From fd76a2f876b353bcc00c293952d6136e0286268d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Leonardo Robol <leo@robol.it>
Date: Fri, 9 Oct 2009 09:12:40 +0200
Subject: [PATCH] Aggiunta dimostrazione sulla scomposizione di una matrice a
 blocchi con Complemento di Schur che era stata omessa da Gemignani

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 capitolo1.tex | 49 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-----
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diff --git a/capitolo1.tex b/capitolo1.tex
index b1c9439..5da2183 100644
--- a/capitolo1.tex
+++ b/capitolo1.tex
@@ -463,8 +463,45 @@ tale che
 ed in particolare $\Gamma = D - C A^{-1} B$ è detta \emph{complemento di Schur di $A$ in $M$}. 
 \end{pr}
 \begin{proof}
- Non dimostriamo qui questa proposizione. La dimostrazione verrà inclusa in un'appendice, o magari inserita
- a tempo debito se avrò tempo di pensarci. In ogni caso, non è stata data a lezione. 
+ Provando a scrivere la relazione più esplicitamente otteniamo
+\[
+ \begin{bmatrix}
+  I & 0 \\
+  \trasp{\alpha} & I
+ \end{bmatrix}
+ \begin{bmatrix}
+  A & 0 \\
+  0 & \Gamma
+ \end{bmatrix}
+ \begin{bmatrix}
+  I & \beta \\
+  0 & I
+ \end{bmatrix} = 
+ \begin{bmatrix}
+   A & B \\
+   C & D
+ \end{bmatrix}
+\]
+dove $\trasp \alpha$, $\beta$ e $\Gamma$ sono le incognite. Sviluppando si ottengono le seguenti equazioni
+\[
+ \left\{
+ \begin{array}{l}
+  A \beta = B \\
+  \trasp \alpha A = C \\
+  \trasp \alpha A \beta + \Gamma = D
+ \end{array} \right.
+\]
+Ricordando che $\deter{A} \neq 0$ e considerando le prime due equazioni come degli insiemi di
+sistemi lineari si ottiene che esistono e sono unici $\alpha$ e $\beta$ che soddisfano le richieste, ed
+in particolare sono
+\[
+\left\{ \begin{array}{l}
+ \trasp \alpha = C A^{-1} \\
+ \beta = A^{-1} B
+\end{array} \right.
+\]
+In conclusione $\Gamma = D - \trasp \alpha A \beta = D - C A^{-1} A A^{-1} B = D - C A^{-1} B$
+e quindi la tesi è provata.
 \end{proof}
 \begin{os}
  Questa proposizione ci è utile perché ci permette di calcolare il determinante di una matrice di questo
@@ -528,7 +565,7 @@ in alcune teorie di descrizione del moto di pianeti (che tipicamente hanno tempi
 Ricordando che annullare $g$ è la stessa cosa che annullare $p_n$ possiamo tracciare un grafico
 qualitativo di $g$ (come si vede in Figura~\ref{fig:eqsecolare}) e notare che ad ogni asintoto verticale
 di $g$ corrisponde un autovalore di $A_{n-1}$ e che gli autovalori della matrice $A_n$ sono separati
-da quelli di $g$.
+da quelli di $g$, in quanto la derivata di $g$ è sempre negativa (e quindi la funzione monotona). 
 \begin{figure}[ht] 
   \begin{center}
  \includegraphics[width=\textwidth]{equazionesecolare.pdf} \end{center}
@@ -542,8 +579,10 @@ non avere senso per una matrice in forma di Hessenberg che, a priori, potrebbe a
 \subsection{Metodi di iterazione funzionale per il calcolo degli autovalori}
 Questa conoscenza di $g$ ci porterebbe a pensare di utilizzare metodi di iterazione funzionale
 per determinare gli autovalori della nostra matrice. \\
-Se consideriamo il caso Hermitiano, infatti, potremmo applicare il metodo di \emph{bisezione} ed ottenere
-facilmente dei limiti. Presi gli autovalori di $A_{n-1}$ in modo che $\lambda_i^{(n-1)} < \lambda_j^{(n-1)}
+Se consideriamo il caso Hermitiano, infatti, potremmo applicare il metodo di \emph{bisezione}.
+L'unica difficoltà in questo caso sta nel definire l'intervallo in cui sta una ed una sola radice
+per poter cominciare l'iterazione. Notiamo però che presi gli autovalori di $A_{n-1}$ in modo
+che $\lambda_i^{(n-1)} < \lambda_j^{(n-1)}
 \iff i < j$ si ha che ogni autovalore di $A$ sta fra $\lambda_i$ ed un $\lambda_{i+1}$, ad eccezione degli
 autovalori estremali. Anche in quel caso è facile trovare dei limiti su cui applicare la bisezione, considerando
 la diseguaglianza di Hirsch: $|\lambda| \leq ||A||$ (dalla definizione di norma matriciale). 
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2.1.4