viewgit/index.php:465 Only variables should be passed by reference [2048]

viewgit/index.php:466 Non-static method GeSHi::get_language_name_from_extension() should not be called statically [2048]

  1. \documentclass[mathserif,professionalfonts,compress,slidestop,10pt]{beamer}
  2.  
  3. \mode<presentation>
  4.  
  5. \usepackage[utf8x]{inputenc}
  6. \usepackage[italian]{babel}
  7. \usepackage{default}
  8. % \usepackage[T1]{fontenc}
  9.  
  10. \usepackage{amsmath}
  11. \usepackage{tikz}
  12. \usepackage{subfigure}
  13.  
  14. % Comandi miei, ovvero piccole cose matematiche che
  15. % ci saranno utili in seguito.
  16. \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
  17. \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
  18. \renewcommand{\hat}{\widehat}
  19.  
  20. % Il nostro tema
  21. % \usetheme{CambridgeUS}
  22. \usetheme{Antibes}
  23. \usecolortheme{dolphin}
  24. \beamertemplateshadingbackground{blue!10}{blue!2}
  25. \setbeamercovered{transparent=15}
  26.  
  27. % Chi siamo e cosa facciamo
  28. \author{Leonardo Robol}
  29. \title{Wavelet e signal processing}
  30. \subtitle{Trasformata wavelet discreta e dintorni}
  31.  
  32. \begin{document}
  33.  
  34. % Pagina principale
  35. \begin{frame}[plain]
  36. \titlepage
  37. \end{frame}
  38.  
  39. \begin{frame} \frametitle{Outline}
  40. \end{frame}
  41.  
  42. %
  43. % Teoremi
  44. %
  45. \theoremstyle{plain} \newtheorem{teo}{Teorema}
  46. \theoremstyle{remark} \newtheorem{de}{Definizione}
  47.  
  48. %
  49. % Cominciamo a capire cosa ci interessa di un segnale e come lo vogliamo
  50. % guardare.
  51. %
  52. \section{Manipolazione di segnali}
  53. \subsection{Segnali analogici e segnali digitali}
  54. % FRAME: Cosa sono i segnali
  55. \begin{frame}\frametitle{Segnali}
  56. Un \emph{segnale analogico x} è una funzione $x_{analog}: \R \to \R$.
  57.  
  58. Quasi tutti i sengali ``nascono''
  59. in forma analogica ma vengono \emph{campionati} per essere rappresentati come
  60. \[
  61. \left\{ \begin{array}{ll}
  62. x_{digital}(n): & \Z \to \R \\
  63. x_{digital}(n)= & x_{analog}(nT) \\
  64. \end{array} \right.
  65. \]
  66. dove $T \in \R$ è l'\emph{intervallo di campionamento}.
  67.  
  68. Questo permette di memorizzare un segnale analogico su un supporto digitale (i.e. un computer).
  69. \end{frame}
  70.  
  71. % FRAME: Shannon sampling theorem
  72. \begin{frame} \frametitle{Shannon sampling theorem}
  73.  
  74. Quando un segnale viene campionato molta ``informazione'' viene scartata. Se però il segnale
  75. è \emph{band-limited} allora questo non crea nessun problema, come ci dice il seguente teorema:
  76. \begin{teo}
  77. Ogni segnale analogico le cui frequenze non superano un dato $\omega_{max} \in \R_+$
  78. può essere ricostruito dal suo campionamento $x(nT)$ se $\frac{1}{T} > \frac{\omega_{max}}{\pi}$.
  79. \end{teo}
  80.  
  81. %% Commento allo shannon sampling theorem
  82. \begin{de}
  83. Il valore $\frac{\omega_{max}}{\pi}$ viene chiamato \emph{Nyquist period}.
  84. \end{de}
  85. \end{frame}
  86.  
  87. % FRAME: Aliasing
  88. \begin{frame} \frametitle{Aliasing}
  89.  
  90. % Un po' di spettacolo
  91. \transdissolve[duration=0.2]<2>
  92. \transdissolve[duration=0.2]<3>
  93.  
  94. Cosa succede quando non è soddisfatta l'identità $T^{-1} > \omega_{max} \pi^{-1}$?
  95.  
  96. Osserviamo il seguente esempio:
  97.  
  98. \begin{itemize}
  99. \only<1-> {\item Sia $x(t) = sin(\omega x)$. }
  100. \uncover<2-> { \item Consideriamo il sampling $x(nT)$ con $T = \frac{3\pi}{2\omega}$. }
  101. \uncover<3-> { \item Si ottiene lo stesso sampling che per $\hat x_{alias}(t) = \sin(\frac{\omega}{3}t)$, e quindi il segnale non può
  102. venire ricostruito. }
  103. \end{itemize}
  104.  
  105. \begin{figure}
  106. \begin{tikzpicture}[domain=0:7,samples=150]
  107. \draw[->] (0,0) -- (8,0) node[anchor=west]{$t$};
  108. \draw[->] (0,0) -- (0,1.5) node[anchor=south]{$sin(\omega t)$};
  109.  
  110. % Disegno la funzione
  111. \only<1->{
  112. \draw[color=blue] plot[id=signal] function {sin(5*x)};
  113. }
  114.  
  115. % Disegno i puntini del sampling
  116. \visible<2->{
  117. \foreach \x in {0,1.8849,...,7}
  118. {\fill (\x, 0) circle (0.05cm);}
  119. \foreach \x in {0.94,4.71,...,7}
  120. {\fill (\x, -1) circle (0.05cm);}
  121. \foreach \x in {2.81,6.59,...,7}
  122. {\fill (\x, 1) circle (0.05cm);}
  123. }
  124.  
  125. % Disegno la funzione alias
  126. \visible<3-> {
  127. \draw[color=red] plot[id=aliasedsignal] function {-1 * sin( 1.666667 * x)};
  128. }
  129. \end{tikzpicture}
  130. \caption{Esempio di aliasing}
  131. \end{figure}
  132. \end{frame}
  133.  
  134. % FRAME: Cosa sono i filtri
  135. \subsection{Filtri e FIR}
  136. \begin{frame} \frametitle{Filtri}
  137. Supponiamo di avere il segnal campionato $x(nT)$; d'ora in poi
  138. supporremo $T = 1$ per semplicità.
  139.  
  140. \begin{de}
  141. Un \emph{filtro} è un'applicazione che manda $x(n)$ in un altro segnale $y(n)$.
  142. Diremo che un filtro è
  143. \begin{description}
  144. \item[causale] se $y(n)$ è funzione unicamente di $x(n), x(n-1), \ldots$;
  145. \item[FIR\footnote{che sta per finite impulse response.}] se $y(n)$ si può ottenere con un numero finito di
  146. campioni di $x(n)$ per ogni $n$;
  147. \end{description}
  148. \end{de}
  149.  
  150. I filtri FIR e causali sono interessanti perché possono essere calcolati
  151. in \emph{real--time}.
  152.  
  153. \end{frame}
  154.  
  155. % FRAME: Esempio di filtro
  156. \begin{frame} \frametitle{Esempio di filtro}
  157. Sia $h \in \R^n$ e consideriamo il filtro:
  158. \[
  159. x(n) \longrightarrow y(n) = \sum_{i=1}^{n} h_{i} x(n - i)
  160. \]
  161. Questo è sia FIR che causale. Consideriamo i seguenti segnali:
  162. \[
  163. \left\{ \begin{array}{l}
  164. x_1(n) = ( \ldots , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , \ldots ) \\
  165. x_2(n) = ( \ldots , 1 , -1 , 1 , -1 , 1 , \ldots ) \\
  166. \end{array} \right.
  167. \]
  168. ed i seguenti filtri:
  169. \[
  170. \left\{ \begin{array}{l}
  171. h_0 = ( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ) \\
  172. h_1 = ( \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ) \\
  173. \end{array} \right.
  174. \]
  175.  
  176. Si ottengono i seguenti output:
  177. \[
  178. h_0x_0 = x_0 \qquad h_1x_0 \equiv 0 \qquad h_0x_1 \equiv 0 \qquad h_1x_2 = x_2
  179. \]
  180.  
  181. \end{frame}
  182.  
  183. \begin{frame} \frametitle{Frequency response}
  184. %$h_0$ è un \emph{lowpass filter}, perché elimina le alte frequenze lasciando invariate quelle
  185. %basse, mentre $h_1$ è un \emph{highpass filter} perché mantiene le alte frequenze eliminando
  186. %quelle basse.
  187.  
  188. Osserviamo che per ogni $\omega$ e per ogni $h$, $h * {e^{in\omega}} = H(\omega)e^{in\omega}$ e quindi
  189. $e^{inw}$ è un autovettore per il filtro. Il suo autovalore $H(\omega)$ viene detto
  190. \emph{frequency response} del filtro alla frequenza $\omega$.
  191.  
  192. \vskip 10pt
  193.  
  194. Nell'esempio precedente abbiamo
  195. \begin{figure}
  196. \subfigure{
  197. \begin{tikzpicture}[domain=0:1.57, samples=150,scale=1.5]
  198. \draw[->] (0,0) -- (1.9,0) node[anchor=west] {$\omega$};
  199. \draw[->] (0,-0.1) -- (0,1.1) node[anchor=south] {$H_0(\omega)$};
  200.  
  201. \draw[color=blue] plot[id=h0resp] function {cos(x)};
  202. \end{tikzpicture}
  203. }
  204. \subfigure {
  205. \begin{tikzpicture}[domain=0:1.57, samples=150,scale=1.5]
  206. \draw[->] (0,0) -- (1.9,0) node[anchor=west] {$\omega$};
  207. \draw[->] (0,-0.1) -- (0,1.1) node[anchor=south] {$H_1(\omega)$};
  208.  
  209. \draw[color=blue] plot[id=h1resp] function {sin(x)};
  210. \end{tikzpicture}
  211. }
  212.  
  213. \caption{Frequency response di $h_0$ ed $h_1$}
  214. \end{figure}
  215. \end{frame}
  216.  
  217. \begin{frame} \frametitle{Lowpass e Highpass}
  218. Il filtro $h_0$ si dice \emph{lowpass} perché lascia invariati i segnali
  219. a bassa frequenza, mentre elimina quelli ad alta frequenza.
  220.  
  221. Analogamente $h_1$ si dice \emph{highpass}.
  222.  
  223. \vskip 25pt
  224.  
  225. Consideriamo un segnale generico $x(n)$, e la sua trasformata di Fourier $X(\omega)$.
  226. La trasformata di Fourier $Y(\omega)$ del segnale $y(n)$ ottenuto dopo l'applicazione del filtro
  227. sarà
  228. \[
  229. Y(\omega) = X(\omega) H(\omega)
  230. \]
  231.  
  232. \vskip 25pt
  233.  
  234. Il filtro \textbf{amplifica ogni frequenza del segnale} di un coefficiente $H(\omega)$.
  235. \end{frame}
  236.  
  237. \section{FilterBank}
  238. \subsection{Cos'è una filterbank}
  239. \begin{frame}
  240. \frametitle{Haar filterbank}
  241. Consideriamo i seguenti filtri:
  242. \[
  243. h_0 = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \qquad h_1 = (\frac 1 2 , - \frac{1}{2}) \qquad
  244. f_0 = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \qquad f_1 = (-\frac 1 2 , \frac{1}{2})
  245. \]
  246. \end{frame}
  247.  
  248. \end{document}