From 89cc806c2ba02b2d45a30763b539895b48f50fd2 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Leonardo Robol <leo@robol.it>
Date: Tue, 16 Mar 2010 12:00:21 +0100
Subject: [PATCH] Cominciata la parte sulla refinement function

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 Slide/slide.tex | 93 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 93 insertions(+)

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index 4e52be3..a775f2f 100644
--- a/Slide/slide.tex
+++ b/Slide/slide.tex
@@ -287,6 +287,19 @@
 	\end{os}
 \end{frame}
 
+
+
+
+
+%
+%
+%                          %%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%                          SEZIONE FILTERBANK
+%                          %%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%
+%
+%
+%
 \section{FilterBank}
 \pausaindice
 \subsection{Cos'è una filterbank}
@@ -443,4 +456,84 @@
   response function. 
 \end{frame}
 
+
+
+%
+%
+%                          %%%%%%%%%%%%%%%%
+%                          SEZIONE WAVELETS
+%                          %%%%%%%%%%%%%%%%
+%
+%
+%
+%
+
+\section{Wavelet}
+\subsection{Refinement function}
+\begin{frame} \frametitle{Refinement equation}
+  Cerheremo ora di estendere l'esempio precedente ad un procedimento generale per
+  analizzare segnali. \\[15pt]
+
+  Introduciamo un'importante equazione detta \emph{Refinement equation}: 
+  \[
+    \Phi(t) = 2 \sum_{k=0}^{N} h(k)\Phi(2t-k)
+  \]
+  dove $h$ è un lowpass filter di lunghezza $N$ e $\Phi(t)$ una funzione da $\R$ in $\R$. 
+\end{frame}
+
+\begin{frame} \frametitle{Trovare una soluzione}
+  Supponiamo di aver fissato il filtro e di voler trovare una soluzione alla \emph{refinement equation}.
+
+  \begin{os} Se $\Phi(t)$ è soluzione, allora anche $\lambda \Phi(t)$ lo è. La normalizzazione
+  che generalmente si utilizza è
+  \[
+    \int_{-\infty}^{\infty} \Phi(t) dt = 1
+  \]
+  \end{os}
+
+  Infatti se $\Phi(t)$ è soluzione allora è una funzione a supporto compatto, e quindi l'integrale è finito. 
+  
+\end{frame}
+
+\begin{frame} \frametitle{Il caso di Haar}
+  \begin{example}
+  Consideriamo ancora il filtro $h_0 = (\frac 1 2 , \frac 1 2)$. La refinement equation diventa
+  \[
+    \Phi(t) = \Phi(2t) + \Phi(2t - 1)
+  \]
+  e la soluzione è la funzione $\chi_{[0,1]}(t)$. 
+  \end{example} \vskip 15pt
+
+	Possiamo osservare un'altra interessante proprietà. \\[10pt]
+
+  Se $h$ e $j$ sono due filtri per cui $\Phi$ e $\Psi$ sono refinement function (ovvero soluzione
+  della refinement equation) allora $\Phi * \Psi$ è una refinement function per $h*j$, ovvero per
+  la composizione dei filtri. 
+\end{frame}
+
+\begin{frame} \frametitle{Come calcolare effettivamente la soluzione?}
+  Per il caso del filtro di Haar abbiamo trovato la soluzione per verifica diretta. \\[10pt]
+  Sfruttando l'osservazione precedente possiamo trovare la refinement function per una qualsiasi
+  combinazione di filtri di cui la conosciamo singolarmente. Come possiamo risolvere il problema
+  in generale? \\[15pt]
+
+  \uncover<2> {
+
+  Consideriamo il seguente metodo iterativo:
+  \[
+		\left\{\begin{array}{lcl}
+    \Phi_0(t) &=& \chi_{[0,1]}(t) \\
+    \Phi_{j+1}(t) &=& 2\sum_{k=0}^{N} h(k) \Phi_{j}(2t - k)
+    \end{array} \right.
+  \]
+
+  Se il metodo converge ad una funzione $\bar\Phi$ questa sarà forzatamente soluzione
+  della refinement equation.  }
+  
+\end{frame}
+
+\begin{frame} \frametitle{Condizioni di convergenza}
+  
+\end{frame}
 \end{document}
+
-- 
2.1.4