From adf1f0c5d206469424525a207c45b0ca4a6f0890 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Leonardo Robol <leo@robol.it>
Date: Sun, 21 Mar 2010 11:55:06 +0100
Subject: [PATCH] Aggiunte conclusioni.

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 Filtering/Filtering.py |  1 +
 Slide/slide.tex        | 77 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-----------
 2 files changed, 62 insertions(+), 16 deletions(-)

diff --git a/Filtering/Filtering.py b/Filtering/Filtering.py
index a69692f..ff85515 100644
--- a/Filtering/Filtering.py
+++ b/Filtering/Filtering.py
@@ -295,6 +295,7 @@ class FilterBank():
             
             # E li filtriamo insieme ai low samples.
             low = self.lowPassInverseFilter (UpSample (low))
+
             low += self.highPassInverseFilter (UpSample (high))
 
             # Facciamo shiftare l'array in modo che il delay dei sample
diff --git a/Slide/slide.tex b/Slide/slide.tex
index 3998a44..af81cb1 100644
--- a/Slide/slide.tex
+++ b/Slide/slide.tex
@@ -5,7 +5,7 @@
 \usepackage[utf8x]{inputenc}
 \usepackage[italian]{babel}
 \usepackage{default}
-% \usepackage{iwona}
+\usepackage{iwona}
 \usepackage[T1]{fontenc}
 % \usepackage{rotate}
 
@@ -306,17 +306,17 @@
 %
 %
 %                          %%%%%%%%%%%%%%%%%%
-%                          SEZIONE FILTERBANK
+%                          SEZIONE filter bank
 %                          %%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %
 %
 %
 %
-\section{FilterBank}
+\section{Filter Bank}
 \pausaindice
-\subsection{Cos'è una filterbank}
-\begin{frame} \frametitle{Struttura di una filterbank}
-  Possiamo immaginare una \emph{filterbank} come una successione di filtri
+\subsection{Cos'è una filter bank}
+\begin{frame} \frametitle{Struttura di una filter bank}
+  Possiamo immaginare una \emph{filter bank} come una successione di filtri
   che, partendo, da uno o più segnali di input $x(n)$ produca uno o più segnali
   di output $y_{0}(n) \ldots y_{1}(n)$. \\[15pt]
   Questo esempio prende un input (in giallo) e restituisce tre output (in blu).
@@ -340,13 +340,13 @@
 			\draw[->] (y0.east) -- (y00.west);
 
     \end{tikzpicture}
-    \caption{Esempio di filterbank}
+    \caption{Esempio di filter bank}
   \end{figure}
 \end{frame}
 
-\begin{frame} \frametitle{Perché una filterbank?}
+\begin{frame} \frametitle{Perché una filter bank?}
 
-  Le filterbank ci permettono di scomporre (e ricomporre un segnale). Questo ci è utile per:
+  Le filter bank ci permettono di scomporre (e ricomporre un segnale). Questo ci è utile per:
 
   \vskip 20pt
 
@@ -367,7 +367,7 @@
 
 \begin{frame}
 	\frametitle{}
-%	Consideriamo i seguenti filtri e filterbank:
+%	Consideriamo i seguenti filtri e filter bank:
 %	\[
 %	  h_0 = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \qquad h_1 = (\frac 1 2 , - \frac{1}{2}) \qquad
 %	  f_0 = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \qquad f_1 = (-\frac 1 2 , \frac{1}{2})
@@ -395,7 +395,7 @@
 			\draw[->] (y1.east) -- (y1down.west);
 			
 		\end{tikzpicture}
-		\caption{Analysis filterbank}
+		\caption{Analysis filter bank}
 	\end{figure}
 
 	
@@ -423,22 +423,22 @@
 			
 			
 		\end{tikzpicture}
-		\caption{Synthesis filterbank}
+		\caption{Synthesis filter bank}
 	\end{figure}
 	\begin{problema}
-	Trovare condizioni necessarie per ricostruire un segnale decomposto con l'analysis filterbank
-	tramite la synthesis filterbank.
+	Trovare condizioni necessarie per ricostruire un segnale decomposto con l'analysis filter bank
+	tramite la synthesis filter bank.
 	\end{problema}
 \end{frame}
 
-\begin{frame} \frametitle{Analysis filterbank}
+\begin{frame} \frametitle{Analysis filter bank}
 
   Analizziamo un segnale ad una frequenza fissata $\{e^{in\omega}\}$.
 
   \vskip 10pt
 
 	$\{e^{in\omega}\}$ è un autovalore per 
-	$h_0$ e $h_1$ e quindi dopo il primo passaggio dell'Analysis filterbank si ottiene
+	$h_0$ e $h_1$ e quindi dopo il primo passaggio dell'Analysis filter bank si ottiene
 	\[
 	y_0(n) = H_0(\omega)e^{in\omega} \qquad y_1(n) = H_1(\omega)e^{in\omega}
 	\]
@@ -770,6 +770,51 @@
   \end{example}
 \end{frame}
 
+\begin{frame} \frametitle{Spazi wavelet}
+  Consideriamo ancora gli spazi $W_0, W_1, \ldots$; 
+  \begin{de}
+    Una funzione $w(t)$ si dice \emph{wavelet} se per ogni $j$ si ha che $\{w(2^jt-k) \: | \: k \in \Z \}$ è
+    una base per $W_j$. 
+  \end{de}
+
+  \vskip 10pt
+
+  \begin{teo}
+    $w(t) = \sum_{i=0}^{N} h_1(k) \Phi(2t-k)$ dove $h_1$ è l'highpass filter della filter bank
+    è una wavelet. 
+  \end{teo}
+  \vskip 10pt
+  Se ad esempio $h_0 = \left(\frac 1 2, \frac 1 2\right)$ e $h_1 = \left(\frac 1 2, - \frac 1 2\right)$ si ha
+  che $w(t)$ è ortogonale a $\Phi(t-k)$ per ogni $k$. 
+\end{frame}
+
+\begin{frame} \frametitle{Conclusioni}
+  La \textrm{DWT} scompone un segnale in ``details'' e ``averages'' riscrivendolo come
+  una somma
+  \[
+    x(n) = \sum_{j} x_j(n)
+  \]
+  dove $x_j(t)$ sono dei segnali che contengono alte frequenze se $j$ è grande, e basse frequenze
+  se $j$ è piccolo. 
+
+  \vskip 15pt
+
+  Questo permette di rappresentare il segnale $x_0(n)$ con un \textbf{numero minore di sample} rispetto
+  al campionamento del segnale originale.
+
+  \vskip 10pt 
+
+  I segnali con $j$ grande avranno alte frequenze (e quindi necessiteranno di un gran numero di sample)
+  ma saranno di \textbf{modulo inferiore} ai segnali principali. 
+\end{frame}
+
+\begin{frame} \frametitle{Un esempio pratico}
+
+  \vskip 65pt
+  \begin{center}
+    \texttt{./dwt.py {-}{-}show file.raw}
+  \end{center}
+\end{frame}
 
 
 \end{document}
-- 
2.1.4