From 568b9b8f875555992d0f3723802e577b596b1751 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Leonardo Robol Date: Wed, 31 Mar 2010 17:12:35 +0200 Subject: [PATCH] Corretti indici nella dimostrazione del metodo QR per gli autovalori. --- capitoli/capitolo2.tex | 22 +++++++++++----------- 1 file changed, 11 insertions(+), 11 deletions(-) diff --git a/capitoli/capitolo2.tex b/capitoli/capitolo2.tex index 20481ad..28ecb50 100644 --- a/capitoli/capitolo2.tex +++ b/capitoli/capitolo2.tex @@ -122,19 +122,19 @@ $A = XDX^{-1}$. Supponiamo ora che $X^{-1}$ ammetta fattorizzazione $ X^{-1} = L che $L$ sia triangolare inferiore con gli elementi delle diagonale uguali a $1$ e $U$ triangolare superiore}. \begin{pr} \label{pr:metpot:ak} Se si ha la successione di matrici $A_k$ come quella definita sopra, e per ogni $k$ si considera $Q_k R_k$ - la\footnote{al solito, sarebbe corretto dire \textbf{una} fattorizzazione} fattorizzazione QR di $A_k$, allora + la\footnote{al solito, sarebbe corretto dire \textbf{una} fattorizzazione.} fattorizzazione QR di $A_k$, allora \[ - A^k = Q_0 Q_1 \ldots Q_k R_k \ldots R_1 R_0 + A^k = Q_0 Q_1 \ldots Q_{k-1} R_{k-1} \ldots R_1 R_0 \] \end{pr} \begin{proof} - Proviamo la tesi per induzione su $k$. Se $k = 0$ si ha $A_0 = A = Q_0 R_0$ che è banalmente vero. Se considero + Proviamo la tesi per induzione su $k$. Se $k = 1$ si ha $A^1 = A = Q_0 R_0$ che è banalmente vero. Se considero la tesi vera per $k$. Considerando le seguenti uguaglianze \[ \begin{array}{ll} \displaystyle A^{k+1} = \prod_{i=1}^{k+1} Q_0 R_0 = Q_0 (\prod_{i=1}^{k} R_0 Q_0) R_0 = Q_0 (\prod_{i=1}^{k} A_1) R_0 = \\ \displaystyle - = Q_0 (\prod_{i=1}^{k} Q_1 R_1) R_0 = Q_0 \prod_{i=1}^{k} Q_i \prod_{i=1}^{k} R_{k-i+1} R_0 + = Q_0 (\prod_{i=1}^{k-1} Q_1 R_1) R_0 = Q_0 \prod_{i=1}^{k} Q_i \prod_{i=1}^{k} R_{k-i+1} R_0 \end{array} \] si ottiene esattamente la tesi. Per quanto oscure possano sembrare provare a fare il calcolo con $k = 3$ o $4$ @@ -174,8 +174,8 @@ Due fattorizzazioni QR della stessa matrice devono forzatamente differire per un si ottengono le due relazioni \[ \left\{ \begin{array}{l} - Q_0 \ldots Q_k = Q P_k S_k \\ - R_{k} \ldots R_0 = \herm{S_k}T_k R D^k U + Q_0 \ldots Q_{k-1} = Q P_k S_k \\ + R_{k-1} \ldots R_0 = \herm{S_k}T_k R D^k U \end{array} \right. \] Possiamo riscrivere ora $Q_k$ ed $R_k$ in modo da riuscire ad utilizzare queste relazioni\footnote{Si può @@ -183,14 +183,14 @@ osservare quanto i passaggi di questa dimostrazione siano la cosa meno intuitiva questa è risultato di anni di affinamento e di ``pulizia'' } \[ \left\{ \begin{array}{l} - Q_k = \herm{(Q_0 \ldots Q_{k-1})}(Q_0 \ldots Q_k) = \herm{S_{k-1}}\herm{P_{k-1}}\herm{Q}Q P_k S_k = - \herm{S_{k-1}}\herm{P_{k-1}}P_k S_k\\ - R_k = (R_k \ldots R_0)(R_{k-1} \ldots R_0)^{-1} = \herm{S_k}T_k R D^{k} U U^{-1} D^{-k+1} R^{-1} T_{k-1}^{-1} S_{k-1} + Q_k = \herm{(Q_0 \ldots Q_{k-1})}(Q_0 \ldots Q_k) = \herm{S_{k}}\herm{P_{k}}\herm{Q}Q P_{k+1} S_{k+1} = + \herm{S_{k}}\herm{P_{k}}P_{k+1} S_{k+1}\\ + R_k = (R_k \ldots R_0)(R_{k-1} \ldots R_0)^{-1} = \herm{S_{k+1}}T_{k+1} R D^{k+1} U U^{-1} D^{-k} R^{-1} T_{k}^{-1} S_{k} \end{array} \right. \] -Dunque $Q_k R_k = A^{k} = \herm{S_{k-1}}\herm{P_{k-1}}P_k T_k R D R^{-1} T_{k-1}^{-1} S_{k-1}$ e ricordando che +Dunque $Q_k R_k = A_k = \herm{S_{k}}\herm{P_{k}}P_{k+1} T_{k+1} R D R^{-1} T_{k}^{-1} S_{k}$ e ricordando che $T_k$ e $P_k$ al limite vanno all'identità se scriviamo la nostra uguaglianza per $k~\to~\infty$ otteniamo -$S_{k-1} A^k \herm{S_{k-1}} = R D R^{-1}$. Possiamo quindi osservare che gli elementi sulla diagonale di $RDR^{-1}$ +$S_{k} A_k \herm{S_{k}} = R D R^{-1}$. Possiamo quindi osservare che gli elementi sulla diagonale di $RDR^{-1}$ sono gli stessi di $D$ (grazie al fatto che $R$ è triangolare superiore). In particolare gli elementi diagonali sono gli autovalori di $A$ e quindi abbiamo provato che il metodo converge. \begin{os} -- 2.1.4