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\mode<presentation> % \usepackage[T1]{fontenc} % Comandi miei, ovvero piccole cose matematiche che % ci saranno utili in seguito. % Il nostro tema % \usetheme{CambridgeUS} \usetheme{Antibes} \usecolortheme{dolphin} \beamertemplateshadingbackground{blue!10}{blue!2} \setbeamercovered{transparent=15} % Chi siamo e cosa facciamo \subtitle{Trasformata wavelet discreta e dintorni} \begin{document} % Pagina principale \begin{frame}[plain] \titlepage \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Outline} \end{frame} % % Teoremi % \theoremstyle{plain} \newtheorem{teo}{Teorema} \theoremstyle{remark} \newtheorem{de}{Definizione} % % Cominciamo a capire cosa ci interessa di un segnale e come lo vogliamo % guardare. % % FRAME: Cosa sono i segnali \begin{frame}\frametitle{Segnali} Quasi tutti i sengali ``nascono'' \[ \left\{ \begin{array}{ll} x_{digital}(n): & \Z \to \R \\ x_{digital}(n)= & x_{analog}(nT) \\ \end{array} \right. \] Questo permette di memorizzare un segnale analogico su un supporto digitale (i.e. un computer). \end{frame} % FRAME: Shannon sampling theorem \begin{frame} \frametitle{Shannon sampling theorem} Quando un segnale viene campionato molta ``informazione'' viene scartata. Se però il segnale \begin{teo} Ogni segnale analogico le cui frequenze non superano un dato $\omega_{max} \in \R_+$ \end{teo} %% Commento allo shannon sampling theorem \begin{de} \end{de} \end{frame} % FRAME: Aliasing \begin{frame} \frametitle{Aliasing} % Un po' di spettacolo \transdissolve[duration=0.2]<2> \transdissolve[duration=0.2]<3> Cosa succede quando non è soddisfatta l'identità $T^{-1} > \omega_{max} \pi^{-1}$? Osserviamo il seguente esempio: \begin{itemize} venire ricostruito. } \end{itemize} \begin{figure} \begin{tikzpicture}[domain=0:7,samples=150] \draw[->] (0,0) -- (8,0) node[anchor=west]{$t$}; \draw[->] (0,0) -- (0,1.5) node[anchor=south]{$sin(\omega t)$}; % Disegno la funzione \only<1->{ \draw[color=blue] plot[id=signal] function {sin(5*x)}; } % Disegno i puntini del sampling \visible<2->{ \foreach \x in {0,1.8849,...,7} {\fill (\x, 0) circle (0.05cm);} \foreach \x in {0.94,4.71,...,7} {\fill (\x, -1) circle (0.05cm);} \foreach \x in {2.81,6.59,...,7} {\fill (\x, 1) circle (0.05cm);} } % Disegno la funzione alias \visible<3-> { \draw[color=red] plot[id=aliasedsignal] function {-1 * sin( 1.666667 * x)}; } \end{tikzpicture} \end{figure} \end{frame} % FRAME: Cosa sono i filtri \begin{frame} \frametitle{Filtri} Supponiamo di avere il segnal campionato $x(nT)$; d'ora in poi supporremo $T = 1$ per semplicità. \begin{de} Diremo che un filtro è \begin{description} campioni di $x(n)$ per ogni $n$; \end{description} \end{de} I filtri FIR e causali sono interessanti perché possono essere calcolati \end{frame} % FRAME: Esempio di filtro \begin{frame} \frametitle{Esempio di filtro} Sia $h \in \R^n$ e consideriamo il filtro: \[ x(n) \longrightarrow y(n) = \sum_{i=1}^{n} h_{i} x(n - i) \] Questo è sia FIR che causale. Consideriamo i seguenti segnali: \[ \left\{ \begin{array}{l} x_1(n) = ( \ldots , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , \ldots ) \\ x_2(n) = ( \ldots , 1 , -1 , 1 , -1 , 1 , \ldots ) \\ \end{array} \right. \] ed i seguenti filtri: \[ \left\{ \begin{array}{l} \end{array} \right. \] Si ottengono i seguenti output: \[ h_0x_0 = x_0 \qquad h_1x_0 \equiv 0 \qquad h_0x_1 \equiv 0 \qquad h_1x_2 = x_2 \] \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Frequency response} %$h_0$ è un \emph{lowpass filter}, perché elimina le alte frequenze lasciando invariate quelle %basse, mentre $h_1$ è un \emph{highpass filter} perché mantiene le alte frequenze eliminando %quelle basse. Osserviamo che per ogni $\omega$ e per ogni $h$, $h * {e^{in\omega}} = H(\omega)e^{in\omega}$ e quindi $e^{inw}$ è un autovettore per il filtro. Il suo autovalore $H(\omega)$ viene detto \vskip 10pt Nell'esempio precedente abbiamo \begin{figure} \subfigure{ \begin{tikzpicture}[domain=0:1.57, samples=150,scale=1.5] \draw[->] (0,0) -- (1.9,0) node[anchor=west] {$\omega$}; \draw[->] (0,-0.1) -- (0,1.1) node[anchor=south] {$H_0(\omega)$}; \draw[color=blue] plot[id=h0resp] function {cos(x)}; \end{tikzpicture} } \subfigure { \begin{tikzpicture}[domain=0:1.57, samples=150,scale=1.5] \draw[->] (0,0) -- (1.9,0) node[anchor=west] {$\omega$}; \draw[->] (0,-0.1) -- (0,1.1) node[anchor=south] {$H_1(\omega)$}; \draw[color=blue] plot[id=h1resp] function {sin(x)}; \end{tikzpicture} } \end{figure} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Lowpass e Highpass} a bassa frequenza, mentre elimina quelli ad alta frequenza. \vskip 25pt Consideriamo un segnale generico $x(n)$, e la sua trasformata di Fourier $X(\omega)$. La trasformata di Fourier $Y(\omega)$ del segnale $y(n)$ ottenuto dopo l'applicazione del filtro sarà \[ Y(\omega) = X(\omega) H(\omega) \] \vskip 25pt \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Haar filterbank} Consideriamo i seguenti filtri: \[ \] \end{frame} \end{document}