From fc818a76b0d9cd2c7ae93be7717b716f3ac41b51 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Leonardo Robol <leo@robol.it>
Date: Wed, 10 Mar 2010 10:37:34 +0100
Subject: [PATCH] Aggiunto abbozzo di slide.

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 Slide/slide.tex | 131 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 131 insertions(+)
 create mode 100644 Slide/slide.tex

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new file mode 100644
index 0000000..6407839
--- /dev/null
+++ b/Slide/slide.tex
@@ -0,0 +1,131 @@
+\documentclass{beamer}
+
+\mode<presentation>
+
+\usepackage[utf8x]{inputenc}
+\usepackage[italian]{babel}
+\usepackage{default}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{libertine}
+
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{tikz}
+
+% Comandi miei, ovvero piccole cose matematiche che
+% ci saranno utili in seguito.
+\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
+\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
+\renewcommand{\hat}{\widehat}
+
+% Il nostro tema
+\usetheme{CambridgeUS}
+
+% Chi siamo e cosa facciamo
+\author{Leonardo Robol}
+\title{Wavelet e signal processing}
+\subtitle{Trasformata wavelet discreta e dintorni}
+
+\begin{document}
+
+% Pagina principale
+\begin{frame}
+ \titlepage
+\end{frame}
+
+%
+% Teoremi
+%
+\theoremstyle{plain} \newtheorem{teo}{Teorema}
+
+%
+% Cominciamo a capire cosa ci interessa di un segnale e come lo vogliamo
+% guardare.
+%
+\section{Dominio del tempo e delle frequenze}
+\subsection{Segnali analogici e segnali digitali}
+% FRAME: Cosa sono i segnali
+\begin{frame}\frametitle{Segnali}
+	Un \emph{segnale analogico x} è una funzione $x_{analog}: \R \to \R$. 
+
+	Quasi tutti i sengali ``nascono''
+	in forma analogica ma vengono \emph{campionati} per essere rappresentati come
+	\[
+		\left\{ \begin{array}{ll}
+		  x_{digital}(n): & \Z  \to  \R \\
+		  x_{digital}(n)= &  x_{analog}(nT) \\
+	  \end{array} \right.
+	\]
+	dove $T \in \R$ è l'\emph{intervallo di campionamento}. 
+
+	Questo permette di memorizzare un segnale analogico su un supporto digitale (i.e. un computer). 
+\end{frame}
+
+% FRAME: Shannon sampling theorem
+\begin{frame} \frametitle{Shannon sampling theorem}
+
+	Quando un segnale viene campionato molta ``informazione'' viene scartata. Se però il segnale
+	è \emph{band-limited} allora questo non crea nessun problema, come ci dice il seguente
+	\begin{teo}
+		Ogni segnale analogico le cui frequenze non superano un dato $\omega_{max} \in \R_+$ 
+		può essere ricostruito dal suo campionamento $x(nT)$ se $\frac{1}{T} > \frac{\omega_{max}}{\pi}$.
+	\end{teo}
+
+	%% Commento allo shannon sampling theorem
+\end{frame}
+
+% FRAME: Aliasing
+\begin{frame} \frametitle{Aliasing}
+
+	Cosa succede quando non è soddisfatta l'identità $T^{-1} > \omega_{max} \pi^{-1}$?
+
+	Osserviamo il seguente esempio:
+
+  \begin{itemize}
+		\only<1-> {\item	Sia $x(t) = sin(\omega x)$.	}
+		\uncover<2-> {		\item Consideriamo il sampling $x(nT)$ con $T = \frac{3\pi}{2\omega}$. }
+	  \uncover<3-> { \item Si ottiene lo stesso sampling che per $\hat x(t) = \sin(\frac{\omega}{3}t)$, e quindi il segnale non può
+					venire ricostruito. }
+	\end{itemize}
+
+  \begin{figure}
+	\begin{tikzpicture}[domain=0:7,samples=150]
+		\draw[->] (0,0) -- (8,0) node[anchor=west]{$t$};
+		\draw[->] (0,0) -- (0,1.5) node[anchor=south]{$sin(\omega t)$};
+
+		% Disegno la funzione
+		\only<1->{
+			\draw[color=blue] plot[id=signal] function {sin(5*x)};
+		}
+
+		% Disegno i puntini del sampling
+		\only<2->{
+			\foreach \x in {0,1.8849,...,7}
+				{\fill (\x, 0) circle (0.05cm);}
+			\foreach \x in {0.94,4.71,...,7}
+				{\fill (\x, -1) circle (0.05cm);}
+			\foreach \x in {2.81,6.59,...,7}
+				{\fill (\x, 1) circle (0.05cm);}
+		}
+
+		% Disegno la funzione alias
+		\only<3-> {
+			\draw[color=red] plot[id=aliasedsignal] function {-1 * sin( 1.666667 * x)};
+		}
+	\end{tikzpicture}
+	\caption{Esempio di aliasing}
+	\end{figure}
+\end{frame}
+
+% FRAME: Cosa ci interessa di un segnale
+\begin{frame}\frametitle{Tempo e frequenza}
+	Per analizzare un segnale abbiamo due scelte ovvie:
+	\begin{itemize}
+		\item Analizzarle come funzioni del tempo;
+		\item Analizzarle come funziona della frequenza, considerandone la 
+		trasformata di fourier $\hat x(\omega)$;
+	\end{itemize}
+\end{frame}
+
+
+
+\end{document}
-- 
2.1.4