From d0212d0a57bd40632bcbbf15d3fc306d98992bf3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Leonardo Robol Date: Fri, 6 Nov 2009 16:55:58 +0100 Subject: [PATCH] Aggiunta qualche osservazione fatta da Bini sulla possibile soluzione esplicita al nostro sistema di equazioni differenziali tramite esponenziale di matrici --- AppVibrazioni.tex | 10 +++++++++- 1 file changed, 9 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/AppVibrazioni.tex b/AppVibrazioni.tex index a66a347..90a1c19 100644 --- a/AppVibrazioni.tex +++ b/AppVibrazioni.tex @@ -152,4 +152,12 @@ delle masse è $0$, situazione che non siamo interessati a rappresentare con il Supponiamo ora per semplicità che $A$ sia diagonalizzabile, ovvero $A = SDS^{-1}$. Si ha in questo caso che $w = SDS^{-1}w$ e quindi $S^{-1}w = DS^{-1}w$ dove $D$ è diagonale. Ponendo $z = S^{-1}w$ si ottiene $z_i = z_i d_{ii}$ e quindi ci si può ricondurre al caso precedente con la soluzione per componenti -$z_i(t) = e^{d_{ii} t}$. \ No newline at end of file +$z_i(t) = e^{d_{ii} t}$. +\begin{os} + Osserviamo che, in realtà, conosciamo la soluzione di questa equazione differenziale, e la conosciamo + esplicitamente in ogni caso. Infatti è una verifica piuttosto immediata (e, più probabilmente, un fatto noto) + che $\frac{d}{dt} \Exp{tA}w_0 = A\Exp(tA)w_0$ e quindi è soluzione del nostro problema di Cauchy. Sorge spontanea +la domanda: ``Perché abbiamo sviluppato tutto il ragionamento precedente?''. La riposta è che valutare questa +soluzione per un certo $t$ ha un costo computazionale molto alto. \`E quindi inaccettabile il costo che si ottiene +per la valutazione in tutti i punti che interessano a noi per ottenere un suono bem campionato (circa 44100 al secondo). +\end{os} -- 2.1.4