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From: Leonardo Robol <leo@robol.it>
Date: Fri, 19 Mar 2010 17:32:16 +0100
Subject: [PATCH] Ancora wavelet nelle slide.

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 Slide/slide.tex | 123 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 122 insertions(+), 1 deletion(-)

diff --git a/Slide/slide.tex b/Slide/slide.tex
index ed392af..3998a44 100644
--- a/Slide/slide.tex
+++ b/Slide/slide.tex
@@ -7,6 +7,7 @@
 \usepackage{default}
 % \usepackage{iwona}
 \usepackage[T1]{fontenc}
+% \usepackage{rotate}
 
 
 \usepackage{amsmath}
@@ -581,7 +582,7 @@
 %
 %
 
-\section{Wavelet}
+\section{Wavelets}
 \subsection{Refinement function}
 \begin{frame} \frametitle{Refinement equation}
   Cerheremo ora di estendere l'esempio precedente ad un procedimento generale per
@@ -650,6 +651,126 @@
     Trovare condizione necessarie e sufficienti per la convergenza della successione $\Phi_k(t)$. 
   \end{problema}
 
+  \vskip 10pt
+
+	La condizione che si può trovare sugli autovalori della matrice $2(\downsample{2})HH^{t}$, dove
+	$H$ è la matrice di dimensione infinita associata al filtro $ h = (h_0 \ldots h_n) $.
+
+	\vskip 10pt
+
+	La successione $\{\Phi_k(t)\}_k$ converge se e solo se tutti gli autovalori di questa matrice sono
+	tutti minori di $1$. 
+%
+%	\begin{example}
+%	 Se $ h = \frac 1 4 (1, 2, 1)$. Possiamo scrivere un pezzo della matrice $H$ (gli elementi rossi stanno
+%	 sulla diagonale):
+%	 \[
+%	   H = \left[ \begin{array}{ccccc}
+%	     & \alert 1 & & &   \\
+%	     & 2 & \alert 1 & &   \\
+%	     & 1 & 2 & \alert 1 & 
+%	   \end{array} \right]
+%	 \]
+%	\end{example}
+\end{frame}
+
+\begin{frame} \frametitle{Un altro punto di vista}
+  Scegliamo una funzione $\Phi(t) \in L^2(\R)$ e i seguenti sottospazi:
+
+  \vskip 5pt
+  
+  \begin{description}
+    \item[$V_0$] il sottospazio di $L^2(\R)$ generato degli shift di $\Phi$, ovvero dall'insieme
+                 $\{ \Phi(t-k) \: | \: k \in \Z \}$.
+    \item[$V_1$] il sottospazio di $L^2(\R)$ generato dagli shift di $\Phi(2t)$. 
+\only<1> {    \item[$\vdots$] }
+    \item[$V_j$] il sottospazio di $L^2(\R)$ generato dagli shift di $\Phi(2^j t)$.
+\only<1> {    \item[$\vdots$] }
+  \end{description}
+  \uncover<2-> {
+  \vskip 15pt
+  Valgono le seguenti proprietà: 
+  \vskip 10pt
+  \begin{description}
+    \item[Invarianza per shift] $f(t) \in V_j \iff f(t - \frac 1 j) \in V_j$;
+    \item[Downsampling] $f(t) \in V_j \iff f(2t) \in V_{j+1}$;
+    \item[Refinement equation] $V_j \subseteq V_{j+1} \iff \textrm{esistono } a_1 \ldots a_k \: | \: \Phi(t) = \sum_{i=0}^{N} a_i \Phi(2t - i)$;
+  \end{description}
+  }
+\end{frame}
+
+\begin{frame} \frametitle{Due possibili scelte:}
+
+  \vskip 15pt
+  
+  \begin{columns}
+  \column{0.5\linewidth}
+    \textbf{Trovare $\Phi(t)$ partendo dal filtro}
+    
+    Possiamo assumere di aver fissato il filtro
+    $h(0) \ldots h(k)$ e trovare $\Phi(t)$ con 
+    il metodo iterativo esposto prima.
+
+    \[
+      \left\{ \begin{array}{lcl}
+        \Phi_0(t) &=& \chi_{[0,1]}(t) \\
+        \Phi_{j+1}(t) &=& \sum_{k=0}^{N} h_k \Phi(2t - k)
+      \end{array} \right.
+    \]
+
+  \column{0.5\linewidth}
+    \textbf{Trovare il filtro partendo da $\Phi(t)$}
+    
+    Possiamo scegliere $\Phi(t)$ in modo che i
+    sottospazi $V_j$ siano uno contenuto nell'altro
+    e poi porre i coefficienti del filtro $h(0) \ldots h(k)$ come
+    il doppio degli $a_i$ in
+    \[
+      \Phi(t) = \sum_{i=0}^{N} a_i \Phi(2t-i)
+    \]
+  \end{columns}
 \end{frame}
+
+\begin{frame} \frametitle{Valutazione dell'errore}
+  Sia $f \in L^2(\R)$. Supponiamo di scrivere un'approssimazione di $f$ come
+  \[
+    \tilde f = \sum_{i} a_i \Phi(2^j t - i) \in V_j
+  \]
+  \`E possibile dare una maggiorazione dell'errore in funzione di $j$?
+
+  \vskip 10pt
+
+  \begin{teo}
+    Per ogni $f \in L^2(\R)$ esistono dei coefficienti $\{a_{jk}\}$ tali
+    che 
+    \[
+      || f - \sum_{-\infty}^{\infty} a_jk \Phi(2^jt - k) || \leq C2^{-jp} ||f^{(p)}(t)||
+    \]
+  \end{teo}
+
+  dove $p$ è la molteplicità dello zero di $H(e^{i\omega})$ per $\omega = \pi$. 
+\end{frame}
+
+\begin{frame} \frametitle{Spazi wavelet}
+  Abbiamo costruito una struttura di spazi contenuti uno dentro l'altro
+  \[
+    V_0 \subseteq V_1 \subseteq \ldots \subseteq V_j \subseteq \ldots
+  \]
+
+  \vskip 10pt
+
+  Ricordiamo che lo scopo della decomposizione wavelet è \textbf{separare i dettagli dalla base del segnale}.
+
+  \begin{example}
+    Sia $f \in L^2(\R)$ e $f_j$ la sua proiezione ortogonale su $V_j$. Possiamo scrivere:
+    \[
+      f_j(t) = f_0(t) + \underbrace{(f_1(t) - f_0(t))}_{d_1(t)} + \ldots + \underbrace{(f_j(t) - f_{j-1}(t))}_{d_j(t)}
+    \]
+    In questo modo abbiamo scritto $f_j$ come una successione di approssimazioni sempre migliori. 
+  \end{example}
+\end{frame}
+
+
+
 \end{document}
 
-- 
2.1.4