esimi. 
+  
   \begin{de}
     Una funzione $w(t)$ si dice \emph{wavelet} se per ogni $j$ si ha che $\{w(2^jt-k) \: | \: k \in \Z \}$ è
     una base per $W_j$. 
-- 
2.1.4