From b7b71a88528dd01a16bf09e79a1bab6f2712eec2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Leonardo Robol Date: Mon, 9 Nov 2009 19:56:10 +0100 Subject: [PATCH] Aggiunta parte della lezione del 9 novembre di Bini --- AppVibrazioni.tex | 102 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- CalcoloScientifico.tex | 1 + 2 files changed, 102 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/AppVibrazioni.tex b/AppVibrazioni.tex index ea43267..5fd00fc 100644 --- a/AppVibrazioni.tex +++ b/AppVibrazioni.tex @@ -5,7 +5,7 @@ un sistema di masse collegate da mollle. In questo modo potremo modellizzare, ad strumenti musicali (come le corde di una chitarra o un tamburo) o un generale sistema dinamico costituito da masse e molle. %TODO: Inserire qualche altro esempio pratico -\section{Molle e masse} +\section{Sistemi discreti} \subsection{L'oscillatore armonico} Il nostro scopo sarà, principalmente, risolvere sistemi complicati la cui soluzione esatta non si riesce a calcolare (o non si riesce a farlo agevolmente) direttamente con un foglio ed una penna, @@ -163,3 +163,103 @@ la domanda: ``Perché abbiamo sviluppato tutto il ragionamento precedente?''. La soluzione per un certo $t$ ha un costo computazionale molto alto. \`E quindi inaccettabile il costo che si ottiene per la valutazione in tutti i punti che interessano a noi per ottenere un suono bem campionato (circa 44100 al secondo). \end{os} + +\section{Sistemi continui} +\subsection{Generalizzazione del caso delle $N$ masse} +Supponiamo di avere una corda tesa fra due supporti fissi, che viene, in un'istante $t = 0$ messa in +una certa posizione con una data velocità iniziale. Siamo interessati a studiare il successivo moto +della corda e le sue vibrazioni, come abbiamo fatto nel caso di $N$ particelle discrete. \\ +Consideriamo la seguente formalizzazione matematica di questo problema. Possiamo descrivere il moto della +corda parametrizzando i suoi punti tramite la coordinata orizzontale $x$ e introducendo una funzione +$u(x,t)$ che definisce la posizone del punto individuato dalla coordinata $x$ al tempo $t$, come si vede nella +Figura~\ref{fig:corda}. \\ +\begin{wrapfigure}{l}{70mm} + \begin{tikzpicture} + % Blocchetto 1 + \draw (0,0) rectangle (1,2); + \fill[gray!30] (0,0) rectangle (1,2); + + % Corda + \draw[very thick] (1,1) .. controls (2.5,2) and (3.5,2) .. (5,1); + + % Secondo blocchetto + \fill[gray!30] (5,0) rectangle (6,2); + \draw (5,0) rectangle (6,2); + + % E qualche chiarimento :) + \draw[->] (-0.5,-0.5) -- (6.5,-0.5) node[anchor=south] {$x$}; + \draw (1,-0.4) -- (1,-0.6) node[anchor=north] {$0$}; + \draw (5,-0.4) -- (5,-0.6) node[anchor=north] {$l$}; + + \draw[dashed] (3,-0.5) -- (3,1.75) node[anchor=south] {$u(x,t)$}; + \end{tikzpicture} + \caption{Rappresentazione della corda} + \label{fig:corda} +\end{wrapfigure} +Un'analisi fisica del fenomeno\footnote{che non è nostro interesse mostrare ora} porta alla seguente +equazione differenziale: +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \sigma \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0 +\] +dove $\sigma > 0$ è una costante determinata dalla gravità, dalla tensione e dalla densità +della corda. Prima di risolverla imponiamo le condizioni al contorno +\[ + u(0,t) = u(l,t) +\] +che ci permettono di controllare che gli estremi della corda siano sempre fissati ai supporti, e +le condizioni iniziali +\[ + u_0(x) = u(x,0) +\] +che dà la posizione iniziale e +\[ + v_0(x) = \frac{\partial u}{\partial t}(x,0) +\] +che esprime la velocità iniziale di ogni particella. Questa formalizzazione si può facilmente estendere +supponendo di avere una membrana introducendo $u(x,y,t)$. + +Per ora siamo particolarmente interessati a studiare se esistono delle soluzioni in cui tutti i punti +si muovano con la stessa frequenza $\omega$, anche se eventulamente con diversa ampiezza. Si tratta +di trovare una soluzione della forma +\[ + u(x,t) = v(x) \cdot \cos{(\omega t)} +\] +Osserviamo che data una $u$ di quest forma le derivate parziali diventano +\[ + \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = -v(x) \omega^2 \cos(wt) \qquad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = v''(x) \cos(wt) +\] +e quindi l'equazione differenziale risulta essere +\[ + \cos(wt) \left[ -\omega^2 v(x) - \sigma v''(x) \right] = 0 +\] +che può essere identicamente nulla solo se +\[ + \omega^2 v(x) + \sigma v''(x) \equiv 0 \iff v''(x) = -\frac{\omega^2 v(x)}{\sigma} +\] + +\subsection{Discretizzazione del modello} + +Per risolvere effettivamente il problema supponiamo di suddividere l'intervallo $[0,l]$ in $n+1$ +punti equidistanti $x_0, \ldots, x_{n+1}$ tali che $x_0 = 0$ e $x_{n+1} = l$. Si avrà dunque +che $x_i - x_{i-1} = h = \frac{l}{n+1}$. \\ +Per comodità poniamo $v(x_i) = v_i$ la posizione dell'$i$-esimo +punto. +Assumiamo ora che la soluzione dell'equazione differenziale sia di classe $C^4$ su $[0,l]$, e facciamo +lo sviluppo in serie centrato in un generico punto $x_i$. +\[ + v(x_i + h) = v_{i+1} = v_i + hv'(x_i) + \frac{h^2 v''(x_i)}{2} + \frac{h^3 v^{(3)}(x_i)}{6} + \frac{h^4 v^{(4)}(\xi_i)}{24} +\] +dove $\xi_i \in (x_i , x_{i+1})$. +Analogamente si ottiene +\[ + v(x_i - h) = v_{i-1} = v_i - hv'(x_i) + \frac{h^2 v''(x_i)}{2} - \frac{h^3 v^{(3)}(x_i)}{6} + \frac{h^4 v^{(4)}(\eta_i)}{24} +\] +dove $\eta_i \in (x_{i-1}, x_i)$. Sommando queste due si ha +\[ + v_{i+1} + v_{i-1} = 2v_i + h^2 v''(x_i) + \frac{h^4}{24}[v^{(4)}(\xi_i) + v^{(4)}(\eta_i)] +\] +e possiamo ancora una volta ottenere un'espressione ``quasi'' esplicita della $v''(x_i)$: +\[ + v''(x_i) = \frac{1}{h^2} ( v_{i+1} + v_{i-1} - 2v_i ) - \frac{h^2}{24}[v^{(4)}(\xi_i) + v^{(4)}(\eta_i)] +\] + diff --git a/CalcoloScientifico.tex b/CalcoloScientifico.tex index 00c83fb..fc5ae85 100644 --- a/CalcoloScientifico.tex +++ b/CalcoloScientifico.tex @@ -25,6 +25,7 @@ \usepackage{pxfonts} \usepackage{listings} \usepackage{wrapfig} +\usepackage[bf,small]{caption} %% Le librerie che ci servono per tikz \usetikzlibrary{snakes} -- 2.1.4