\chapter{Problema generalizzato agli autovalori} \label{cap:autovalori_generalizzato}
Vorremmo in questo capitolo analizzare\footnote{in realtà ci accontenteremo di dare uno sguardo
al problema, perché non avremo tempo per approfondirlo veramente.} il problema generalizzato
agli autovalori. In altre parole, date due matrici $A$ e $B$ vogliamo trovare i possibili
$\lambda$ tali che
\[
 \deter{ A - \lambda B} = 0
\]
 
\section{Il caso delle matrici Companion}
Ispirati dal problema visto alla fine della Sezione~\ref{sec:struttura_di_rango} analizziamo
il problema nel caso con $A$ in forma di Hessenberg e $B$ triangolare superiore. \\
Per cercare di non peggiorare il condizionamento del problema sarebbe preferibile lavorare
unicamente con trasformazioni unitarie. Cerchiamo di generare una sequenza di matrici
$A_k$ e $B_k$ tali che
\[
 \deter{A - \lambda B} = 0 \iff \deter{A_k - \lambda B_k} = 0 \quad \forall k \in \N
\]
Nel nostro caso vogliamo anche mantenere le proprietà di struttura della matrice, ovvero
vorremmo che $A_k$ sia sempre in forma di Hessenberg e che $B_k$ sia sempre in forma
triangolare superiore. Cerchiamo delle matrici unitarie $U_k$ e $Q_k$ in modo da definire
la seguente successione
\[
 \left\{\begin{array}{lcl}
         A_{k+1} &=& U_kA_kQ_k \\
         B_{k+1} &=& U_kB_kQ_k
        \end{array} \right.
\]
e scegliendo opportunamente le matrici in modo che $A_k$ e $B_k$ siano rispettivamente
Hessenberg e triangolare superiore. \\
Se queste condizioni sono soddisfatte allora $A_k - \lambda B_k$ è singolare solo se
$a_{jj}^{(k)} - \lambda b_{jj}^{(k)} = 0$ per qualche $j$, ovvero solo se $\lambda = \frac{a_{jj}^{(k)}}{b_{jj}^{(k)}}$